2020-2021学年临沂市沂南县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年临沂市沂南县九年级上学期期末数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，共36.0分)

1.-I2020-|V2-2|-2sin45°+V8=()

A.1B.3C.2V2-1D.2V2-3

2.下列事件是必然事件的是()

A.买一张电影票，座位号是偶数

B.抛掷一枚普通的正方体骰子，1点朝上

C.地球绕太阳公转

D.明天会下雨

3.己知点P(x,y)在第二象限，|x|=6,|训=8,则点P关于原点的对称点的坐标为()

A.(6,8)B.(-6,8)C.(-6,-8)D.(6,-8)

4.如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体,它的左视图是()f\\

出

A.-------

B.

C.-------

D.—

5.某路口南北方向信号灯的设置时间为：红灯25s,绿灯30s,黄灯5s.王老师随机地由南往北开车

到达该路口，他遇到绿灯的概率是()

A*B*C*

6.如图，ANDB与AaEC相似，AB=3,DB=2,EC=6,则BC等于

()

A.9

B.6

C.5

D.4

7.已知关于”的一元二次方程%2-（2々+1）乂+卜2+2卜=0有两个实数根打，%2,则实数k的取值

范围是（）

A.k<-B.k<-C.k>4D.kW：且k力0

444

8.如图，AAOB是直角三角形，/.AOB=90°,NB=30。，点4的横坐标为

2,且点4在反比例函数y=：的图象上，则点B的坐标为（）

A.（-2,4）

B.（-4,2）

C.(-2>/3,V3)

D.（-V3.2V3）

如图，AB是。0的弦，BC与。。相切于点B,连结。4若乙4BC=70。,

则44等于（）

A.10°

B.15°

C.20°

D.30°

10.如图，线段4B是直线y=4x+2的一部分，点4是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6,曲线BC

是双曲线丫=:的一部分，点C的横坐标为6,由点C开始不断重复的过程，形成一

组波浪线.点P（2017,rn）与Q（2020,n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足

为点。和E,则四边形PDEQ的面积是（）

11.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点。旋转到力C位

置，已知AB1BD,CD1BD,垂足分别为8,D,A0=4m,AB=

1.6m,C0=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离＜：。为（）

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.

0.5m

12.在平面直角坐标系中，定义：已知图形W和直线，，如果图形w上存在一点Q,使得点Q到直线I的

距离小于或等于匕则称图形W与直线/“k关联”.已知线段4B,其中点4（1,1）,若线段4B

与直线y=-x+b”或关联”，贝帕的取值范围是（）

A.-1<6<V2B.0<b<4C.0<b<6D.V2<6<6

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.如2-2x与广一2久+1互为相反数，则x的值为.

14.在平面直角坐标系中，二次函数y=/与反比例函数y=—；Q<0）、寸/

的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点4（勺,771）,\\/

B（x2,m'）,C（x3,m）,其中m为常数，令<5=乙+冷+巧，贝帖的值为/

（用含m的代数式表示）军

15.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q四点均

在正方形网格的格点上，线段AB,PQ相交于点E,则

tanZ-AEP=.

16.如图，在中，Z.ABC=90°,AB=2,BC=4,点P在边BC上，联结ZP,将△4BP绕

着点4旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B',则BB'的长等于

17.已知双曲线y=:与O。在第一象限内交于A,B两点，4408=45°,则扇形04B的面积是

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19.计算

(l)(a-2)2-2(a-2)-15=0

(2)(x-2)2=4-2x

L,1

(3)V3COS245°—sin30°tan60°+-sin60°

(4)(TT-2018)°+(sin600)T+\tan300-V3|+V8

20.某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数

据如下表：

年度2006200720082009

投入技改资金X（万元）2.5344.5

产品成本y（万元/件）7.264.54

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数

能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；

（2）按照这种变化规律，若2010年已投入技改资金5万元.

①预计生产成本每件比2009年降低多少万元？

②如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精

确到0.01万元）

21.如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯4C的高度，测得

斜坡AB=105米，坡度”1：2,在8处测得电梯顶端C的仰角a=45。，求观光电梯4C的高度.

