南通市2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案解析）

南通市海门区东洲国际学校2023-2024学年九年级下学期3

月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

2

4.在函数>二—^中，自变量工的取值范围是（）

x-2

A.x>2B.x>2C.xwOD.

5.下列数据的方差最大的是（）

A.3,3,6,9,9B.4,5,6,7,8

C.5,6,6,6,7D.6,6,6,6,5

6.如图，四边形ZBCD内接于O。，如果NBO。的度数为122。，则/OCE的度数为（）

试卷第1页，共6页

A.64°B.61°C.62°D.60°

7.已知抛物线y="2+6x+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:

B.当x<3时，y随x增大而增大

C.方程ax?+6x+c=0的根为0和2

D.当y>0时，x的取值范围是0〈尤<2

8.如图，在矩形/BCD中，AB=5,BC=2,点A与原点重合，点3在V轴的正半轴

上•点。在无轴的负半轴上，将矩形4BCD绕点/逆时针旋转30。得到矩形48'C力'，直

线BC,与CD相交于点M,则M的坐标为()

9.如图，平行四边形O/8C的顶点。，A,C的坐标分别是(0,0),(4,0),(1,2),

则顶点3的坐标为()

A.(4,2)B.(4,3)C.(5,2)D.(5,3)

10.如图所示，正方形/BCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于

正方形尸G印，连接。£,BE>CE.已知正方形/BCD与正方形FGm面积之比为

若DE〃C”,则一=()

试卷第2页，共6页

「Vio3

D.

22

二、填空题

11.计算正-2^的结果是.

12.分解因式：9f+6x+l=.

13.已知x=3是关于尤的方程⑪+2x-3=0的解，则4的值为.

14.某等腰三角形的一边长为3,另外两边长是关于x的方程X?-12x+左=0的两根,

贝1］左二;

15.在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相

2

同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为二，则白球的个数为.

16.黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美

感.如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形脑VP0R.图中有很

多顶角为36。的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与

腰之比为史二L若£皈=4,则/3=

2

17.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的

坐标是（。/），则经过第2021次变换后所得A点坐标是.

试卷第3页，共6页

18.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(-3,4),ON的半径为2,尸为无轴上一

动点，尸B切。/于点3,则尸B最小值是.

三、解答题

19.(1)计算：A/4-|-2|+(V6)0-(-1)；

(2)化简：(x—1)~—x(x+7).

20.某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程

若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规

定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成

还需5天.

(1)这项工程的规定时间是多少天？

(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合

作完成.则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？

21.目前微信、支付宝、共享单车、和网购给我们的生活带来很多便利，初二数学小组

在校内对你最认可的四大新生事物进行调查，随机调查了m人，(每名学生必选一种且

只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图

(2)请把图中的条形统计图补充完整;

(3)根据抽样调查结果，请估算全1800名学生中，大约有多少人最认可微信和支付宝

这两样新生事物?

试卷第4页，共6页

22.某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支

架CB所在直线相交于点0,且支架BC与水平线AD垂直.AC=40cm,

ZADE=30°,DE=190cm,另一支架AB与水平线夹角ABAD=65。，求OB的长度(结

果精确到1cm；温馨提示：sin65°®0.91,cos65°~0.42,tan65°»2.14)

23.如图，在AABC中，AB=BC,BEUC于点、E,AD_LBC于点D,ZBAD=45°,

AD与BE交于点F,连接CF.

(2)线段8尸与NE有何数量关系？并说明理由.

⑶若CD=娓,求4D的长.

24.如图，已知点/(一4,0)、8(2,0),直线/:y=-gx+2与x轴交于点P；

(1)在直线/上取一点C,若为直角三角形，则满足条件的点有一个；

(2)将直线/绕点P旋转一定角度后，能否使得直线/上只存在3个这样的点C的位置，

使得为直角三角形？若能，请求出旋转后的直线/的函数关系式；若不能，请说

明理由；

(3)将直线/绕点P旋转一定角度后，能否使得直线/上只存在2个这样的点。的位置，

使得“3C为直角三角形？若能，请直接写出旋转后的直线/：＞=h+6中的6的取值范

围；

25.在正方形/BCD中，点〃■是边CD上一点，点、N是边AD上一点、,连接CN

试卷第5页，共6页

相交于点尸，且CA/=rw.

(1)如图1,请判断线段词与CN的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

(2)如图2,延长CN到点。，连接。0,且NCQD=45。.

