（全国Ⅲ卷）2017-2020年高考理科数学全国卷3试卷试题真题含答案

绝密★启用前6.设函数/（x）=cos（x+]J,则下列结论错误的是（）

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷m）

A./（x）的一个周期为一2兀

理科数学B./（x）的图像关于直线产等对称

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.C.〃X+7t）的一个零点为X=K

6

1.已知集合A=｛（%,y）|/+y2=1｝,B=1（x,y）|y=则AB中元素的个数（）

A.3B.2C.lD.OD.〃x）在（5,兀）单调递减

2.设复数z满足（l+i）z=2i,则|z|=（）

7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为（）

A」B.—C.eD.2

22

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月

至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

w

®

根据该折线图，下列结论错误的是（）

辂A.月接待游客量逐月增加

*

授B.年接待游客量逐年增加8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的

母

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份体积为（）

.c3兀「兀一兀

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A.71B.—C.—D.—

424

4.（x+y）（2x-y）5的展开式中?y3的系数为（）

9.等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0.若生，生,4成等比数列，则｛凡｝前6项的和为

A.-80B.-40C.40D.80

（）

5.已知双曲线C:二一与=1（。>0,6>0）的一条渐近线方程为y=且与椭圆A.-24B.-3C.3D.8

ab2

22

22

乙x+乙v=1有公共焦点，则C的方程为10.已知椭圆c：三+5=1（。>6>0）的左、右顶点分别为A，4,且以线段A4为

123ab

A%2丁一1B%2/-ic"2直径的圆与直线fer-故+2必=0相切，则C的离心率为（）

D.---------=1

810455443

1分)

A后CD18.(12

A.----D.----C.----Lf.—

3333某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6

11.已知函数/(%)=%2—2%+a(ei+e-z)有唯一零点，贝普=()元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,

每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25,需求量为

500瓶；如果最高气温位于区间[20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,

.在矩形⑷中，AB=1,AD=2,动点尸在以点。为圆心且与相切的圆上.若

125CD需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温

则;的最大值为（）

AP-AAB+//AD,1+4数据，得下面的频数分布表：

A.3B.2&C.V5D.2

最IWJ

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

气温

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

^-y>0,天数216362574

13.若％,）满足约束条件〈尤+y—2<0,z=3元—4y的最小值为.以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

20,（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天

14.设等比数列｛q｝满足4+%=-1,%-生=一3,则a4=.

的进货量〃（单位：瓶）为多少时，丫的数学期望达到最大值？

15.设函数“%）二1+1""°'则满足/（%）+/（%-2）>1的％的取值范围是_____.

[2\x>0,2

16.a,方为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形45。的直角边AC所在直线与

ab都垂直，斜边以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与。成60。角时，AB与Z?成30。角；

②当直线与。成60。角时，AB与力成60。角；

③直线与a所成角的最小值为45°；19.(12分)

④直线AB与a所成角的最大值为60°.如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，AACD是直角三角形，

其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）ZABD=ZCBD,AB=BD.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

AABC的内角A,瓦C的对边分别为a,〃c,已知sinA+J5co乳=0,a=2币,

b=2.（1）证明：平面ACDJ_平面ABC；

（1）求c；（2）过AC的平面交于点£,若平面AEC把四面体45CD分成体积相等的两

（2）设。为边上一点，且AO_LAC,求人钻。的面积.部分，求二面角O-AE-C的余弦值.

数学试卷第3页（共76页）数学试卷第4页（共76页）

20.(12分)

已知抛物线C：V=2x,过点(2,0)的直线/交C与A,B两点，圆M是以线段43(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

去为直径的圆.第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

(1)证明：坐标原点。在圆M上；

设圆过点求直线/与圆的方程.\x=2+Z,

(2)NP(4,-2),M在直角坐标系尤Oy中，直线4的参数方程为,(方为参数)，直线4的参数方

［y=kt,

机，

lit%=-2+

程为，m(加为参数).设4与4的交点为尸，当上变化时，P的轨迹为曲线

上层

C.

n|p!(1)写出。的普通方程；

出X

#卷(2)以坐标原点为极点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，设4：

〃(cose+sin6)—J5=0,M为。与C的交点，求M的极径.

