2020学年中考数学全真模拟试卷含详细解析 (三)

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列数：-3,1,-2,0中，最大的是（）

A.-3B.0C.-2D.1

2.若式子万元在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A,x>5B.x>5C.x/5D.x>0

3.下列计算正确的是（）

A.（-2）x3=6B.V9=±3C.-2D.V25-716=V9

4.某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12、

13、13、14、12、13、15、13,则他们年龄的众数、极差分别是（）

A.12,3B.13,3C.14,2D.13,2

5.下列运算正确的是（）

A.a2«a3=a6B.a3-?a2=aC.（a3）2=a9D.a2+a3=a5

6.如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称

为格点.若AABC与AAIBICI是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐

标是（）

A.(0,9)B.(8,0)C.(9,0)D.(10,0)

7.用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（）

8.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生.如图是某校

三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为408人，表（1）是该校

学生阅读课外书籍情况统计表.根据图表中的信息，可知该校学生平均每人读

课外书的本数是（）

图书种类频数频率

科普知识840B

名人传记816034

漫画丛书A0.25

其它1440.06

A.2B.3C.4D.5

9.如图，第①个图形中有4个〃。〃，第②个图形中有10个〃。〃，第③个图

形中有22个〃。〃，…，那么第⑤个图形中〃。〃的个数是（)

0

oOO

oOOOOOO

OOOOOOOOOOOO

00OOOO

OO

①②③

A.46B.70C.94D.190

10.如图，在MBC中，zC=90°zAC=BC=4,D是AB的中点，经过C、D

两点的圆交AC、BC于点E、F,且AE=CF.当圆变化时，点C到线段EF的最

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解：a3-9ab2=.

12.据了解,2014年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500

用科学记数法表示为.

13.一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜

色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为.

14.甲、乙两人同时从A地出发到B地去，已知甲骑自行车，乙步行，甲到达

B地后用半小时办完事后按原速返回.甲、乙两人之间的距离y（单位：千米）

与行驶时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是.

15.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1,直线AB

与y轴所夹锐角为60°,反比例函数y=（x>0）的图象经过A、B两点，则k

16.如图,直角梯形ABCD中,zA=90°,zB=120°,AD=如,AB=6.在底

边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得NDEF=120°.若射线EF经过点C,

则AE的长是.

三、解答题(共8小题，共72分)

17.直线y=kx+4经过点(1,2),求不等式kx+4>0的解集.

18.已知：如图，AB=AE,zl=z2,zB=zE.求证：BC=ED.

19.如图，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.平

面直角坐标系和AABC的位置如图所示.

(1)画出△ABC关于(-1,-1)的中心以寸称AAIBICI;

(2)P(a,b)是SBC的边AC上一点，MBC经平移后点P的对应点为Q

(a+6,b+2),请画出上述平移后的AA2B2c2,并写出点A2、C2的坐标.

20.某市对将参加2014年中考的初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制

出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图表信息回答下列问题：

(1)在频数分布表中，a的值为，b的值为，并将频数分布直方图补充完整；

(2)甲同学说"我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数"，请直接写

出甲同学的视力情况应在什么范围内？

视力频数(人)

4.0<x<43200.1

43<x<4.6400.2

4.6<x<4,9700.35

4.9<x<5.2a0.3

5.2<x<5.510b

(3)视力在5.2以上(含5.2)的同学中通过了一中、二中、三中的分配生考

试的学生分别有1人、2人、2人，请用列表法或画树形图的方法求出"从五位

通过考试的学生中随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生"

的概率.

21.如图，以MBC的边BC为直径的。。交AC于点D,过点D作。0的切

线交AB于点E.

(1)如图1,若NABC=90。，求证：OEIIAC;

(2)如图2,已知AB=AC,若sinzADE=,求tanA的值.

22.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量是100

万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每

年投入的广告费是x(十万元)时，产品的销售量将是原销售量的y倍，y与x

的关系如下表：

x(十万元)012…

y11.51.8...

(1)已知y与x之间满足我们学习过的三种函数(即一次函数、反比例函数、

二次函数)关系中的一种，请求出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变

量的取值范围；

(2)如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万

元)与广告费x(十万元)的函数关系式；

(3如果每年投入的广告费为10万元~20万元公司获得的最大利润是多少？

23.如图MBC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P

从B出发，以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1

厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，

另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒.

