2023年江西省南昌高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.马林・梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费

马等人研究的基础上对4-1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如

（其中P是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

2.设集合A={T,0,l,2},3=卜卜2/+5*+3>0},则（）

A.{0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1）

3.欧拉公式为=cosx+isinx,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e至表

示的复数位于复平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

八/、r\、[x（X+2],-2<X<Qc/人”、

4.已知函数满足：当xe[—2,2）时，/（尤）={''，且对任意xeR,都有〃x+4）=/（x）,

人,U<人<乙

则“2019）=（）

A.0B.1C.-1D.log23

5.若直线/不平行于平面a,且/々，则（）

A.a内所有直线与/异面

B.a内只存在有限条直线与/共面

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.a内存在无数条直线与/相交

6.函数/（力=订济的部分图像大致为（）

—%3+%2,x<1

7.已知函数/（幻=,a\wx.,若曲线y=/（x）上始终存在两点A，B,使得。且4?的中点在y

------,x>l

x(x+l)

轴上，则正实数。的取值范围为（）

1

A.(0,+oo)0,-C.一，十eD.fe,+oo)

ee

8.直线I过抛物线V=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则41A用+|8F|的最小值是

A.10B.9C.8D.7

9.已知。c>L则下列各式成立的是（）

c—1C—1

A.sina>sinbB.ca>cbC.ac<bcD.------<-------

ba

10.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：”=2及〃=3时，如图：

n=3

记为每个序列中最后一列数之和，则显为（）

A.147B.294C.882D.1764

u.已知非零向量满足7B=o，出=3,且［与的夹角为:，则|B|=（）

4

A.6B.3V2C.25/2D.3

12.已知复数二满足L=l+i,贝!||z|的值为（）

z

1lV2

A.-B.V2C.—D.2

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，若圆G：炉+（j-i）2=/（r>0）上存在点尸，且点尸关于直线x—y=0的对称点Q

在圆C2：（X-2）2+（J-1）2=1上，则r的取值范围是.

14.设等比数列仅“｝的前”项和为S“，若4-4=2,%-%=6,贝iJS4=.

15.（x+l『的展开式中/的系数为.

16.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法

从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在直三棱柱ABC—AUC中，CA=CB,点尸，。分别为AB1，的中点.求证：

(1)尸。//平面ABC；

(2)PQ，平面

IT

18.(12分)已知倾斜角为一的直线经过抛物线。：/=2勿(〃>0)的焦点尸，与抛物线C相交于A、B两点,且

4

\AB]=8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设尸为抛物线C上任意一点(异于顶点)，过P做倾斜角互补的两条直线4、12,交抛物线C于另两点C、D,

记抛物线C在点P的切线/的倾斜角为a,直线CO的倾斜角为夕，求证：a与尸互补.

3

19.(12分)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=一-.

4

(1)求sinC的值;

(2)当c=2a,且匕=3万时，求AABC的面积.

20.(12分)已知动圆M经过点N(2,0),且动圆/被》轴截得的弦长为4,记圆心M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设点M的横坐标为%,A,B为圆M与曲线C的公共点，若直线AB的斜率左=1,且毛€[°，4],求天的值.

21.(12分)已知椭圆二+二=1(">。〉0),上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是4、F2,焦距为2,

a~b~

点(1,1]在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若。为椭圆上异于A、3的动点，过A作与x轴平行的直线/,直线Q3与/交于点S,直线与直线AQ交

于点P,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

22.(10分)如图，空间几何体ABCDE中，AACD是边长为2的等边三角形，EB=EC=瓜,BC=26,

ZACB=90°,平面AC。_L平面ABC,且平面E8C_L平面ABC,"为AB中点.

D

E

(1)证明：〃平面BCE；

(2)求二面角E—AB-C平面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.

【详解】

解：模拟程序的运行，可得:

P=L

S=l,输出S的值为1,

满足条件PW7,执行循环体，p=3,S=7,输出S的值为7,

满足条件PW7,执行循环体，p=5,S=31,输出S的值为31,

满足条件PW7,执行循环体，p=7,5=127,输出S的值为127,

满足条件PW7,执行循环体，p=9,S=51L输出S的值为511,

此时，不满足条件PS7,退出循环，结束,

故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图，属于基础题.

2.A

【解析】

解出集合8,利用交集的定义可求得集合AQB.

【详解】

因为8={耳—2%2+5%+3>0}={闻2/—5x—3<0}=♦x—g<x<3],又A={—1,(),1,2},所以Ac3={(),l,2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

3.A

【解析】

计算e¥=cos三+isin&=^+且i，得到答案.

3322

【详解】

根据题意e"=cosx+isinx,故的'=cosX+isin工，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

4.C

【解析】

由题意可知/(2019)=/(-1)，代入函数表达式即可得解.

