2024高考数学冲刺押题卷3（新题型）

2024年高考数学模拟卷03（新题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.样本数据12,13,10,9,14,12,19,10,19,18的中位数为（）

A.12B.12.5C.13D.13.5

【答案】B

【解析】样本数据从小到大排列为9、10、10、12、12、13、14、18、19、19,

所以样本数据的中位数为竺产=12.5.故选：B

2222

2.椭圆上+上=1与椭圆」一+工=1（左＜9）的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

【答案】D

【解析】椭圆二+匕=1的长轴长为5x2=10,短轴长为2*3=6,焦距为2衣方=8,离心率为三,

2595

2

椭圆+二二=1（左＜9）的长轴长为,短轴长为2J9-Z：，

25-k9—k

1------------------------4

焦星巨为25（25—1）一（9一%）=8,离心率为屈耳，

所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.

3.在正项等比数列｛4｝中，S,为其前兀项和，若%=10,520=30,则4的值为（）

A.50B.70C.90D.110

【答案】B

【解析】由等比数列的片段和性质得工。，Sw-Sl0,S30-S20成等比数列

所以（$20-岳。）2=5。（530-S?。），所以（30-10『=10（S30-30）,解得$30=70.故选：B.

4.已知直线九九为异面直线，d6为不重合的两个平面，则（）

A.若ml/a,ml1/3,则a/力B.若mlla,nlla,则加〃〃

C.若加_La,m｝0,则a///D.若加_La,nLa,则m_L〃

【答案】C

【解析】若加//a,mlIp,则可能a,分，故A错误；

若mlla,nlla,则可能机_L〃，故B错误；

若加_La,mL/3,则a//〃，故C正确；

若加_La,n-La,则相〃〃，故D错误.故选：C.

5.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生,

4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景

点游玩，女生8与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为()

A.564B.484C.386D.640

【答案】A

【解析】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.

第一种情况分成2人，2人，4人:女生8,C去同一处景点，当民C成2人组时,

其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C；A；=8种方法；

当在4人组时，有二"+C；A；=36种方法.

A2

第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有Cj=6种方法;

当B,C在3人组时，有C；C；+C；C；A；=44种方法.

故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)xA；=564.故选：A.

6.在平面直角坐标系xQy中，点”(2,0),直线/：y=Mx-2)+l,点〃关于直线/的对称点为N,则丽.丽

的最大值是()

A.2B.3C.5D.6

【答案】D

【解析】设点因为N关于直线/对称,

2

所以＜可得:

为;c2k

x。=2T

°1+k2

2k2)所以丽■•丽=4一一二.

所以血=(2,0),丽=2-\+k2，\+k2J

1+Z

当左=0时，OMON=4;

OMON=4――^―

1

当上〉0时,此时所以然加・丽口

k+-,k

k

当无＜0时,

所以而■.丽44一：=6,故4＜而.函46.

综上所述：2＜OMON＜6,故丽■•丽的最大值为6.故选：D.

7.若"为锐角，且sina(Gtan5(T-l)=l,则a=()

A.10°B.20°C.70°D.80°

【答案】C

11cos50°cos50°

,sina=------------=—j=--------=—j=--------------~~7?=:

【解析】由V3tan50°-lV3sin5O°,V3sin50°-cos50°|.<C。人3八<八。。1

----------------------]ZoS1I1DUX---------COSDUX—

cos50°I22

cos50°_sin40°_2sin20°cos20°

2sin（50o-30o）-2sin20°-"2sin20°

又。为锐角，・・・a=70。.故选：C.