①请直接写BPCP,C0之间的数量关系为—；

②连接/C,AQ,当BP=2CP,△/C0的面积是6时，请直接写出N0的长为；

(3)点E在线段CN上，连接BE,DE,当AB=&,/BED=135°,BE+也DE=36

时，请直接写出NE的长为—.

0

图1图2备用图

26.勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前，人们就开始对它

进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法

如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：

如图，分别以用△/BC的三边为边长，向外作正方形/8DE、BCFG、ACHI.

(2)过点8作NC的垂线，交/C于点交出于点N.

①试说明四边形与正方形/ADE的面积相等；

②请直接写出图中与正方形3CFG的面积相等的四边形.

(3)由第(2)题可得：正方形/ADE的面积+正方形BCFG的面积=的面积；即

在放A43C中，AB2+BC2=.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答.

【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，

故选：D.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的

关键.

2.B

【分析】

本题考查有理数的减法，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.先计算减法，然后计算绝对

值即可.

【详解】解：|-3-9|

=卜12|

=12,

故选：B.

3.B

【分析】直接利用幕的乘方运算规则进行计算即可

【详解】解：（-a2>=-a6,

故选B.

【点睛】本题考查塞的乘方运算，掌握运算规则是解题关键

4.D

【分析】

根据分式有意义的条件进行解答即可.

【详解】

解：根据题意得：尤-2片0；

解得XR2,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握

要使分式有意义，则分母不等于零.

答案第1页，共22页

5.A

【分析】先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式计算出各方差即可得出答案.

【详解】解:A.这组数据的平均数为u+3+6+9+9)=6,

方差为：x[(3-6)2x2+(6-6)2+(9-6)2x2]=7.2；

B.这组数据的平均数为gx(4+5+6+7+8)=6,

方差为gx[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2；

C.这组数据的平均数为gx(5+6+6+6+7)=6,

方差为：x[(5-6)2+(6-6)2x3+(7-6)2]=0.4；

D.这组数据的平均数为(x(6+6+6+6+5)=5.8,

方差为gx[(6-5.8)2x4+(5-5.8)2]=0.16；

故选：A.

【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的计算方法是解题的关键.

6.B

【分析】

先根据圆周角定理求出然后根据圆内接四边形的性质求出4BC。，最后根据邻补角性

质求解即可.

【详解】解：,••4800=122。，

：.ZA=-ZBOD=61°,

2

四边形ABCD内接于QO,

:.ZA+ZBCD=18O°,

：.ZBCD=U9°,

，ZDCE=180°-ABCD=61°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

7.C

【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断.

答案第2页，共22页

【详解】解：将(-1,3),(0,0),(3,3)代入抛物线的解析式得；

a-b+c=3

<c=0,

9Q+3b+3=3

解得：a=\,b=-2,c=0,

22

所以抛物线的解析式为：y=x-2x=x(x-2)=(x-l)-l,

A、抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；

B、抛物线的对称轴为直线x=l,在l<x<3时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题

思；

C、方程ax?+6x+c=0的根为0和2,故选项正确，符合题意；

D、当>>0时，x的取值范围是x<0或x>2,故选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待

定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答.

8.B

【分析】根据旋转的性质得到Nl=30。，AB'=AB=5,由矩形的性质得出N2=/l=30。，在

RtAADN中，求出/N和DN,再在Rt△跖中，求出从而求出DM,然后根据M在

第二象限，写出“坐标.

【详解】解：•.•矩形NB'C'D'是将矩形绕点A逆时针旋转30。得到，

设直线BC,与CD相交于点M,AB'和CD'相交于点N,

Z1=30°,AB'=AB=5,

•.,/BCD是矩形，

AB//CD,AD=BC=2

：./2=/I=30°,

答案第3页，共22页

在®AADN中,

4D2rr

DN=---------=—^=2J3

tan30°V3

3

/.AN=+DN?二百+(2百4=4,

B'N=AB'—AN=5—4=1,

在Rt^MNB，中,

-：ZMNB,=Z2=30°,

B'N1_2g

:.MN=

cos30°丁丁，

2

:.MD=MN+DN=+2^3=—,

33

点、M

故选：B.

【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质和解直角三角形，解题的关键是求出。”的长度.

9.C

【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点3的坐标.

【详解】解：：四边形33C是平行四边形，

J.OC//AB,OA//BC,

.•.点8的纵坐标为2,

♦..点。向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点C,

；•点A向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点B,

.•.点2的坐标为：（5,2）；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四

边形的性质.