【详解】

由/(x+4)=/(X)可知函数/(x)是周期为4的函数，

/(2019)=/(-l+4x505)=/(-l)=-lx(-l+2)=-l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.

5.D

【解析】

通过条件判断直线/与平面碗交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线/不平行于平面a,且/Ua可知直线/与平面a相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

6.A

【解析】

根据函数解析式，可知/(x)的定义域为xwR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/(—》)=/(x),贝!|/(x)为偶

函数，可排除选项，观察A8选项的图象，可知代入x=0,解得/(())>(),排除3选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为/3=卓7，

所以“X)的定义域为xeR,

IHH\COS(-X)COSXz\

则/(-x)=不端=不上、；=/(x),

乙I乙乙I乙

.../(X)为偶函数，图象关于y轴对称，排除c,。选项，

且当x=0时，/(0)=|>0,排除8选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

7.D

【解析】

根据A8中点在y轴上，设出A3两点的坐标A(T,广+/)，B(t,fQ)),(r>0).对/分成=三类，利用

。4,08则砺.a=0,列方程，化简后求得。=」二，利用导数求得」一的值域，由此求得a的取值范围.

In/Inr

【详解】

根据条件可知A,B两点的横坐标互为相反数,不妨设A(T/+产)，，(f>0),若/<1,则/⑺=—/+12,

由。所以砺.砺=0,即72+«3+产)(一尸+产)=0,方程无解；若仁1,显然不满足04,05；若/>],

“、a\nt____2/3八。In,八t(t\ln^-1t

则/«)=7一由QA-QB=0，即一厂+(广+广~~-=0,即£/=■；—,因为—~~瓦，所以函数■；—

/。+1)'+InfUn/J(lnr)~In?

在(O,e)上递减，在(e,E)上递增，故在f=e处取得极小值也即是最小值导=e,所以函数y在(1+9)上的

值域为［e,+8),故ae［e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

8.B

【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得向+画=万=1；再由基本不等式可求得4|4川+忸产|的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线y2=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

J-+-L3]

\AF\\BF\p

所以4|4尸|+忸尸|

（4|AF|+|即）］曲+房

（\BF\4|AFh

=4+1+

[网\BF\j

因为|AF|、忸耳为线段长度，都大于0,由基本不等式可知

>5+2x2

>9,此时忸目=2|AF|

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

9.B

【解析】

根据函数单调性逐项判断即可

【详解】

对A,由正弦函数的单调性知sin«与sinb大小不确定，故错误；

对B,因为为增函数，且。＞方，所以c"＞",正确

对C,因为y=炉为增函数，故,错误；

对D,因为y=£」在（0,+。）为减函数，故？＞三，错误

xba

故选B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题.

10.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得56的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

2_

31530

2

2

21020

3

j_315

15

42T

j_6

612

55

j_

1510

6

所以§6=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

11.D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

TT

解：非零向量"足小=°,可知两个向量垂直‘且Z与口坂的夹角为屋

说明以向量行为邻边，Z+B为对角线的平行四边形是正方形，所以则|引=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

12.C

【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.

【详解】

【点睛】

本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[72-1,72+1]

【解析】

设圆G上存在点P(xo,yo),则。(/，xo),分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数

范围.

【详解】

设圆G上存在点P(xo,jo)满足题意，点P关于直线x-j=0的对称点Q(珈，xo),

则｛22

(y0-2)+(x0-l)=1

故只需圆好+(J—1)2=/与圆(x—1)2+(J—2)2=1有交点即可，所以+(2—1)2Wr+L解得

s/2,—1<r<V2+1•

故答案为：[、历一1,0+1]

【点睛】

此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.

14.-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为4,根据已知条件，列出方程组,求得4,4的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为4,

fa,-a、q=2

因为4一2=2,“2一2=6,即＜解得q=3,%=-1,

[ayq-aAq-=6

所以S4：？

\-q1-3

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用,其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15.6

【解析】

在二项展开式的通项中令x的指数为2,求出参数值，然后代入通项可得出结果.

【详解】

4的展开式的通项为』,令

(x+1)Tr+l=C：♦x4—r=2=r=2,

因此，（x+l『的展开式中产的系数为c：=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.

16.1.

【解析】

先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.

【详解】

15005

由题意，高三学生占的比例为

1200+900+1500-12

所以应从高三年级学生中抽取的人数为720x4=300.

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运

算与求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析（2）见解析

【解析】

（D取A3的中点连结PO,CZ）.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证CDLAB,AB和B与

都是平面A8gA内的直线且交于点3,由（1）得CD〃尸Q,再结合线面垂直的判定定理即得.

【详解】

（1）取A3的中点。，连结PO,CD.

在A484中，:P,。分别为Ag,AB中点，

PD//BB,,且=.在直三棱柱中，CC、HBB、,CG=台4」.•。为棱CG的中点，

CQ〃BB、,且CQ=；网.

PD//CQ,PD=CQ.