22

8.已知双曲线C：3-斗=1的左，右焦点分别为居,工，过点可与双曲线C的一条渐近线平行的直线/交C

ab

于〃，且%=4阳当4«2,4］时，双曲线。离心率的最大值为（）

B.亨

C.2

【答案】A

【解析】如下图所示：不妨取渐近线方程为y=2%,又易知耳（-c,0）,

a

则直线/的方程为y=，x+c）,

b2

2a

且优=X\FxM\,由双曲线定义可得闪叫-闺=（4-1）闺M=2a,

当4w［2,4］时，可得4-1==:"=—G［1,3］，

bc—uc-1

所以e2_lj*4］,解得叵4仁若；

1_3」3

因此双曲线C离心率的最大值为石.故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃司=8$（2。夕）［-1＜夕＜0）的图象经过点《0,；］,则下列结论正确的是（）

A.函数的最小正周期为兀

C.函数〃X）的图象关于点中心对称

D.函数〃x）在区间《，发单调递减

【答案】ABD

依题意函数小）的周期为？哼=兀，所以选项正确；

【解析】对选项A,A

因为“。）=:，即COS°=:，又-曰＜e＜0,所以夕=（，所以选项B正确;

对选项B,

cosf2x-y1,又了5兀

对选项C,因为〃力=cos2xcos(-2兀)=1,

所以点[一个,0）不是的中心对称，所以选项C错误;

对选项D,因为乌＜尤＜巴所以0＜2x-殳＜@＜无，因为V=cosx在（0,兀）单调递减,

6233

所以函数〃x）在区间单调递减，所以选项D正确.故选:ABD.

10.已知复数4，z2eC,下列结论正确的有（）

A.若2=3，则上上㈤㈤

B.若㈤=%|,则Zi=±Z?

C.若复数Z1，Z?满足B+Z2|=|Z]-Z』，则Z「Z2=0

D.若|z「i|=l,则k+i|的最大值为3

【答案】AD

【解析】设Z]=〃+历(〃,/?£R)、z2=(?+Ji(c,JeR)；

对A：若2=乎2，则有z=(〃+bi)(c+di)=(〃c—bd)+(bc+4d)i,

即目=-4)2+优c+ad『=y/a2c2+b2d2+b2c2+a2d2,

2222222222222222

IZ111z21=y/a+b-ylc+d=yj^a+Z7)(c+d^=y!ac+bd+bc+ad,即有忖=卜忆|，故A

正确；

对B：若㈤=冈，则有//+1="2+相，即/+/=02+屋，不能得到4=±Z2，故B错误；

对C：若复数Z-Z2满足L+Z2I=卜-z2],则有，(4+C『+(/+d)2=,

即(〃+c)2+(b+d)2=(Q-C)2+(b_d『，化简得ac+/7d=0,

4-z2=(〃+bi)(c+di)=(QC-bd)+(〃c+ad)i,故C错误；

对D：若上「i|=l,则有J.+(人以=],即/+b2-2b=0,

a2<1-l<a<l

其中，、2，即有

[(I)wiQ<b<2

则14+i|=J/+(6+l『=+「2+26+1=J46+1,

故当6=2时，|z+i|有最大值且最大值为〃x2+l=3,即D正确.故选：AD.

11已知函数小)满足川)4次+加告端，则()

A./(0)=0B.f(-x)=-f(x)C.的定义域为RD.〃尤)的周期为4

【答案】ABD

【解析】令x=l,y=O,则/⑴即A正确,

1—/⑴J(U)1一/(⑺

令x=y=l,则/(2)=*)+/⑴无意义,即〃x)的定义域不为R,C错误;

1—1

由可知/⑴/⑶句'

令3=一%则f(0)=][八寸(，)，即〃x)+〃T)=O,故〃r)=_〃x),B正确;

〃x)+l

+1

+l/\/(x+l)+ll-/(x)1

/(x+l)=y^"x+2)=

IZl-/(x+l)/(A-)+l

1一〃x)

故/(X+4)=-〃1+2)=/(X),即的周期为4,D正确，故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={(0),=f-2x-l},8={(x,y)|y=3x+l},则AcB的元素个数是.

【答案】2

fy=x2—2x—1

【解析】联立<可得/_5兀-2=0,则A=25+8=33>0,

[y=3x+l

得原方程组有两组解，即AcB中有2个元素.

13.如图，表面积为100兀的球面上有四点S,A,B,C,口43。是等边三角形，球心。到平面ABC的距

离为3,若平面SA3,平面A3C,则三棱锥C-SA3体积的最大值为.