（参考数据：V2»1.41,V3«1.73.有z2.24.结果精确至U0.1米）

莽山五指峰景区摩天岭垂直电梯

22.小李经营的车饰店销售某品牌车漆修复液，已知其进价为40元/支，试销阶段发现将售价定为80

元/支时，每天可销售20支，后来为了扩大销售量，小李适当降低了售价，销售量y（支）与降价x（

元）的关系如图所示.

（1）请仔细读题，并补全下面表格：

降价x/元•••24—X・・・

销量y/支242830—

（2）若要使得平均每天销售这种修复液的利润W最大，则每支修复液应该降价多少元？最大的利

润”为多少元？

yX

-0|i-7^

23.如图，半圆。的直径力B=4,以长为2的弦PQ为直径,向点。方向作半HIM,其中P点在然上B

不与4点重合，但Q点可与B点重合.

发现：Q的长与合的长之和为定值，，求1：

探究：当圆M与4B相切时，求与的长.

（注：结果保留兀，即35°=争COS550=（5

c_54_______2_______.5

Q

图1备用图

24.（11分）△ABC中,"=30。,AB=2、月,将^ABC绕点B顺时针旋转一个角度比（0°＜比＜90。）,

得到△DBE,其中点A的对应点是点D,点C的对应点是点E,AC,OE相交于点F,连接BF.

:

7/C

X乂

4B-----------S2、\\

血E

团当a=60。时(如图1),求4AFB的度数和BF的长度;

团当优=90。时(如图2),求N4FB的度数和BF的长.

25.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点4作4。48=45。，在角的一边上截取

AB=3,过点B作BC〃x轴交y轴于点C,。在线段BC上，且5。=：。4=或，E,尸分别是线段

OA,4B上的两动点，且始终保持NOEF=45。.

(1)填空：点。的坐标为;

(2)设。E=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系式;

(3)当A4E尸是等腰三角形时，将AAEF沿EF边折叠，得到AAEF,试求折叠后点4的坐标.

参考答案及解析

I.答案：D

解析：解：原式=一1一（2-0一2x言+2近，

=-1-2+V2-V2+2V2,

——3+2A/2>

故选：D.

首先根据绝对值的性质，乘方的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算，然后再计算加

减即可.

此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值、特殊角的三角函数，二次根式的化简等知识点.

2.答案：C

解析：此题主要考查了随机事件的定义，其中解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机

事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发

生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

A.买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；

B.抛掷一枚普通的正方体骰子，1点朝上是随机事件；

C.地球绕太阳公转是必然事件；

。.明天会下雨是随机事件.

故选C.

3.答案：D

解析：解：：|X|=6,|y|=8,

・・・x=±6,y=±8,

vx<0,y>0,

・■・x=-6,y=8,

即点P的坐标是（一6,8）,关于原点的对称点的坐标是（6,-8）,

故选：D.

根据P在第二象限可以确定x,y的符号，再根据|x|=6,加=8就可以得到x,y的值，得出P点的坐

标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标.

主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律.解决本题的关键是

掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于工轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

4.答案:D

解析：

此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上

面看，所得到的图形是解题关键.

根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图有1列，小正方形数目为2.

解：如图所示：它的左视图是：

故选。.

5.答案：。

解析：

由红灯25s,绿灯30s,黄灯5s,直接利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

解:因为红灯25s,绿灯30s,黄灯5s,

所以他遇到绿灯的概率是濡==

故选。

6.答案：B

解析：解：•••△ADB7AEC,

ABDB32

---,n即n---=-

ACEC3+BC6

解得，BC=6,

故选：B.

根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键.

7.答案：B

解析：解：・•・关于x的一元二次方程产一(2々+l)x+l+2k=o有两个实数根乙,X2,

；.△=[-(2k+I)]2-4x1x(fc2+2/c)>0,

解得：fc<;4.

故选：B.

根据方程的系数结合根的判别式ANO,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范

围.

本题考查了根的判别式，牢记“当A20时，方程有两个实数根”是解题的关键.

8.答案：。

解析：解:过点A,B作4C1X轴，BDLx轴，分别于C,D.