(1)若a=2,ABPQ-ABDA,求t的值;

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形.

①若a=，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在NACB的平分线上？若存在，请求出a的值;若

不存在，请说明理由.

24.如图1,已知抛物线y=ax2+bx(awO)经过A(3,0、B(4,4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公

共点D,求m的值及点D的坐标;

（3）如图2,若点N在抛物线上，且NNBO二NABO,则在（2）的条件下，求

出所有满足APODSANOB的点P坐标（点P、0、D分别与点N、0、B又寸应）.

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列数：-3,1,-2,0中，最大的是（）

A.-3B.0C.-2D.1

考点：有理数大小比较.

分析：由于正数大于所有负数，两个负数绝对值大的反而小，依此进行比较即

可.

解答：解：••,正数大于0,

­­1最大.

故选D.

点评：此题主要考查了有理数的大小比较，有理数大小比较法则：(1)正数大

于0,0大于负数，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小.

2.若式子万元在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

A,x>5B.x>5C.x/5D.x>0

考点：二次根式有意义的条件.

分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0时，二次根式有意义.即可

求解.

解答：解：根据题意得x-520,即注5.故选B.

点评：主要考查了二次根式的意义和性质.概念:式子4(a>0)叫二次根式.性

质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

3.下列计算正确的是()

A.(-2)x3=6B.V9=±3C.3y^rg=-2D.V25_716='/9

考点：实数的运算.

专题：计算题.

分析：A、原式利用有理数的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式利用平方根定义计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用平方根定义计算得到结果，即可做出判断.

解答：解：A、原式〜6,错误;

B、原式=3,错误;

C、原式二-2,正确;

D、原式=5-4=1”,错误.

故选C.

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄(单位：岁)分别为：12、

13、13、14、12、13、15、13,则他们年龄的众数、极差分别是()

A.12,3B.13,3C.14,2D.13,2

考点：极差；众数.

分析：根据极差、众数的概念求解.

解答：解：众数为：13,

极差为:15-12=3.

故选B.

点评：本题考查了众数和极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数

据的差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

5.下列运算正确的是()

A.a2«a3=a6B.a3-?a2=aC.(a3)2=a9D.a2+a3=a5

考点：同底数幕的除法；合并同类项；同底数幕的乘法；幕的乘方与积的乘方.

专题：计算题.

分析：根据同底数幕的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母

和字母的指数不变；同底数幕的乘法，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不

变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.

解答：解：A、a2・a3=a2+3=a5同底数幕的乘法，底数不变指数相加，故本选项

错误；

B、a3^a2=a同底数幕的除法，底数不变指数相减，故本选项正确；

C、（a?）2=x6,幕的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误;

D、a2+a3=a5不能合并同类项，故本选项错误.

故选B.

点评：本题考查同底数幕的除法，合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方很

容易混淆，一定要记准法则才能做题.

6.如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称

为格点.若AABC与AAIBICI是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐

标是（）

A.(0,9)B.(8,0)C.(9,0)D.(10,0)

考点：位似变换；坐标与图形性质.

分析：利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案.

解答：解：如图所示：点D即为所求，坐标为:(9,0).

点评：此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是

解题关键.

7.用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是()

考点：简单组合体的三视图.

分析：找到从几何体左面看得到的平面图形即可.

解答：解：从几何体左面看得到一列正方形的个数为2,

故选A.

点评：考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形

是解决本题的关键.

8.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生.如图是某校

三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为408人，表（1）是该校

学生阅读课外书籍情况统计表.根据图表中的信息，可知该校学生平均每人读

课外书的本数是（）

图书种类频数频率

科普知识840B

名人传记8160.34

漫画丛书A0.25

其它1440.06

A.2B.3C.4D.5

考点：频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数.

分析：首先求得图书的总册数，然后求得总人数，从而求得平均每人多少本.

解答：因为八年级的人数是408人，占34%,

所以求得全校人数有：408-34%=1200（人），

B=1-0.34-0.25-0.06=0.35,

由816^034=2400得图书总数是2400本，

所以全校学生平均每人阅读：2400^1200=2（本）.

故选A.