【答案】12（行+6）

【解析】球的表面积为100兀，球的半径为R=5,

设UABC的中心为O,则。（7=3,且OO'_L平面ABC,

OABC的外接圆半径「=C。'=^R2-OO'2=4，

连接CO’并延长交AB于。，则。为的中点，且。'。=（7=2,

2

显然CDJLAB,而平面SABJ_平面ABC,平面SABn平面ABC=AB,

CDu平面ABC,则CD_L平面SAB,

令△SAB的外接圆圆心为E,则OE_L平面SAB,有OEHO'D,

又。O'_L平面ABC,ABu平面ABC,001AB,

CDcOO'=O',CZ）,OOu平面OOOE,则平面OO'DE,

ED＜=OO'DE,AB±ED,

而平面SAB_L平面ABC,平面SABPl平面ABC=AB,

EOu平面SAB,贝1|EO_L平面ABC,

有ED//OO',因此四边形OO'DE为平行四边形，

则即=0。=3,OE=O'D=2,

△SAB的外接圆半径/=y/R--OE2=V21，

△SAB的外接圆上点S到直线AB距离的最大值为/+=亚+3，

而点S在平面ABC上的射影落在直线4B上，

于是S到平面ABC的距离最大值%=01+3，

口4BC是等边三角形，外接圆半径为4,由正弦定理口ABC的边长为4vL口ABC的面积为126，

棱锥C-SAB体积的最大值为人钻=匕一.=齐.力=$126、（3+亚）=磔疗+码.

14.定义min.,外,｝表示“、/、…、4中的最小值，0m｛%,外广一,。“｝表示4、%、…、见中的最

大值，设。＜相＜〃＜。＜2,已知”23m或m+2"W3,则min｛max｛九一根,0一〃,2-p｝｝的值为

【答案】|3

【解析】设〃一'"=尤,P-n=y,2-p=z,JL0<7M<M<P<2,贝!]x>0,y>0,z>0,

n=2-y-z

所以,

m-2-x-y-z

若〃23相，则2—y-z—23(2—x-y-z),故3x+2y+2z>4,

3M>3x

4

设川=max{x,y,z},因此,<2M>2y,故7M23x+2y+2z24,即MN—,

7

2M>2z

若加+2〃43,贝U2—x—y—z+2(2—y—z)W3,即x+3y+3z>3,

M>x

3

则3M23y,故7M，+3y+3z23,当且仅当％=3y=3?=］时，等号成立,

3M>3z/

的最小值为最

综上所述,min{max\n—m,p—n,2-p}}

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设函数"%)=ln(2x+3)+f.

(1)求曲线y=f(力在点(TJ(-O)处的切线方程;

(2)求〃x)在区间-工,-］上的最大值和最小值.

【答案】(1)y=l;(2)/(xL=ln2+：,/Wmm=^+lnj

【解析】⑴因为"x)=ln(2x+3)+d,所以*_i)=in(_2+3)+(-l)2=l,

22

又尸(X=y^+2x,所以7•'(-l)=-^+2x(-l)=。，

2x+3-2+3

所以曲线y=〃x)在点处的切线方程为y=l；

(2)；/(x)=ln(2x+3)+x2,.,.函数的定义域为，■|,+co),

「(X)=3+2X=2QX：1『,令((x)>0,解得一或x>一］,

2%+32%+322

令r(x)<0,解得_1<X〈-g,

-311

对工£列表如下：

44

_3_£

X-4<4,2)~2-4

-0+

极小值ln2+：

/(%)2+后单调递减单调递增

162162

「、，

又而1,十5叱(一9,辰3+吗>5吗,-3叱1-二,5的1(，M5<l-5?=25-，2.778>e,

_5151]_1593

所以一〉e2,即ln—〉lne2=—,所以在十1口片>五+111彳，

332162162

故函数“X）在区间-（，-；上的〃xL,=ln2+；,“X）皿*=：+,.

16.（15分）

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等.

（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；

（2）用X表示取出的2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.

Q177

【答案】（1）（2）分布列见解析，EX=—.