把x=2代入y-:得y=1,

•••4(2,1),

.・.OC=2,AC=1,

vZ-AOB=90°,

・•・Z.AOC+(BOD=90°.

•・,乙DBO+乙BOD=90°,

・••乙DBO=Z.AOC.

•・•乙BDO=Z.ACO=90°,

BDOfOCA.

•・•Z.AOB=90°,Z.B=30°,

瑞3

BD_OP_OB遮,即芋=竿=次,

OC~AC~OA

BD=2V3，OD=V3,

•••B(-V3,2V3).

故选：D.

过点Z,B作AC1x轴,BD1x轴，分别于C,D,根据条件得到△4cos△ODB,得到婴=器=券=遮,

即一=华=百，即可求得8。=2百，OD=V3.从而求得8(-6,2%).

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求

得点B的坐标是解题的关键.

9.答案:C

解析：解：连接0B,

vBC是。0的切线，

•••OB1BC,

：.Z.CBO=90°,

v乙ABC=70°,

^OBA=90°-70°=20°,

OA=OB,

:.Z.A=/.OBA=20°,

故选C.

根据切线的性质得：4CBO=90。，从而求出4OB4的度数，再由同圆的半径相等，由等边对等角得

出结论.

本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，是常考题型，属于基础题；在圆中常运

用同圆的半径相等证明线段相等或角相等，要知道这一隐含条件；如果一条直线符合下列三个条件

中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直

线与圆的切线垂直.

10.答案:c

解析：解：A,C之间的距离为6,

2017+6=336...1,故点「离工轴的距离与点B离x轴的距离相同，

在y=4x+2中，当y=6时，x=1,即点P离x轴的距离为6,

:・m=6,

2020-2017=3,故点Q与点P的水平距离为3,

v6=y,

解得k=6,

双曲线y=p

1+3=4,

y=q=|,即点（2离工轴的距离为I，

••・四边形PDEQ的面积是若丝=y.

故选：C.

A,C之间的距离为6,点Q与点P的水平距离为3,进而得到4,B之间的水平距离为1,且k=6,根

据四边形PDEQ的面积为若丝=手，即可得到四边形PDEQ的面积.

本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及一次函数的性质，解题时注意：四边形PMNQ

为梯形，依据梯形的面积公式即可得到其面积.

11.答案：C

解析：

本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.由448。=

乙CDO=90°,Z.AOB="00可证△48。7CD0,据此得当=券，将已知数据代入即可求解.

解：■：ABVBD,CD1BD,

：.4ABO=乙CD0=90°,

又乙A0B=乙COD,

・•・△ABOs^CDO,

则丝=—,

COCD

•・,AO=4m,AB=1.6m,CO=Im,

41.6

-=——，

1CD

解得：CD=0.4m.

故选c.

12.答案：C

解析：解：如图，在点4的下方，点4到直线y=-x+b的

距离为/时，b=0,

因此关系式为y=—x,

将直线y=-x向上平移至点B到直线y=-x+b的距离为

迎时，即BM=MC=近,

此时，BC=&•近=2,y=-x

.•.点C的坐标为(5,1),

又：CN=ND=1,

OD=5+1=6=OE,

把。(6,0)代入y=-x+b得，b=6,

b的取值范围为0<b<6,

故选：C.

在点A的下方，点A到直线y=-x+b的距离为a时，求出相应的b的值，向上平移在点8的上方，使

点B到直线y=-x+b的距离为近时，求出相应的b值，根据题意可求出对应的b的取值范围.

本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，根据题意画出图形，根据图形分情况讨论

解答是解决问题的关键.

13.答案:3或一1

解析：解：2-2%+/-2%+1=0,

整理得/—4%+3=0,

(x-3)(x-l)=0,

x—3=0或%—1=0,

所以=3,x2=1.

故答案为3或-1.

