高考数学一轮复习 专题8 立体几何与空间向量 第55练 向量法求解空间角和距离问题练习（含解析）-人教高三全册数学试题

第55练向量法求解空间角和距离问题[基础保分练]1．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))两两的夹角均为60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|等于()A．5B．6C．4D．82．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.eq\f(1,20)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(1,20)3．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．14．方向向量为s＝(1,1,1)的直线l经过点A(1,0,0)，则坐标原点O(0,0,0)到该直线的距离是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(6),3)5．平面α的一个法向量为n＝(1，－eq\r(3)，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(5π,6)6.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为()A.eq\f(3－\r(2),5) B.eq\f(3＋\r(2),5)C.eq\f(3－2\r(2),5) D.eq\f(2＋\r(2),5)7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为()A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a8．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为()A．60°B．70°C．80°D．90°9．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为6,4,4，则其顶点到底面的距离为________．10.如图所示，已知空间四边形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为________．[能力提升练]1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)2．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成的角的余弦值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)3．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为eq\f(π,3)，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a－b，则△OAB的面积为()A.eq\f(5,2)eq\r(3)B.eq\f(5,4)eq\r(3)C.eq\f(7,4)eq\r(3)D.eq\f(11,4)4．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知∠AOB＝90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA，OB分别成45°，60°角，则以OC为棱的二面角A－OC－B的余弦值为________．6.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是________．答案精析基础保分练1．A2.B3.B4.D5.B6.C7．A[以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，则(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，得x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a，故选A.]8．D[不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F.∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝eq\f(\r(2),2)a，PF＝eq\f(\r(2),2)b，∴eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝abcos60°－a×eq\f(\r(2),2)bcos45°－eq\f(\r(2),2)abcos45°＋eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)b＝eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)＋eq\f(ab,2)＝0，∴eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(FN,\s\up6(→))，∴二面角α－AB－β的大小为90°.]9.eq\f(6\r(22),11)解析设三棱锥为P－ABC，且PA＝6，PB＝PC＝4，以P为原点建立空间直角坐标系如图，则P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,0,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－6,4,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－6,0,4)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x＋4y＝0，,－6x＋4z＝0，))即y＝z＝eq\f(3,2)x，所以可选平面ABC的一个法向量为n＝(2,3,3)，所以P到平面ABC的距离d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|cos〈eq\o(PA,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(12,\r(4＋9＋9))＝eq\f(6\r(22),11).10．0解析设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则|b|＝|c|，〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a|·|c|coseq\f(π,3)－|a|·|b|coseq\f(π,3)＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.能力提升练1．B[设A1在底面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，分别以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)．设△ABC的边长为1，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，0，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\f(\r(6),3)))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),6)，\f(1,2)，\f(\r(6),3)))，平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值sinα＝|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(\f(75,36)＋\f(1,4)＋\f(6,9)))＝eq\f(\r(2),3).]2．C3．B[|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2＋4a·b)＝eq\r(7)，同理|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，则cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(6|a|2－|b|2＋a·b,7)＝eq\f(11,14)，从而有sin∠AOB＝eq\f(5\r(3),14)，∴△OAB的面积S＝eq\f(1,2)×