10.A

【分析】设C7=D"=a，CH=b,则田=。+6,根据正方形/BCD与正方形/G/ff面积之

5a2+b25

比为得到E=求出BJ=CH=2a,作收LG“交G"于点”’作NEC交

答案第4页，共22页

BM于点P,证明出ABPESAENC,设CN=m,则W=8尸=。+用然后利用相似三角形的

性质得到"%=巴，然后解方程求解即可.

am

【详解】由题意可得A&C也AC〃D,

:.设CI=DH=a,CH=b,则田=a+6,

NH=90°,

/.CD2=CH2+DH~=a2+b2,

;正方形/BCD与正方形尸G印面积之比为g,

CD~5a2+b25

=即7~Tv=o'

IH29(a+b)9

整理得2a2-5ab+2b2=0,

解得£=3或f=2（舍去），

bib

b=2a,

：.BI=CH=2a,

如图所示，作即交GH于点M,作NEIBM交BM于点、P,

由题意可得，AAGDADHC,

ED//CH,

・・・四边形5mP,ENHD是矩形,

：.PN=BI=2a,EN=DH=a,

：.PE=PN-EN=a,

:•设CN=m,贝l」W=5P=a+加，

BEICE,

：.ZBEP+ZCEN=90°,

答案第5页，共22页

":BP1PN,

：./BEP+/PBE=9U0,

：./CEN=/PBE,

又•・•/BPE=NENC=90°,

・•・小BPEs小ENC,

.BPPEBE口口a+ma

"EN~CN~CE'a~m

**•整理得a2-am+m2=0,

解得区=1±1或口5(舍去)，

m22

.BEV5+1

••.

CE2

故选：A.

【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题

的关键是熟练掌握以上知识点.

11.V2

【详解】原式=26—亚=6.

考点：二次根式的计算.

12.(3x+l)2

【分析】原式利用完全平方公式分解即可.

【详解】解：原式=(3x+l)2,

故答案为：(3x+l)2

【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

13.-1

【分析】

根据——元——次方程解的定义，将x=3代入办+2尤一3=0得至!!3。+6-3=0,解得a=-l.

【详解】解:；x=3是关于x的方程ox+2x-3=0的解，

3a+6—3=0»即3。=-3,解得a=—1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查一元一次方程的解即解一元一次方程，熟记方程解得概念及解方程方法步

答案第6页，共22页

骤是解决问题的关键.

14.36

【分析】

本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角

形的条件，分当腰长为3时，当底边长为3时，两种情况分别求出腰长或底边长，再根据构

成三角形的条件进行验证即可得到答案.

【详解】解：当腰长为3时，贝i]x=3是方程/_i2x+A=0的一个根，

/-32-12x3+4=0,

解得上=27,

•••原方程为d-12x+27=0,

解方程x?-12x+27=0得x=3或x=9,

•••底边长为9,

V3+3<9,

•••此时不能构成三角形，不符合题意；

当底边长为3时，则方程/_12X+4=0有两个相等的实数根，

AA=(-12)2-4A=0,

解得k=36,

：.原方程为X2-12X+36=0,

解方程尤2-12X+27=0得再=%=6,

腰长为6,

V6+6>9,

,此时能构成三角形，符合题意；

综上所述，左=36；

故答案为：36.

15.12

【分析】设该盒中白球的个数为x个，根据意得六=9,解此方程即可求得答案.

【详解】解：设该盒中白球的个数为X个，

根据题意得：

8+x5

答案第7页，共22页

解得：x—12,

经检验：x=12是分式方程的解，

所以该盒中白球的个数为12个，

故答案为：12.

【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之

比.

16.275+2

【分析】由正五边形得到为“黄金三角形”，利用黄金三角形的定义可得DE的长，即

可得43的长.

【详解】•••48CDE为正五边形，

（5-2）x180°

：.DE=AE=CD=AB,ZAED=ZEDC=ZEAB=-——-----=108°,

5

AZDEC=ZDCE=36°,NAEB=/ABE=36°,ZEAD=ZEDA=36°,

：.ZAffi7?=108o-36°-36o=36°,

:./ERD=2/EAD=12。,ZDER=2ZDEC=12°,ZEMR=2ZEDA=72°,

：.ER=EM=4,DE=DR,

：.ADER为“黄金三角形”，

.ERV5-14V5-1

••---------,RB|Jn---------,

DE2DE2

解得：DE=2y/5+2,

:.AB=2亚+2,

故答案为：2至+2

【点睛】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和为（加2）xl80°（«>3）,理解“黄金三

角形”的定义，正确得出正五边形一个内角的度数，熟练掌握等腰三角形的性质并是解题关

键.