•••四边形POCQ为平行四边形，从而PQ//CD.

又CDu平面ABC,平面ABC,PQ〃平面ABC.

（2）在直三棱柱ABC-44a中，_L平面ABC.又CDu平面ABC,..Bq_LCO.：CA=CB,。为A3中

点，:.CD±AB.

由（1）知8〃尸Q,_LPQ,ABLPQ.

又A30B旦=3,ABI平面ABB】A,BB,u平面ABB^,

PQJ•平面ABB|A.

A\,Ci

B

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.

18.(1)》2=4y(2)证明见解析

【解析】

(D根据题意，设直线方程为y=x+5,联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；

2

(2)根据题意，设4的方程为y—会=%(%—%),联立方程得/+%=4左，同理可得/+%,=-4人，进而得到

%+与=-2/，再利用点差法得直线8的斜率，利用切线与导数的关系得直线/的斜率，进而可得。与月互补.

【详解】

(1)由题意设直线43的方程为y=x+§令A(%，x)、B(x2,y2),

p9

联立上一.5,得丁―3刀+2=0

2G4

[X=2py

X+必=3〃，

根据抛物线的定义得|AB|=y+%+〃=4〃，

又|阳=8,4P=8,p=2

故所求抛物线方程为V=4y.

222

(2)依题意，设pa。,,)，C(xc,^),。(程，今)

r2

设4的方程为y-^-=k(x-x.)9与f=4y联立消去了得元?一4丘+4区。-焉=0,

/+%=4&,同理元o+工。=-4k

2-2ii

xx1

XC+XD=-2x0,直线CD的斜率kCD=—~T=-(xc+xD)=--x0

4(X2一百)42

切线/的斜率勺=了.0。=;/，

由勺+%a>=0，即。与夕互补.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.

19.(1)恒；(2)组

44

【解析】

(1)利用二倍角公式cos2c=1-2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC>().

(2)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinAcosAcosC的值，又由

sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sin8的值，最后由正弦定理求出。的值，根据三角形的面积公式

即可计算得出.

【详解】

(1)由已知可得cos2c=l-2sin2c=-3,

4

,7

所以

因为在锐角AABC中，sinC>0,

所以sinC=且工

4

(2)因为c=2a9

所以sinA=—sinC=,

28

因为△A6C是锐角三角形，

gr-pl广>/25A/2

所以cosC----,cosA二----，

48

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

V14V2572V14377

=---------X----------1-----------X----------=----------.

84848

由正弦定理可得：里=，—，所以。=怖，

sinBsinA

所以SABC=LbsinC=」x\/r?x35/7=互

"c2244

【点睛】

此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算

能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.

20.见解析

【解析】

(1)设M(x,y),则点M到)'轴的距离为Ixl,

因为圆M被y轴截得的弦长为4,所以|MN|2=|X|2+4,

XIW|2=(x-2)2+y,所以+4=(x-2)2+/,

化简可得V=4x,所以曲线C的标准方程为产=4-

⑵设A(手,y),B(~,y2)>

因为直线AB的斜率k=\,所以可设直线AB的方程为y=%+〃?，

由y=x+〃?及y2=4x,消去X可得y2-4y+4，〃=0,所以乂+必=4,

所以|43|=及飞%+%)2-町必=4夜-VT布.

设线段的中点为T,点”的纵坐标为方,则7(2-〃?,2),MT±AB,

v—22

所以直线MT的斜率为一1,所以：二向=T，所以机=4-%-%=4

王)Um)4

所以|AB|=4&/1-瓶=4万

易得圆心〃到直线AB的距离”=美*|,-%+川=&|%-2|,

由圆加经过点N(2,0),可得|A81=2J|MN『_『=2、曳+4-2(%-2『,

24

所以32(九+%-3)=4［会+4-2(%-2尸］,整理可得y：-64*+320=0,

416

解得y；=32+8而或尤=32-8内，所以x°=8+2E或x0=8-2而，

又与€。4］,所以%=8-2万.

22

21.(1)-^+―=1；(2)NSPQ=；,理由见解析.

432

【解析】

(D求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得。的值，进而可求得。的值，由此可得出椭圆的方程；

(2)设点。的坐标为(小,%)(%。0)，求出直线8。的方程，求出点5的坐标，由此计算出直线AQ和尸2s的斜率,

可计算出2s的值，进而可求得NSPQ的值，即可得出结论.

【详解】

(1)由题意可知，椭圆的上焦点为耳(0,1)、6(0,-1),

由椭圆的定义可得=4,可得。=2,；2=户1=6，

22

因此，所求椭圆的方程为二+土=1;

43

直线8Q的斜率为原2="2,所以，直线8。的方程为y=2色X-2,

X。X。

y=2

联立y0+2，解得,

y-A—乙

、xo

y-2k=2+1=3(%+2)

直线AQ的斜率为阳°=且一，直线F,S的斜率为够一