：21.(12分)

第已知函数/(%)二%一1一〃11比.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

(1)若/(%)之0,求。的值；

已知函数/(尤)=|%+1|-|尤一2］.

⑵设加为整数，且对于任意正整数"，(1+„口［1+£|＜加，求”的最

(1)求不等式/(%)之1的解集；

图小直(2)若不等式/'(0之Y一九+根的解集非空，求相的取值范围.

效

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷IH)7.【答案】D

理科数学答案解析解析

5=0+1>；M0=,,90<

1.【答案】B

【解析】A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合，直线y=x91,输出S,此时，力=3不满足KN,所以输入的正整数N的最小值为2,故选

与圆一+y=1有两个交点，所以A8中元素的个数为2.D.

8.【答案】B

2.【答案】C

21X【解析】设圆柱的底面半径为厂，则/=/—[(]=；，所以，圆柱的体积

【解析】z=—=z^~\=i(l-i),所以|z|=JL

1+i(l+i)(l-i)'’11

33

V=-7txl=—7C,故选B.

3.【答案】A44

【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都9.【答案】A

是减少，所以A错误.【解析】设等差数列|?|的公差为d，因为。2，。3，。6成等比数列，所以。2。6=。32，即

2

4.【答案】C(q+d)(G+5d)=(%+22)2,又1=1,所以d+2d=0,又dw0,则d=-2,

【解析】当第一个括号内取X时，第二个括号内要取含的项，即《已切彳->):所以4=%+5d=-9,所以的前6项的和邑=g^x6=-24,故选A.

当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含xV的项，即C；(2x)3(-y)2,所以

xY的系数为《x23Yx22=10x(8-4)=40.10.【答案】A

以线段44为直径的圆的方程为％2+、2=。2,由原点到直线及-纱+2"=0的距离

5.【答案】B

d=.~ab=a,得/=3必，所以C的离心率e=

【解析】根据双曲线C的渐近线方程为y=、5x,可知2="①，又椭圆工+匕=1

病+/V/3

2a2123

的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以/=9②，根据①②可知/=4万=5,11.【答案】C

【解析】由/(x)=d-2x+a(，T+eTM),得

所以选B.

/(2—x)=(2—x)2—2(2—x)+a[e2-"T+eY2T)+]=x2—4x+4+2x+a^e1-r+ex~')=x2—2x+a^e'~'

6.【答案】D

【解析】根据函数解析式可知函数/(x)的最小正周期为2兀,所以函数的一个周期为,所以/(2-x)=/(x)，即x=l为〃x)图像的对称轴.由题意/(x)有唯一零点，

所以/(x)的零点只能为尤=1,即/(1)=12-2><1+<7卜1+6-3)=0,解得

-2.it,A正确；当尤=—,xH—=3兀，所以cosjxH—]=—1,所以B正确；

33I3J

CL——.故选C.

r!\((4兀、、,，7t.47t3兀„2

/(X+71J—COSlx+7l+—1=COSIXH——I,当X=q时，XH———,所以Hl

12.【答案】A

/(x+7l)=o,所以C正确；函数/(x)=cos[x+1]在(3,|-7U)上单调递

【解析】以A为坐标原点，AB,AO所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角

2坐标系，则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线的方程为

减；(一兀，兀)上单调递增，故D不正确.所以选D.

3

数学试卷第7页(共76页)数学试卷第8页(共76页)

22

2x+y—2=0,点C到直线BD的距禺为1------=-，圆C：

VI2+22V5

14.【答案】-8

【解析】设等比数列｛〃,｝的公比为q,则4+。2=4（1+4）=-1，

一。3二。1（1一/）二一3,两式相除，得---4=-,解得g=—2,%=1,所以

1-q3

04Mg§=-8•

13.【答案】-1

/1、

【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线/:3x-4y=0,平15.［答案］

移直线/,当直线z=3%—4y经过点A（1,1）时，z取得最小值，最小值为111」

【解析】当x>0,/（%）=2仁1恒成立，当x—5>0,即％>5时，/（x--）=22>1,

3-4=-1.