点评：本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，考查分析频数分布

直方图和频率的求法.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

9.如图，第①个图形中有4个，第②个图形中有10个，第③个图

形中有22个"。：…，那么第⑤个图形中"。"的个数是（)

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOO

OOOOOO

00OOOO

OO

①②③

A.46B.70C.94D.190

考点：规律型：图形的变化类.

分析：由图可知：第①个图形中有1+2+1=4个"。：第②个图形中有

1+2+4+2+1=10个"o"，第③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个

"O"，…，得出第n个图形中有l+2+22+23+...+2n...+23+22+2+1个,

由此规律求得答案即可.

解答：解：第①个图形中有1+2+1=4个，

第②个图形中有1+2+4+2+1=10个"。",

第③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个"。",

•••,

第n个图形中有1+2+22+23+...+2L..+23+22+2+1个,

第⑤个图形中的个数是1+2+4+8+16+32+16+8+4+2+1=94.

故选：C.

点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算

规律，利用规律解决问题.

10.如图,在MBC中,zC=90°,AC=BC=4,D是AB的中点，经过C、D

两点的圆交AC、BC于点E、F,且AE=CF.当圆变化时，点C到线段EF的最

考点：圆的综合题.

专题：综合题.

分析：连结CD、DE、DF,如图，根据等腰直角三角形的性质得NA=45。，CD

±AB,CD=AD=BD,zDCB=45°,易证得AADE^ACDF,贝口/ADE二NCDF,

DE=DF,再判断AEDF为等腰直角三角形，得至I」DE二立EF,由于

2

SADEF="DE2=EF2，所以当EF越小,SADEF越小，加上SACEF+SAEDF=SAADC=S，ABC,

则当EF越小，SADEF越小，而S.CEF越大，此时点C到EF的距离越大，即EF最

小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h,根据圆周角定理,

由NECF=90。得EF为。0的直径，所以当。0的直径等于CD时，。0的直径

最小，即EF最小，此时可判断四边形CEDF为正方形，根据正方形和等腰直角

三角形的性质易得h=V2.

解答：解：连结CD、DE、DF,如图,

•.zC=90°,AC=BC=4,

「.△ABC为等腰直角三角形，

.-.zA=45°,

••.D是AB的中点,

.-.CD±AB,CD=AD=BD,zDCB=45°,

在MDE和4DF中,

'AE=CF

<ZA=ZDCF,

,AD=CD

・.△ADE斗CDF(SAS),

.-.zADE=zCDF,DE=DF,

•/zADF+zCDE=90°,

.-.zCDF+zCDE=90°,即NEDF=90°,

・•.△EDF为等腰直角三角形，

..DE二返EF,

2

22

.•.SADEF=-DE=EF,

当EF越小,SADEF越小，

,•■SACEF+SAEDF=SACDE+SACDF=SACED+SAADE=SAADC=SAABC=4,

.•.当EF越小,SADEF越小,而SACEF越大,此时点C到EF的距离越大,

即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h,

•.zECF=90°,

「•EF为。。的直径，

二当。0的直径等于CD时，。0的直径最小，即EF最小，止匕时/DEC=N

DFC=90°,则四边形CEDF为正方形，h=CD二・AB二・・4加二加,

即点C到线段EF的最大距离为正.

故选A.

A--5B

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质；

会运用三角形全等解决线段相等的问题；记住三角形的面积公式.

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

11.因式分解：a?-9ab2=a(a-3b)(a+3b).

考点：因式分解-提公因式法.

分析：首先提取公因式a,进而利用平方差公式分解因式得出即可.

解答:解：a，-9ab2=a(a2-9b2)=a(a-3b)(a+3b).

故答案为：a(a-3b)(a+3b).

点评：此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式

是解题关键.

12.据了解，2014年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500

用科学记数法表示为5.85x104.

考点：科学记数法一表示较大的数.

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中14同＜10,n为整数.确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数

点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，

n是负数.

解答：解：将58500用科学记数法表示为5.85X104.

故答案为:5.85X104.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形

式，其中14同＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

13.一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜

色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为.

考点：概率公式.

分析：由一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球

除颜色不同外没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案.

解答：解：•.一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，

」•从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为：一匚二.

6+9+3

故答案为：.

点评：此题考查了概率公式的应用.注意概率二所求情况数与总情况数之比.

