2024届浙江省台州市椒江区中考一模数学试题含解析

2024届浙江省台州市椒江区中考一模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及13.75亿中国人，这

个数字用科学记数法表示为（）

A.13.75x10sB.13.75X105C.1.375xl08D.1.375X109

2.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先到终点

的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系

如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=l.其中正确的是（）

A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③

3.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间

后，到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（）

A.60海里B.45海里C.20百海里D.30指海里

4.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB〃CD的是（）

A.N3=NAB.ZD=ZDCEC.Z1=Z2D.ZD+ZACD=180°

5.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪

等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡

片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡

片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）

%

3

D.-

5

6.已知y=J4-％+-4+3,则上的值为

x

4433

A.—B.-----C.一D.----

3344

7.如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC^^ADC的是（）

A.CB=CDB.ZBCA=ZDCA

C.ZBAC=ZDACD.NB=ND=90。

8.如图，在中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至""七处，AD与CE交于点F,若NB=52。,

ZDAE=2Q°，则/FED'的大小为（）

A.20°B.30°C.36°D.40°

9.地球上的陆地面积约为149000000千米2,用科学记数法表示为（）

A.149x106千米2B.14.9x107千米2

C.1.49x108千米2D.0.149x109千2

10.设Xi,X2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则xj+xz?的值为（）

A.6B.8C.14D.16

11.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ox?-4x+c=0一定有实数根的是（）

A.a>0B.a=0C.c>0D.c=0

12.如图，AB〃CD,点E在CA的延长线上.若NBAE=40。,则NACD的大小为（）

A.150°B.140°C.130°D.120°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.若反比例函数y=^~^的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是.

X

14.在AABC中，AB=AC,把△ABC折叠，使点3与点4重合，折痕交A5于点交BC于点、N.如果△C4N是

等腰三角形，则N8的度数为.

15.如图，将矩形A3c。绕点C沿顺时针方向旋转90。到矩形4配的位置，AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为

16.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落

在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为

17.如图，已知正方形ABCD的边长为4,0B的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD--PC的最大值为.

2

18.袋中装有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球

的概率是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2(x-2)>x-1

19.(6分)解不等式组工，并把它的解集表示在数轴上.

-<x+l

13

1IIIIIIIII[,

-5-4-3-2-1012345

20.(6分)如图，在AABC中，NACB=90。，ZABC=10°,△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

EB；如图2,当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；如图1,当点E在△ABC外部时，

EHLAB于点H,过点E作GE〃AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=1.求CG的长.

21.(6分)为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果

制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

小人数名

(1)本次接受随机抽样调查的中学生人数为，图①中m的值是；

(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于L5h的人数.

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).

(1)求抛物线的解析式；

(2)猜想△EDB的形状并加以证明；

(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

23.（8分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自

行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元

销售7辆获利相同.求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售,

该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获

利最大？最大利润是多少？

24.（10分）如图1,在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在线段CD上运动，将线段QA绕点。顺时针旋转,

使得点A的对应点E落在射线上，连接BQ,设（0。＜夕＜60°且ow30°）.

图1备用图

（1）当0°＜。＜30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求NBQE（用含a的式子表示）；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系，并加以证明；

（2）当30°＜60°时，直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.

25.（10分）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数

的图象交于C、D,CE_Lx轴于点E,tanZABO=->OB=4,OE=1.

2

(1)求直线AB和反比例函数的解析式;

(1)求AOCD的面积.

26.(12分)⑴计算：(a—b)2—a(a—2b)；

23

⑵解方程：=—.

x-3x

27.(12分)某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得

点O位于北偏东45。，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7。，测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC

24

tan73.7°k——

7

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlOL其中lg|a卜10,n为整数，据此判断即可.

【详解】

13.75亿=1.375x109.

故答案选D.

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法，解题的关键是熟练的掌握科学记数法.

2、A

【解析】

解：•.•乙出发时甲行了2秒，相距8m,.•.甲的速度为8/2=4m/s.

V100秒时乙开始休息.:,乙的速度是500/100=5m/s.

秒后甲乙相遇，.•.a=8/(5—4)=8秒.因此①正确.

；100秒时乙到达终点，甲走了4x(100+2)=408m,.."=500—408=92m.因此②正确.

•甲走到终点一共需耗时500/4=125s,,.\c=125—2=1s.因此③正确.

终上所述，①②③结论皆正确.故选A.

3、D

【解析】

根据题意得出：NB=30。，AP=30海里，NAPB=90。，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案.

【详解】

解：由题意可得：NB=30。，AP=30海里，NAPB=90。，

故AB=2AP=60(海里)，

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=7AB2-AP2=30x/3(海里)

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键.