根据题意得2-2x+/-2x+l=0,然后把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个

一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这

样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

14.答案：

解析：解：设点4、B在二次函数y=%2图象上，点c在反比例函数y=—；(%<0)的图象上.因为4B

两点纵坐标相同，则4、B关于y轴对称，则%1+%2=0,因为点C(%3，m)在反比例函数图象上，则=

1

m

・•・6=+外+%3=%3=-'，

故答案为一工.

m

三个点的纵坐标相同，由图象可知'=/图象上点横坐标互为相反数，则%1+%2+心=%3,再由反

比例函数性质可求的.

本题考查二次函数图象的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对

称.

15.答案：|

由题意得4P〃BQ,AP=BQ,

AZ.PAE=/.QBE,Z-APE=Z-BQE,

••.△P/E三△QBEQ4sA),

・•・PE=QE,

设8Q=Q,则PQ=&a,改=.。=白，

.丝一比一返，空=」-=江，

~~PQV2a2

tEQ_BQ

••BQ-PQ，

•・,乙EQB=乙BQP,

EQB~ABQP,

・••乙QEB=“BP,

・•,tan乙QEB=tan4QBP=

vZ.AEP=(QEB,

・•・tanz.AEP=

2

故答案为a

连接BP,通过证明AP/IE三AQBE可得PE=QE,设BQ=a,则PQ=&a，EQ=/Q=*,通

过证明△EQBfBQP可得4QEB=乙QBP,再解直角三角形可求解tan/QEB=结合对顶角相等

可求解.

本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，证明AEQB-A

BQP是解题的关键.

16.答案：|Vio

解析：解：如图，延长力夕交BC于E,过点B'作B'D1AB于点D,

AC=7AB2+BC2-=V16+4=26，

,・•点M是4C中点，

・・•AM=遍，

・・・将△ABP绕着点A旋转,使得点P与边4C的中点M重合,

・•,AP=AM=V5，乙PAB=Z.CAE,AB=ABr=2,

•・,4P2=AB2-¥PB2,

・・・PB=1,

V—=2=—,且4ABp=乙ABC=90°,

PBAB

・•.△ABP~ACBA,

・•・Z.PAB=乙C,

••Z-C=Z-CAE，

CE=AE,

AE2=AB2+BE2,

CE2=4+(4-CE)2,

•••CE=AE=

2

・•・BCEL=3

2

VB'D"BC,

AB'AEB,

.ABr_AD_BID

AEABBE

2_AD_BfD

--5=—=不一,

AD=I，B'D=I，

2

:.BD=I，

・・.BB'=7B'D?+BD2=/—+—=—,

725255

故答案为：源.

5

如图，延长4B'交BC于E,过点夕作B'D1AB于点D,由勾股定理可求47的长，由旋转的性质可求AP=

AM=正，乙PAB=Z.CAE.AB=AB'=2,通过证明^ABP-LCB4,可得zJMB=zC,可得CE=AE,

由勾股定理可求CE,BE的长，由相似三角形的性质可求8'0,80的长，即可求解.

本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE

的长是本题的关键.

17.答案：y[2n

解析：解：设O0的半径。4=。8=r,连接48,作直线y=x,与48交于点C,示、过/作AO_Ly轴

于点0,过B作BE1%轴于点E,过A作4FL0B于点F.

,•,O。在第一象限关于y=x对称，y=：(k>0)也关于y=%对称,

・・・/-A0C=N80C,OC1AB,Z.AOD=乙BOE,

・・•Z.AOB=45°,

・・•乙AOD=Z-AOC=乙BOC=乙BOE=22.5°,

由对称性知，AAOD^AAOC空ABOC三ABOE,

由反比例函数的几何意义知，SMOD=S^BOE=1x4=2,

S^AOC~S&BOC~2，

S^AOB=2+24,

vZ-AOB=45°,

：.AF=OF=-0A=—r.

22

,*,SXAOB=5,AF,

.142

4=-rx——r，

22

2

Ar=8近,

c45n7*2457rx8衣pz

"S扇形048=刀鼠=360=72Tl.

故答案为：V27T.

设O。的半径04=。8=r,连接48,作直线y=x,与力B交于点C,示、过4作4。ly轴于点。,

过B作BE1%轴于点E,过4作AF1。8于点F.由圆与双曲线的对称性得△AOD毛4AOg>BOC"

BOE,进而由反比例函数的比例系数的儿何意义得△AOB的面积，再由三角形的面积公式求得圆的

半径，最后由扇形的面积公式求得结果.