14.甲、乙两人同时从A地出发到B地去，已知甲骑自行车，乙步行，甲到达

B地后用半小时办完事后按原速返回.甲、乙两人之间的距离y（单位：千米）

与行驶时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是鲁.

考点：一次函数的应用.

分析：根据甲到达B地后用半小时办完事求出b=l+=,由图可知乙的速度为

（6-4）-=4（千米/小时）,则甲的速度为6+4=10（千米/小时），则4千米

两人相遇所用时间为4+（4+10）=，所以a=b+,即可解答.

解答：解：如图，

t/小时

・••到达B地后用半小时办完事,

/.b=l+=,

由图可知乙的速度为(6-4)-=4(千米/小时),则甲的速度为6+4=10(千

米/小时),

则4千米两人相遇所用时间为4-(4+10)=,

所以a=b+二.

点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的

关系，读懂题目信息，理解甲乙二人的行驶过程是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的纵坐标分别为7和1,直线AB

与V轴所夹锐角为60°,反比例函数y=(x>0)的图象经过A、B两点，则k

的值是公•

3

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

分析：根据A、B点纵坐标设点B(k,1),则A(,7),根据BF=BE-EF,

列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出反比例解析式.

解答：解：•.,反比例函数y=(x>0)的图象经过A、B两点，

•・设点B(k,1),则A(,7),

•/BF=BE-EF,

.-.k-=cot60°x(7-1)=2V5,

解得：k二苧,

故答案为公.

3

点评：本题考查了反比例函数的综合运用.关键是明确点的坐标与直角三角形

的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点.

16.如图,直角梯形ABCD中,zA=90°,zB=120°,AD=«,AB=6.在底

边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得NDEF=120。.若射线EF经过点C,

则AE的长是2或5.

考点：相似三角形的判定与性质；直角梯形.

分析：过点B作BH_LDC,延长AB至点M，过点C作CM_LAB于F,则

BH=AD=V3，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6

-x,利用勾股定理用x表示出DE及EF的长,再判断出AEDFSABCE,由相似

三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可.

解答：解：过点B作BH±DC,延长AB至点M,过点C作CM_LAB于M,

则BH=AD=MF=V3,

•.zABC=120°,ABIICD,

.-.zBCH=60°,

.-.CH=BM=_BH_=1,

tan600

设AE=x,则BE=6・x,

222

在RNEFM中，EF=(EB+BH)+hf=(7-x)+3，

/ABIICD,

.-.zEFD=zBEC,

•.zDEF=zB=120°,

・•.△EDFiBCE,gpAEDF-ABFE,

•DFEF

''EF^BE'

・•.EF2=DF・BE,即(7-x)2+3=7(6-x),

解得x=2或5.

故答案为：2或5.

DH

(F)

点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角

的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解.

三、解答题（共8小题，共72分）

17.直线y=kx+4经过点（1,2）,求不等式kx+4>0的解集.

考点：一次函数与一元一次不等式.

分析：把点（1,2）的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式

y=-2x+4,然后解不等式-2x+4>0即可.

解答：解：把点（1,2）的坐标代入直线解析式y=kx+4中，

得k+4=2,

解得：k=-2,

则直线的函数解析式为：y=-2x+4,

由-2x+4>0，得：x<2.

点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的求解，根据点在直线上，把点

的坐标代入直线解析式求出k的值是解题的关键.

18.已知：如图，AB=AE,zl=z2,zB=zE.求证：BC=ED.

考点：全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：由N1=N2可得：/EAD=NBAC,再有条件AB=AE/B=NE可利用ASA

证明AABC当AED,再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED.

解答：证明：••・N1=N2,

.•.zl+zBAD=z2+zBAD,

即：zEAD=zBAC,

(ZB=ZE

在^EAD和ABAC中,AB=AE,

,ZBAC=ZEAD

・.△ABC斗AED(ASA),

.-.BC=ED.

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判

定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具.

19.如图，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.平

面直角坐标系和^ABC的位置如图所示.

(1)画出△ABC关于(-1,-1)的中心'又寸称AAIBICI;

(2)P(a,b)是MBC的边AC上一点，MBC经平移后点P的对应点为Q

(a+6,b+2),请画出上述平移后的AA2B2c2,并写出点A2、C2的坐标.