4、C

【解析】

由平行线的判定定理可证得，选项A,B,D能证得AC〃BD,只有选项C能证得AB〃CD.注意掌握排除法在选择

题中的应用.

【详解】

A.VZ3=ZA,

本选项不能判断AB〃C。，故A错误；

B.VZD=ZDCE,

J.AC//BD.

本选项不能判断AB〃C〃，故5错误；

C.VZ1=Z2,

：.AB//CD.

本选项能判断A8〃C。，故C正确；

D.'：ZD+ZACD^180°,

J.AC//BD.

故本选项不能判断A3〃CZ>,故。错误.

故选：C.

【点睛】

考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

5、B

【解析】

先找出滑雪项目图案的张数，结合5张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解.

【详解】

•••有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，

2

,从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是y.

故选B.

【点睛】

本题考查了简单事件的概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6、C

【解析】

由题意得，4-x>0,x-4>0,

y3

解得x=4,则y=3,贝吐=:，

x4

故选：C.

7、B

【解析】

由图形可知AC=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.

【详解】

解：在4ABC^tlAADC中

；AB=AD,AC=AC,

.,.当CB=CD时，满足SSS,可证明△ABCgaACD,故A可以；

当NBCA=NDCA时，满足SSA,不能证明AABC义4ACD,故B不可以；

当NBAC=NDAC时，满足SAS,可证明△ABC^^ACD,故C可以；

当NB=ND=90。时，满足HL,可证明AABC安4ACD,故D可以；

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.

8、C

【解析】

由平行四边形的性质得出ND=NB=52。，由折叠的性质得：ZD,=ZD=52°,ZEAD,=ZDAE=20°,由三角形的外角性

质求出NAEF=72。，由三角形内角和定理求出NAED，=108。，即可得出/FED，的大小.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.••4=4=52。，

由折叠的性质得：ND'=/D=52。，NEAD'=/DAE=20。，

.,・/AEF="+^DAE=520+20°=72°，NAED'=180°—4AD'—^D'=108°，

：.^FED'=108°-72°=36°；

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质

和折叠的性质，求出NAEF和NAED，是解决问题的关键.

9、C

【解析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小

于1时，n是负数.

解：149000000=1.49x2千米1.

故选C.

把一个数写成axion的形式，叫做科学记数法，其中lW|a|V10,n为整数.因此不能写成149x106而应写成1.49x2.

10、C

【解析】

根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,Xl・X2=-5,再变形XF+X22得到（X1+X2）2-2x^2,然后利用代入计算即可.

【详解】

•・•一元二次方程X2-2X-5=0的两根是xi、X2,

:.Xl+X2=2,Xl*X2=-5,

/.Xl2+X22=(X1+X2)2-2XI*X2=22-2X(-5)=1.

故选C.

【点睛】

hr

考查了一元二次方程ax?+bx+c=O(a/0)的根与系数的关系：若方程的两根为xi,X2,则xi+x2=-—,xi»X2=—.

aa

11、D

【解析】

试题分析：根据题意得a丹且A=42-4acN0,解得acW4且#1.观察四个答案，只有c=l一定满足条件，故选D.

考点：根的判别式；一元二次方程的定义.

12、B

【解析】

试题分析：如图，延长DC到F,则

VAB/7CD,ZBAE=40°,ZECF=ZBAE=40°.

ZACD=180°-ZECF=140°.

故选B.

考点：1.平行线的性质；2.平角性质.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1.

【解析】

由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可.

【详解】

解：•.•反比例函数的图象在一、三象限，

：.2-k>0,即kV2.

又•.%是正整数，

，k的值是：1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

14、4?或•，.

【解析】

MN是AB的中垂线，则4ABN是等腰三角形，且NA=NB,即可得到NB=NBAN=NC.然后对ZkANC中的边进行

讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得NB的度数.

解：•.•把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M,交BC于点N,

；.NB=NA.

，ZB=ZBAN,

VAB=AC

/.ZB=ZC.

设NB=x。，则NC=NBAN=x。.

1）当AN=NC时，ZCAN=ZC=x°.

则在AABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180,

解得：x=45。则NB=45。；

2）当AN=AC时，NANC=NC=x。，而NANC=NB+NBAN,故此时不成立;

180—x

3）当CA=CN时，ZNAC=ZANC=----------.

2

180—x

在AABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+----------=180,

2

解得：x=36°.

故NB的度数为45。或36°.

15-.—71—2y/3

3

【解析】

试题解析：连接CE,

•••四边形ABCZ＞是矩形，

AD=BC=4,CD^AB=2,ZBCD=ZADC=90,

：.CE=BC=4,

：.CE=2CD,

ZDEC=30,

:.ZDCE=60,

由勾股定理得：DE=2®

2

7t

,阴影部分的面积是S=S■彩CEB，一SACDE=60*42——x2x=§兀一2百.