17.（a,-b）

【分析】

第一次关于X轴对称，点A的坐标（。,6）变为（。,-3；第二次关于V轴对称，点A的坐标（出-b）

变为（一凡-6）；第三次关于无轴对称，点A的坐标（一凡-6）变为第四次关于了轴对称，

点A的坐标变为（。*），即四次一个周期，由此即可求出第2021次点A的坐标.

答案第8页，共22页

【详解】

解：•••点A第一次关于x轴对称后在第四象限，

点A第二次关于J轴对称后在第三象限，

点A第三次关于x轴对称后在第二象限，

点A第四次关于V轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

•••每四次对称为一个循环组依次循环，

2021+4=505-1,

,经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为3")，

故答案为：(%-3.

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中点的变换规律，找出循环次数是解题的关键.

18.273

【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关

键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析.连接43,AP,根据切线的性

质定理可得要使尸3最小，只需/P最小即可，根据垂线段最短，当/尸，无轴时，

AP取最小值，然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，连接A8,AP,

根据切线的性质定理，得ABLPB.

要使尸3最小，只需AP最小，

则根据垂线段最短，当/尸，x轴于尸时，/P取最小值,

此时P点的坐标是(-3,0),AP=4,

在Rt^ABP中，AB=2，

•*-PB=y/AP2-AB2=25/3，

则P8最小值是2百.

答案第9页，共22页

故答案为：2道.

19.(1)2；(2)-9x+l

【分析】(1)原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幕的运算

法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；

(2)原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果.

【详解】(1)V4-|-2|+(V6)°-(-l)

=2-2+1+1

=2；

(2)(x—1)~—x{x+7)

=x2—2x+1—x2—7x

=-9x+l

【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此

题的关键.

20.(1)这项工程的规定时间是30天；(2)甲乙两队合作完成该工程需要18天.

【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需

要1.5x天完工，依题意列方程即可解答；(2)求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据

题意列方程即可.

【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需

要1.5x天完工，依题意，得：金+=L

x1.5x

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意.

答:这项工程的规定时间是30天.

(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，

1(天)，

答:甲乙两队合作完成该工程需要18天.

【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.

21.(1)100,35；(2)见解析；(3)1350

【分析】(1)由共享单车人数及其百分比求得总人数m,用支付宝人数除以总人数可得其百

答案第10页，共22页

分比n的值；

(2)总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，即可补全条形统计图;

(3)总人数乘以样本中微信人数和支付宝人数所占百分比可得答案.

【详解】解：⑴•.•被调查的总人数m=10+10%=100人，

支付宝的人数所占百分比11%=志*100%=35%,即n=35,

故答案为：100、35；

(2)网购人数为100*15%=15人，

1800x(40%+35%)=1350

答：大约有1350人最认可“微信”和支付宝这一新生事物.

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

22.OB^l9cm.

【分析】设OE=OB=2x,根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即

可求出答案.

【详解】设OE=OB=2x,

OD=DE+OE=190+2x,

：/ADE=30。，

・・・OC=-OD=95+x,

2

・•・BC=OC—OB=95+x—2x=95—x,

答案第11页，共22页

tanNBAD-.........,

AC

解得：x=9.4,

OB=2x=18,8=19cm

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键.

23.⑴见解析

⑵BF=2AE；理由见解析

(3)(3)

【分析】(1)先判定出A48。是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得

再根据同角的余角相等求出/C4A/C3E,然后利用“角边角”证明A4CD0ABED即可；

(2)根据全等三角形对应边相等可得皮4/C,再根据等腰三角形三线合一的性质可得

AC=2AE,从而得证；

(3)根据全等三角形对应边相等可得。QCZ),然后利用勾股定理列式求出C凡再根据线

段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据

即可得解.