945

【解析】（1）设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为A,

则A为一次取出的2个小球数字相同，

所以尸（，）=*=[所以尸（4）=1一：=]

Joyyy

（2）由题意X所有可能的取值为：2,3,4,5.

"=2)=等"=3)=^1**

C；C+C；_13c>C+c；17

尸(X=4)=p(X=5)=

4545

所以随机变量X的分布列为

X2345

411317

P

4554545

随机变量X的均值为

rC4c1/13「17172

EX=2x----F3x—F4x-----F5x—=

455454577

17.(15分)

如图，在三棱台ABC-DE尸中，H在AC边上，平面ACFD_L平面ABC,ZACD=60°,CH=2,CD=4,

BC=6BHLBC.

（1）证明：EF工BD；

（2）若AC=2Z）E且口ABC的面积为士8,求CF与平面ABO所成角的正弦值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）上已

49

【解析】（1）在口4。〃中，ZACD=60°,CH=2,CD=4,

由余弦定理得cosZACD=-=5+=42+22-92,解得DH=2日

22CDCH2x4x2

又4?=22+（2。『，即cD2=a/2+。//，得AC_LDH,

又因为平面AC/7。_L平面ABC,平面ACP£）n平面ABC=AC,

所以£>H_L平面4BC,而8Cu平面ABC,则。H，BC,

又BHLBC,BHCDH=H,BHu平面BDH,OHu平面BDH,

所以3C」平面而£>8u平面8。//,则BCJ.D3,

因为BC〃所，所以所_LBD；

（2）在RtDBC”中，CH=2,BC=6,BHVBC,

所以BH=dCH。-BC?=收-3=1，cosZACB=——=—,所以/ACB=30。，

CH2

Q八111

Xs,„=—=-xACxCBxsin30°=-xACxV3x-,所以AC=3,

°nACrB4222

则AC=3=A"+//C=>A"=1,

由（1）知，DH_L平面ABC,

所以可以“为原点，辰为>轴，而为z轴，建系如图所示

A（0,-l,0）,Bg，；，°,。（0,0,2通），（7（0,2,0）,尸（0,9,26）

AB=F，|，。，而=倒」,2⑹，而=（0,-;,26],

去+|y=o

/、n-AB=0

设平面ABD法向量为五二(x,y,z),则<_.，即<

n-AD=Q

y+2A/3Z=0

取y=-2g,则x=6,z=l,得平面的一个法向量为为=(6,-2后1卜

设。方与平面A3。所成角为。,

CF-n\6V3

CF\-\n\一丁,

所以CP与平面A8O所成角的正弦值还

49

18.(17分)

丫21

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线上-丁=1的渐近线的距离为1.

3/

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点尸任意作互相垂直的两条直线心'分别交曲线C于点42和M,N.设线段AB,MN的中点分

别为尸，Q,求证：直线PQ恒过一个定点.

【答案】(1)y2=4x；(2)证明见解析

【解析】⑴因为抛物线的焦点b为„,

双曲线的渐近线方程为：y=±^x,即x±囱y=0,

£

则2_1,解得p=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

#+(士后2

(2)设A,2两点坐标分别为(为，%),(和%)，则点尸的坐标为云三，贵署

由题意可设直线人的方程为丫=k(x-l)(kh0),

y2—4jCf

由<j/1、得k?x2—（2左2+4）x+左2=o,A=（2*+4）2—44，=16*+16>0,

y=kyx-\）,

44

因为直线4与曲线C交于A,3两点，所以西+々=2+记，%+%=女（玉+%—2）=%,

所以点P的坐标为（1+F，工）.

由题知，直线，2的斜率为同理可得点。的坐标为（1+2/,-2幻.

k

+

2；卜

当上W±1时，有1+7THi+2/,此时直线PQ的斜率即2=一与----------T，

k1+4-1-2Vli-

k2

k

所以直线尸。的方程为>+2左=—V（x-1-2左2）,整理得求2+（X-3火-y=0,

1-K

于是直线尸。恒过定点颐3,0）.

当氏=±1时，直线尸。的方程为x=3,也过定点E（3,0）.

综上,直线PQ恒过定点成3,0）.

19.（17分）