考点：作图-旋转变换；作图-平移变换.

分析：(1)分别作出点A、B、C关于点(-1,-1)的中心对称的点Ai、

Bi、Ci，顺次连接即可；

(2)根据题意把AABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位即可.

解答：解：(1)如图：

(2)点A2(3,41C2(4,2).

环

U-

点评：本题考查的是旋转变换和平移变换，掌握中心对称的概念和作法、平移

的方向和距离是解题的关键.

20.某市对将参加2014年中考的初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制

出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图表信息回答下列问题：

（1）在频数分布表中，a的值为60,b的值为0.05,并将频数分布直

方图补充完整；

（2）甲同学说"我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数"，请直接写

出甲同学的视力情况应在什么范围内？

视力频数（人）

4.0<x<43200.1

43<x<4.6400.2

4.6<x<4.970035

4.9<x<5.2a0.3

5.2<x<5.510b

（3）视力在5.2以上（含5.2）的同学中通过了一中、二中、三中的分配生考

试的学生分别有1人、2人、2人，请用列表法或画树形图的方法求出"从五位

通过考试的学生中随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生"

考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；中位数；列表法与树状图

法.

分析：(1)根据第一组的频数是20,对应的频率是0.1即可求得总人数，然

后利用频率的概念求得a、b的值；

(2)根据中位数的定义即可作出判断；

(3)利用树状图法列举出所有的可能结果，然后利用概率公式求解.

解答：解：(1)抽查的总人数是：20+0.1=200(人),

贝Ua=200x0.3=60,b=Jl=0.05.

200

故答案是：60,0.05;

(2)甲同学的视力情况应在4.6<x<4.9内；

(3)如图所示：

一——==

A>jK

==--------------------------------

随机抽出两人，恰好一个是二中，另一个是三中的分配生"的概率是：国二.

20

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用

统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断

和解决问题.

21.如图，以AABC的边BC为直径的。O交AC于点D,过点D作。O的切

线交AB于点E.

(1)如图1,若NABC=90。，求证：OEIIAC;

(2)如图2,已知AB=AC,若sinzADE=,求tanA的值.

A

A

考点：切线的性质.

专题：证明题.

分析：（1）连结0D,如图1，根据切线的性质得NODE=90。，再证明RfOBE

^RfODE得至上1=N2,力口上N3=NC,贝阚用三角形外角性质可得N2=NC,然

后根据平行线的判定可判断OEllAC;

（2）连结0D,作OF_LCD于F,DH±OC于H,如图2,根据等腰三角形的

性质和三角开乡内角和定理，由AB=AC,OC=OD,NACB=NOCD可得NA=N

COD,根据切线的性质得NODE=90°,贝此ADE+NODF=90°,

而NDOF+NODF=90。，利用等角的余角相等得NADE二NDOF,于是有sinz

DOF=sinzADE=,在RfDOF中，根据正弦的定义得到近二,则可设DF=x,

贝UOD=3x,利用勾股定理计算出OF=2&x,DF=CF=x,OC=3x,接着可运

用面积法计算出DH二至x,然后在RfODH中用勾股定理计算出0H=x，再

3

根据正切的定义求解即可.

解答：（1）证明：连结0D,如图1,

••.DE为。。的切线，

/.OD±DE,

.-.zODE=90°,

在RNOBE和RMODE中，

[0B=0D

lOE=OEZ

/.RtAOBE^RtAODE,

/.zl=z2,

•.OC=OD,

/.z3=zC,

而N1+N2=NC+N3,

/.z2=zC,

/.OEllAC;

(2)解：连结OD,作OF_LCD于F,DH±OC于H,如图2,

.AB=AC,OC=OD,

而NACB=NOCD,

/.zA=zCOD,

.「DE为。。的切线，

/.OD±DE,

.-.zODE=90°,

/.zADE+zODF=90°,

而NDOF+NODF=90°,

.'.zADE=zDOF,

/.sinzDOF=sinzADE=,

在RNDOF中，sinzDOF=DF=,

OD

设DF=x，则OD=3x,

^2

.,.OF=OD_Dp-2=2,DF=CF=x,OC=3x,

•・DH・OC=OF・CD,

.DH=2&X・2X=4%X,

3x3

A

在RtODH中,OH=JOD2-DM二x,

逗_

.-.tanzDOH=DH=~^=±^

OHI7

3xX

/.tanzA=i22

7

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的

性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角

三角形解决有关问题.也考查了解直角三角形.