【详解】⑴解:(1)'：AD1BC,ZBAD=45°,

是等腰直角三角形，

：.AD=BD,

\BELAC,AD±BC,

：.ZCAD+ZA8=90。，ZCBE+ZACD=9Q°,

：.ZCAD=ZCBE,

在入!。。和△BD尸中，

ACAD=ZCBE

<AD=BD,

ZADC=ZBDF

:.AACD义ABFDCASA)；

(2)BF=2AE,

证明：由(1)可知：BF=AC,

答案第12页，共22页

•：AB=BC,BELAC,

：.AC=1AE,

：.BF=2AE；

(3),:△ACD"ABFD,

：.DF=CD=46,

在△/△CO尸中，CF=^CD2+DF2=2^3,

'CBELAC,AE=EC,

:.AF=CF=2也,

♦.AD=AF+DF=2yf^+y/^.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形

三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性

质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

24.(1)4

33

(2)y=--x+3^y=-x-3

(3)6>3或6<-3

【分析】

(1)分NC4B=9Q°,ZCBA=90°,44cB=90。三种情况讨论即可；

(2)以43为直径作。"，过尸作。M的切线P。，PQ',连接M。，过点。作8于

H,证明AQPHSAMPQ,可求出点。的坐标，然后利用待定系数法求直线尸。解析式，同理

求直线P。'解析式即可；

(3)当直线/与(2)中。M相离时，直线/上只存在2个这样的点。的位置，使得。为

直角三角形，即可求解.

【详解】(1)解：当/C48=90。时，即G4_L4B,

VA(-4,0),

.•.点C的横坐标为-4,

把x=-4代入直线/:y=_；x+2,得>=一;x(_4)+2=4,

答案第13页，共22页

AC(-4,4)；

当/CA4=90。时，即CB_LM3,

V5(2,0),

•••点C的横坐标为2,

11

把％=2代入直线/:y=-/X+2,得y=-§x2+2=l,

/.C(2,l);

当Z/1C8=90。时，设c1x,-gx+2j,

贝！I/C?+302=/82,即(一4-x)2+1—gx+21+(x-2『+(-；x+2j=(-4-2)2,

解得x=±生5,

5

.(4行2指]/4囱2指]

..c-^—,2———或。-—,2+---,

\7\7

・•・符合题意的点C一共有4个，

故答案为：4；

(2)解：能，

以为直径作OM,过尸作。M的切线产。，PQ',连接M0,过点。作于凡

贝ljZMQP=90°,

・・・/(—4,0)、5(2,0),

：・中点即M(TO),A/e=|x[2-(-4)]=3,

对于直线/：＞=-gx+2,当y=°时，-；x+2=0,

答案第14页，共22页

解得x=4,

・・・P（4,0）,

：.PM=5,

：.PQ=y/MP2-MQ2=4,

•.・Z.QHP=ZMQP=90P,ZQPH=ZMPQ,

：.△QPHSAMPQ,

.QH_=PH=PQQHPH=4

,,MQ-PQ—MP，以亍―丁一），

解得=PH若,

设直线P。解析式为1=b+方，

'4k+b=0

把尸、。坐标代入，得,4,,12,

—k+b=——

[55

,k=--

解得，4,

b=3

3

直线尸。解析式为>=-7+3；

4

3

同理直线尸。解析式为y=：x-3；

•••直线/上只存在3个这样的点C的位置，使得ABC为直角三角形，这样的直线为

3、3

y=一：x+3或^=:无一3；

44

(3)解：当直线/与(2)中。M相离时，直线/上只存在2个这样的点C的位置，使得O3C

为直角三角形，

：.b的取值范围为6>3或6<-3.

25.3BM=CN且BM1CN,证明见解析；(2)①AP+CP=CQ；(2)1；(3)20一直或3-G

【分析】(1)结论为：BM=CN,且BM_LCN,由四边形4BCD正方形，可得BC=CD,

ZBCD=ZCDA=90°,即N8CA/=/CON=90°,可证之△CON(S/S),BM=CN,

ZMBC=ZNCD,可求NMPC=90。即可；

答案第15页，共22页

(2)①BP,CP,CQ之间的数量关系为CQ=CP+BP；过。作。于£,先证QE=DE,

再证△BCgZ\CD£(A4S),可得BP=CE,CP=DE,nj-ffiCQ=QE+CE=CP+BP；

②连接AC,AQ,过。作。尸_L4D于尸，由BP=1CP,利用ianZPBC,求出MC=,

再由tanN尸5C=tanNDCN,可求点N为AD中点，设£)£=%,贝！JBP=CE=2x,QE=DE=x,由勾

股定理得CD=JCE2+DE。=4sx，AN=DN=；DC=；a,由勾股定理求C7V=|x,CQ=3x,

QN=；X,可证。尸〃r»C,ZFQN=ZDCN,可求0尸=避^，利用面积

25

3

SAAQC=S^AQN+S^ANC=-X2=6,即可求出；

(3)连结AD,延长DE与过3作。E的垂线交于X,分两种情况，当点E在AD上方，由

_________万

勾股定理得BD=y)AB2+AD2=2G，可求HB=HE=BExsin45°=若BE由BE+&DE=372，

可求HE+DE=3；由勾股定理97=百，由三角函数sin//TO8=1■可求/印毋=30。，求出

BE=BH、sin45°=a,可证△E3C为等边三角形，再求CN=&+*1=2也，当点E在BD

2

下方时，连结/£,求出BE=AB=BC=展,可得//BE=60。，可证△£5C为等边三角形，可

求DE=3f，再证A®=O£=3即可.