本题考查了反比例函数的性质，圆的基本性质，扇形的面积公式，解题的关键是知道反比例函数在

卜>0时关于、=%对称，求得三角形的面积.

18.答案:-立

3

解析：解：连接0B,

••・旋转75。,

》轴正半轴与。4的夹角为75。，

v乙AOB=45°,

0B与％轴正半轴夹角为75。-45°=30°,

过B作BDlx轴于0,

BC=0C=1,：.0B-V2,

BD=―，

2

0D=—,

2

.•・噂告

把8点坐标代入y=aM中得：一日=（苧）2①

解之得：a=-丝.

3

此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了.

此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了.

19.答案：解：(1)•••(&-2)2-2(a-2)-15=0,

(a-2-5)(a-2+3)=0,即(a-7)(a+1)=0,

则a-7=0或a+l=0,

解得a=7或a=—1；

(2)•••(x-2)2+2(x-2)=0,

(x-2)(x-2+2)=0,BPx(x-2)=0,

则x—0或x—2=0,

解得x=0或x=2；

(3)原式=V3X(-y)2—1xV3+^Xy

刀1遮遮

=V3X--T+T

V3V3V3

-2r+T

V3

4

(4)原式=1+(?)T+|y-V3|+2

2V3V3

1+—+V3--+2

3+笄

解析：(1)利用因式分解法求解可得;

(2)利用因式分解法求解可得;

(3)将特殊锐角三角函数值代入，再根据实数的运算法则计算可得;

(4)将特殊锐角三角函数值代入，再根据实数的运算法则计算可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

20.答案：解：(1)设其为一次函数，解析式为丫=/^+上

当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6,

，7.2=2.5k+6

16=+b

解得k=-2.4,b=13.2

••.一次函数解析式为y=-2.4x+13.2

把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，

左边中右边.

其不是一次函数.

同理.其也不是二次函数.

设其为反比例函数.解析式为丁=占

k

当％=2.5时，y=7.2,可得：7.2==解得k=18

2.5

1Q

・・・反比例函数是y=—.

1Q

验证：当％=3时，y=—=6,符合反比例函数.

3

同理可验证％=4时，y=4.5,x=4.5时，y=4成立.

1Q

可用反比例函数y=上表示其变化规律.

不

（2）①当％=5万元时，y=3.6.

4-3.6=0.4（万元），

・••生产成本每件比2009年降低0.4万元.

1Q

②当y=3.2万元时，3.2=二.

：,x=5.625

・•・5.625-5=0.625«0.63（万元）

・•・还约需投入0.63万元.

解析：（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法

求解即可；

（2）直接把％=5万元和y=3.2分别代入函数解析式即可求解.

21.答案：解：过B作_L水平地面于M,BNtAC于N,如图所

示：

则四边形AMBN是矩形，

:,AN=BM,BN=MA,

•.•斜坡AB=105米，坡度i=1：2=器，

AM

.♦.设BM=x米，贝ijAM=2x米，

AB=y/BM2+AM2=yjx2+（2x）2=V5x=105,

:.x=21V5>

AN=BM=21遥（米），BN=AM=42强（米）,

在RtABCN中，/.CBN=a=45°,

•••△BC/V是等腰直角三角形，

CN=BN=42而(米)，

AC=AN+CN=21V54-4275=63A/5X141.1(米)，

答：观光电梯AC的高度约为141.1米.

解析：过B作BM水平地面于M,BNLAC于N,则四边形AMBN是矩形，得4V=BM,BN=MA,

由坡度的定义和勾股定理求出AN=BM=21通(米)，BN=AM=42岔(米)，再证△8CN是等腰直

角三角形，得AN=BN=42遥(米)，即可求解.

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角

形是解题的关键.