36023

故答案为|兀—2Ji

16、7

【解析】

设树的高度为xm,由相似可得二="”=］，解得x=7,所以树的高度为7m

262

17、1

【解析】

分析：由PD-，PC=PD-PGWDG,当点P在DG的延长线上时，PD-』PC的值最大，最大值为DG=1.

22

详解：在BC上取一点G,使得BG=L如图，

*PB_BC

••一9

BGPB

VZPBG=ZPBC,

/.△PBG^ACBP,

.PGBG_1

"PC

2

当点P在DG的延长线上时，PD-；PC的值最大，最大值为DG=，42+32=L

故答案为1

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决

问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

1

18、-

4

【解析】

解：列表如下：

红绿

红（红，红）（绿，红）

绿（红，绿）（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率=！.故答案为

44

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、不等式组的解是史3;图见解析

【解析】

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

2（x-2）>x-l（D

解：

-<x+l②

13

•••解不等式①，得史3,

解不等式②，得立一1.5,

...不等式组的解是x>3,

在数轴上表示为：

----1__।_।_111」___>>

-5-4-3-2-1012345

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题

的关键.

20、(1)证明见解析；(2)ED=EB,证明见解析；(1)CG=2.

【解析】

⑴、根据等边三角形的性质得出NCED=60。，从而得出NEDB=10。，从而得出DE=BE；

(2)、取AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后

得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，

设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

【详解】

⑴•••△CDE是等边三角形，

/.ZCED=60°,

/.ZEDB=60°-ZB=10°,

/.ZEDB=ZB,

/.DE=EB；

⑵ED=EB,理由如下：

取AB的中点O,连接CO、EO,

VZACB=90°,NABC=10。，

.,.ZA=60°,OC=OA,

/.△ACO为等边三角形，

.\CA=CO,

VACDE是等边三角形，

:.ZACD=ZOCE,

.'.△ACD之△OCE,

.\ZCOE=ZA=60°,

.,.ZBOE=60°,

.,.△COE之△BOE,

.\EC=EB,

/.ED=EB；

⑴、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,由(2)WAACD^AOCE,

；.NCOE=NA=60°,

/.ZBOE=60°,△COE四△BOE,

/.EC=EB,

/.ED=EB,

VEH±AB,

/.DH=BH=1,

；GE〃AB,

/.ZG=1800-ZA=120°,

.♦.△CEG丝△DCO,

.\CG=OD,

设CG=a,则AG=5a,OD=a,

.\AC=OC=4a,

VOC=OB,

.*.4a=a+l+l,

解得，a=2,

即CG=2.

21、(1)250、12；(2)平均数：L38h;众数:L5h;中位数:1.5h；(3)160000人；

【解析】

(1)根据题意，本次接受调查的学生总人数为各个金额人数之和，用总概率减去其他金额的概率即可求得m值.

(2)平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；众数是在一组数据中出现次数最多的数；中位数是将

一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数，据此求解即可.

(3)根据样本估计总体，用“每天在校体育锻炼时间大于等于L5h的人数”的概率乘以全校总人数求解即可.

【详解】

(1)本次接受随机抽样调查的中学生人数为60+24%=250人，

m=100-(24+48+8+8)=12,

故答案为250、12；

(2)平均数为0.5X30+1X60+1.5X120+2X20+2.5X2(_i38(h)

‘250''

众数为1.5h,中位数为号L$=1.5h；

(3)估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000x12Q^+2°=160000人.

250

【点睛】

本题主要考查数据的收集、处理以及统计图表.

26+2

22、(1)y=--x+3x；(2)△EDB为等腰直角三角形；证明见解析；(3)(^,2)或(92叵，-2).

433

【解析】

(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由8、。、E的坐标可分别求得。E、8。和5E的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；

(3)由5、E的坐标可先求得直线5E的解析式，则可求得尸点的坐标，当AF为边时，则有尸M〃AN且尸

则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当A尸为对角线时，由A、尸的坐标可求得平行四边形

的对称中心，可设出”点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得“点

坐标.

【详解】

解：(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

1•抛物线经过O、A两点，

二抛物线顶点坐标为(2,3),

可设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3,

3

把A点坐标代入可得0=a(4-2)2+3,解得a=--,

4

33

抛物线解析式为y=--(x-2)2+3,即y=x2+3x；

44

(2)△EDB为等腰直角三角形.