【详解】(1)证明：结论为：BM=CN,且8M_LCN,

:四边形/BCD正方形，

：.BC=CD,ZBCD=ZCDA=90°,ZBCM=ZCDN=90°,

：.在4BCM和△(?/中，

BC=CD

<ZBCM=ZCDN,

CM=DN

：.△BCM"ACDN(S4S),

：.BM=CN,ZMBC=ZNCD,

ZMBC+ZCMB=90°

：.ZNCD+ZCMB=90°

：.ZMFC=180°-ZNCD-ZCMB=90°

：.BM±CN,

线段8M与CN的数量关系和位置关系为：BM=CN,且A0_LCN；

答案第16页，共22页

(2)证明①5尸，CP,。。之间的数量关系为CQ=C尸+5尸;

过。作QEJ_CQ于

•・•/CQD=45。,

I.ZQDE=900-ZCQD=45°=ZCQD,

：.QE=DE,

由(1)知/MBC=/MCD,ZBPC=9Q°,

在△5C?和中，

ZBPC=ZCED=9(f

<ZBCP=ZCDE,

BC=CD

:•△BCPQ4CDE(AAS),

：・BP=CE,CP=DE,

：.CP=DE=QE,

：.CQ=QE+CE=CP+BP,

故答案为：CQ=CP+BP；

解：②连接ZC,AQ,过。作。尸于方,

■:BP=2CP,

/PC1MC

..tanZP5C=----=—

PB2~BC

：.MC=-BC,

2

由(1)知/DCN=NMBC,

1DN

tanZP5C=tanZDCN=—=,

2CD

：.DN=-DC,

2

:.点、N为AD中点，

设D£=x,贝!|BP=CE=2x,QE=DE=x,

答案第17页，共22页

22

在RtAEDC中，由勾股定理得CD=y/cE+DE=,（2x）2+-2-#X，

AN=DN=-DC=-yj~5x,

22

在此△沏。中，由勾股定理CN=NDN?+。。2=

・•・CQ=QE+CE=ED+CE=3x,

：.QN=QC-CN=3x-|x=1x,

•：QFL4D,CDLAD,

J.QF//DC,

：.ZFQN=ZDCN,

QFCD_45x_275

-

:・cosNNQF=cosNNCD=QN—CN—5x5

T

.QF=2下石

^QF=—x，

^QN~~T5

2

：.S^AQC=SAAQN+S^ANC=-AN-QF+-AN-CD=~x—x—+-x—x45x=-x=6f

'-22225222

解得x=2,x=-2（舍去），

.八11一

・・QN=-x=—x2=1,

“22

(3)连结5。，延长。月与过5作。打的垂线交于分两种情况:

当点E在上方,

**AB=^6,AD=AB=^/6,

在用A4Q5中，由勾股定理得助=JZ/2+/Q2=26,

又,:ZBED=U5°,

：.NHE5=180°-N5切=180。-135。=45。,

答案第18页，共22页

：.HB=HE=BExsm450=—BE,

2

■:BE+母DE=36,

：.—BE+DE=3，

2

:・HE+DE=3,

在RtAHBD中由勾股定理BH=^BD2-HD2==6，

V3_1

sinAHDB==

BD2>/3~2

：.NHDB=30。,

又BE=BH+sin450=指，

：.BE=AB=BC=46,

oooo

ZEBD=180-ZBED-ZEDB=180-135-30=15°f

・•・ZEBC=ZEBD+ZDBC=15O+45°=6Q°,

：./\EBC为等边三角形，

:・CE=BC=&,ZECB=60°f

：.ZNCD=90°-ZECB=90o-60°=30°,

：.CD=CN^cos300,

:.CN=G口=26,

2

**•NE=2V2—-\/6,

当点E在下方时，连结4E,

•；BE+6DE=3亚,

・••旦BE+DE=3,

2