22.答案：52%+20

解析：解：(1)设y与x的函数关系式为丫=卜》+b,

由函数图象可列方程组：9行?=篇

(4k+b=28

•••y与》的函数关系式为y=2x+20；

当y=30时，30=2x+20,得：%=5,

补全表格如下：

降价%/元245X

销量y/支2428302,x+20

故答案为：5,2x4-20；

(2)设降价x元，则每支车漆修复液的利润为(8040),销售的数量为y,

故每天的销售利润W=(80-40-x)(2x+20)=-2(x-15)2+1250,

a=—2<0,

当x=15时，加有最大值为1250.

・••当每支降价15元时，日销售利润最大为1250元.

(1)首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后代入x或y的值求得y或x的值即可;

(2)根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案.

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的顶

点式求函数的最值

23.答案：解：发现：如图1,连接OP、0Q,

vAB=4,

.・・op=0Q=2,

PQ=2,

图1

OPQ是等边三角形，

・・・Z-POQ=60°,

...沔的长为管=|兀，

又「半圆。的长为：^7TX4=2TT,

AP+矽的长=2兀一|?r=［兀,

；.I=/；

探究：当半圆M与4B相切时，

此时，MC=1,

如图2,当点C在线段04上时,

图2

在RM0CM中，

由勾股定理可求得：0C=VL

・•・cosZ-AOM=—=——

OM3

Z.AOM=35°,

・・•(P0M=30°,

・・・Z.AOP=Z-AOM-Z-POM=5°,

.0的长=空电=£,

“月1口」区18018

当点C在线段。8上时，如图3,

•・・4POM=30°,

・•・Z,AOP=180°-（POM-乙BOM=115°

•・石的长=穹衿=%

综上所述，当半圆M与4B相切时，Q的长为2或||兀.

Io1O

解析：发现：半圆。的长度是固定不变的，由于PQ也是定值，所以沔的长度也是固定值，所以前与

宿的长之和为定值；

探究：当半圆M与力B相切时，此时MC=1,且分以下两种情况讨论，当C在线段04上；当C在线段0B

上，然后分别计算出a的长.

本题考查了弧长公式，圆的切线性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

24.答案：（1）设4C、BD的交点为。

•••线段B4绕点B旋转60。得到线段BD,

•••Z.ABD=60°,AB=BD,

又•・.4A=30°,

・•・乙AGB=180°-60°-30°=90°,

・•・AFLBD,

v乙AGB=90°,Z,A=30°,

•••BG=-AB=-BD，

??

・•・AF垂直平分BD,

・•・DF=BF,

，Z.AFB=乙DFG,

・・•乙DGF=4AGB=90°,Z,D==30°,

・・・Z.DFG=90°-30°=60°,

・・・Z.AFB=60°,

•・•=30°,

:.Z.ABF=90°,

•••BF=tanz/1xAB==2;

3

(2)(2)如图2,AC.BD交于点G,连接4D,

•.•将A4BC绕点B顺时针旋转90。得到△DBE,

：.乙ABD=90°,AB=BD,

ADB=45°,

在A4BG和△DFG中，

48Gs△DFGf

・•・Z.DFG=乙ABG=90°,

・・・A、B、D、F在以4D为直径的圆上，

:.Z-AFB=/-ADB=45°.

在△ABF中，由正弦定理，可得

BF=AB

sinZjsinZjFB?

.5尸一2牙

sin30°sin450,

解得：BF=J?.

解析：⑴首先根据题意，把线段BC绕点B顺时针旋转60。得到线段BE,再连接DE,即可补全4DBE；

然后判断出2/垂直平分BD,即可推得OF=BF,A.AFB=Z.DFG,在RtACGF中，求出NDFG的度

数，即可判断出41FB的度数；

(2)首先根据相似三角形判定的方法，判断出A/WGsADFG,即可判断出NDFG=N4BG=90。；然

后推得4、B、。、F在以4。为直径的圆上，再根据圆周角定理，可得N4F8=4408=45。；最后在

△ABF中，由正弦定理，求出B尸的长是多少即可。

解：(1)•.•线段B4绕点B旋转60。得到线段BD,

:.Z.ABD=60°,AB=BD,

又•・•4A=30°,

・•・乙AGB=180°-60°-30°=90°,

・•・AF1BDf

vZ-AGB=90°,Z