证明：

由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),

.\DE2=32+l2=10,BD2=(4-3)2+32=10,BE2=42+(3-1)2=20,

.\DE2+BD2=BE2,且DE=BD,

/.△EDB为等腰直角三角形；

(3)存在.理由如下：

设直线BE解析式为y=kx+b,

[1

r3=4左+Z?k=—

把B、E坐标代入可得<7,解得2,

l=b入1

i[b=1

・・・直线BE解析式为y=-x+L

2

当x=2时，y=2,

AF(2,2),

①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2,

.•.点M的纵坐标为2或-2,

在y=-2x?+3x中，令y=2可得2=-』x2+3x,解得x=$土,

443

•.•点M在抛物线对称轴右侧，

/.x>2,

.6+273

••x=--------,

3

.••M点坐标为(6+26,2)；

3

在y=-3x2+3x中，令y=-2可得-2=-3x2+3x,解得x=)土、^^,

443

•.•点M在抛物线对称轴右侧，

：.x>2,

.6+2/

••x=----------,

3

；.M点坐标为(6+2一)；

3

②当AF为平行四边形的对角线时，

VA(4,0),F(2,2),

二线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),

3

设M(t,--t2+3t),N(x,0),

4

则-』F+3t=2,解得t=6±2/,

43

•.•点M在抛物线对称轴右侧，

：.x>2,

Vt>2,

.一6+26

••I----------9

3

•••M点坐标为(6+26,2)；

3

综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(殳2叵，2)或(6+2岳,-2).

33

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及

分类讨论思想等知识.在(1)中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在(2)中求得△EDB

各边的长度是解题的关键，在(3)中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论.本题考查知识点较多，综

合性较强，难度较大.

23、(1)进价为1000元，标价为1500元；(2)该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

【解析】

分析：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5xx0.9x8-8x,

将标价直降100元销售7辆获利是(1.5X-100)x7-7x,根据利润相等可得方程1.5xx0.9x8-8x=(1.5x100)x7-7x,再

解方程即可得到进价，进而得到标价；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量x每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方

法求最值即可.

详解：(1)设进价为x元，则标价是L5x元，由题意得：

1.5xx0.9x8-8x=(1.5x-100)x7-7x,

解得：x=1000,

1.5x1000=1500(元)，

答：进价为1000元，标价为1500元；

(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：

a

w=(51+—x3)(1500-1000-a),

20

3

=-—(a-80)2+26460,

20

3

V--＜0,

20

•*.当a=80时,w最大=26460,

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元.

点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系

式，进而求出最值.

24、⑴①60。+20；@CE+AC=y/3CQ；(2)AC-CE=y/3CQ

【解析】

(1)①先根据等边三角形的性质的QA=沙，进而得出。5=QE,最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先

判断出AQA/三AQEC,得出=再判断出AQCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可

得出结论；(2)同②的方法即可得出结论.

【详解】

(1)当0°＜。＜30°时，

①画出的图形如图1所示，

AABC为等边三角形，

:.ZABC=60.

CD为等边三角形的中线

•••CD是的垂直平分线，

为线段CD上的点，

：.QA=QB.

,:Z.DAQ=cc,

：.ZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°—a.

•••线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，

：.QE=QA.

：.QB=QE.

:.ZQEB=ZQBE=60°—e,

:.ZBQE=180°-2ZQBE=180°-2（60°-a）=60。+2。；

图1

@CE+AC=y/3CQ；

如图2,延长C4到点/，使得A/=C£,连接QF,作于点〃.

VZBQE=60°+2a,点E在BC上，

ZQEC=ZBQE+ZQBE=（60°+2a）+（60。—a）=120。+a.

•.•点/在C4的延长线上，ZDAQ=a,

:.NQAF=ZBAF+ZDAQ=120°+a.

ANQAF=ZQEC.

又,：AF=CE,QA=QE,

；.AQAFsAQEC.

：.QF=QC.

•.•Q"J.AC于点〃，

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在CD上，

ZAC2=1zACB=30°,

即AQb为底角为30的等腰三角形.

，CH=CQ-cosZQCH=CQcos30°=CQ.

:.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=#>CQ.

(2)如图3,当30°<tz<600时，

在AC上取一点/使AE=CE,

•；AABC为等边三角形，

，ZABC=60.

,/CD为等边三角形的中线，

•••Q为线段CO上的点，

•••CD是的垂直平分线，

：.QA^QB.

■:ZDAQ=a,

ZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°—a.

•.•线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,

：.QE=QA.

：.QB=QE.

:.NQEB=ZQBE=60°—tz=ZQAF,

又,：AF=CE,QA=QE,

；.AQAFskQEC.

：.QF=QC.

J.AC于点〃，

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在CD上,

：.ZACQ=^ZACB=30°,

/.CH^CQ-cosNHCQ=CQ-cos30°=^CQ.

：.AC-CE=AC-AF=CF=2CH=&Q.

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.

25、(1)y=—x+2,y=—；(1)2.

2x

【解析】

试