22.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量是100

万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每

年投入的广告费是x（十万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，y与x

的关系如下表：

x（十万元）012…

y11.51.8...

（1）已知y与x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数、

二次函数）关系中的一种，请求出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变

量的取值范围；

（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万

元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3如果每年投入的广告费为10万元~20万元公司获得的最大利润是多少？

考点：二次函数的应用.

分析：（1）二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,利用表格数据，即可求出y

与x之间的函数关系式；

（2）根据利润看作是销售总额减去成本费和广告费，可得结论；

（3）利用配方法，可求最值.

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.

jc=l

由关系表,得a+b+c=l.5,

,4a+2b+c=l.8

10

解得b1•

,c=l

故函数的解析式为y=-存<2+x+l.

(2)根据题意，得S=100y(3-2)-x=-10x2+50x+100;

(3)S=-10x2+50x+100=-10(x-)2+325,

2

,/l<x<2,

.•.当x=2时,S=160,

每年投入的广告费为10万元~20万元，公司获得的最大利润是160万元.

点评：本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是从实际问

题中整理出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大.

23.如图MBC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P

从B出发，以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1

厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，

另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒.

(1)若a=2,△BPQmBDA,求t的值;

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形.

①若a=，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在NACB的平分线上？若存在，请求出a的值;若

不存在，请说明理由.

BODC

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形

的性质.

专题：几何综合题；压轴题.

分析：(1)由3BC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点,

根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2,^BPQ

一△BDA,利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；

(2)①首先过点P作PE±BC于E,由四边形PQCM为平行四边形，易证得

(6-t)

PB=PQ,又由平行线分线段成比例定理，即可得方程乙j-------,解此方程

106

即可求得答案；

②首先假设存在点P在NACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可

得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,

解此方程组求得t值为负，故可得不存在.

解答：解：(1)△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,

.■.BD=CD=BC=6cm,

/a=2,

.•.BP=2tcm,DQ=tcm,

/.BQ=BD-QD=6-1(cm),

.△BPQSABDA,

•BP_BQ

•,而无’

即纹匕，

610

解得:t=18；

13

(2)①过点P作PE_LBC于E,

••・四边形PQCM为平行四边形，

.-.PMllCQ,PQllCM,PQ=CM,

.-.PB:AB=CM:AC,

.AB=AC,

•.PB=CM,

•.PB=PQ,

,-.BE=BQ=(6-1)cm,

-a=,

.•.PB=tcm,

/AD±BC,

.-.PEllAD,

/.PB:AB=BE:BD,

解得：t=,

,-.PQ=PB=t=l^(cm);

②不存在.理由如下：

••.四边形PQCM为平行四边形，

.-.PMllCQ,PQllCM,PQ=CM,

.-.PB:AB=CM:AC,

•/AB=AC,/.PB=CM,/.PB=PQ.

若点P在NACB的平分线上，贝丘PCQ=NPCM,

/PMllCQ,

.•.zPCQ=zCPM,

.•.zCPM=zPCM,

・•・PM=CM,

二•四边形PQCM是菱形，

.-.PQ=CQ,PMllCQ,

・••PB=CQ,PM:BC=AP:AB,

,.PB=atcm,CQ=CD+QD=6+t(cm),

.•.PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),

'at=6+t①

<6+t」0-at小,

U

L12-10

化简得②：6at+5t=30③，

把①代入③得，t=-(，

「•不存在实数a，使得点P在NACB的平分线上.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定

与性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度较大，注意数形结合思想与方

程思想的应用.

24.如图1,已知抛物线y=ax2+bx(awO)经过A(3,01B(4,4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公

共点D,求m的值及点D的坐标;

(3)如图2,若点N在抛物线上，且NNBO二/ABO,则在(2)的条件下，求

出所有满足APODSANOB的点P坐标(点P、0、D分别与点N、0、B又寸应).

考点：二次函数综合题.

专题：压轴题.

分析：(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)根据已知条件可求出0B的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后

的解析式为：y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式

后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标;

(3)综合