当x-：40,即0<x4!时，/（x-L）=x+L>L,则不等式/（元）+/。一工）>1恒

222222

成立.当％"0时,/（%）+/（%一》=%+1+%+*=2%+1_>1,所以—.综上所

述，元的取值范围是（—，+°o）.

4

16.【答案】②③

【解析】由题意知，〃力,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示

正方体的棱长为1,则攵=VB=，，斜边A5以直线AC为旋转轴旋转，则A

J21

点保持不变，8点的运动轨迹是以C为圆心，/为半径的圆.所以|cosp\=­|cos6>|=—.

以。为坐标原点，以。。的方向为入轴正方向，CB方向为y轴正方向，C4的方向为z

因为尸£。2刈，

轴正方向建立空间直角坐标系.n

所以尸二§,此时AB'与b成60。角.

则。(1,0,0),A(0,0,1),

直线4的单位方向向量Q=(0,1,0),时=1.

5点起始坐标为(0,1,0),

直线b的单位方向向量b=(l,0,0),网=1.

设B点在运动过程中的坐标B'(cosasinaO),

其中夕为C9与的夹角，夕£[0,24).

那么AB'在运动过程中的向量A6'=(cosasin]=JL

设直线AB'与a所成的夹角为aG[0,2句,

三、解答题

|(cos9,sin6,-1)•(0,1,0)|争sin^GEO,^-],17.【答案】解：

cosa=

RM

(1)由已知得tarbA=-所以A二空.

3

故。£[工,三],所以③正确，④错误.

42在，A8C中，由余弦定理得28=4+c2-4ccos£,即c?+2c-24=0.

设直线AB'与b所成的夹角为力，则/£[0,2汨,

心夕•解得c=-6,(舍去)，c=4

cosB=-~j-----

回回(2)由题设可得NCA£>=?,所以/BAO=/BAC-NC4Z>=工.

26

|(cossin4-1)•(1,0,0)|

1Ji

—ABADsin—

一HM26_i

故IAB£>面积与，AC£>面积的比值为一厂

-ACAD

2

7C

当与a成60。角时，a二一，又|ABC的面积为|x4x2sinABAC=2^3,所以MBD的面积为耳.

3

]J2

|sin=A/2COSa=y12cos?=\/2x—=

【解析】(D)先求出角A,再根据余弦定理求出c即可；(2)根据|ABD,JACD,

因为sin?e+cos?6=1,，A8C的面积之间的关系求解即可.

所以|cos6|=日.18.【答案】解：

(1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

数学试卷第11页(共76页)数学试卷第12页(共76页)

2+16在中，BO2+AO1=AB2.

P（X=200）=0.2MAAO3

90

又AB=BD,所以5。+。。2=502+492二^二皮孔故NDOB=90°.

P（X=300）=—=0.4,尸（X=500）=———=0.4.所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由题设及(1)知，Q4,OB,O£)两两垂直，以o为坐标原点，%的方向为了轴

因此X的分布列为

X200300500正方向，"A为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oryz，则

0.20.40.4

P/(1,0,0),6(0,扁),<7(-1,0,0),27(0,0,1)•

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑

由题设知，四面体A2CE的体积为四面体ABC。的体积的g,从而E到平面A8C的

200^71^500

当300W〃W500时，

距离为。到平面ABC的距离的;，即E为D8的中点，得后［。等，；］，故

若最高气温不低于25,则丫=6〃—4〃=2n；

若最高气温位于区间［20,,25)，贝1)丫=6x300+2(〃-300)—4几=1200—2〃；

AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=(T,手'J

若最高气温低于20,则丫=6x200+2(〃—200)—4〃=800—2%

因此石丫=〃2ri)(〃几

2x0.4+(1200-x0.4+800-2)x0.2=640-0.4\nAD=0,

设忆二(x,y,z)是平面DA5的法向量，贝i"

当200W〃v300时，［nAE=0,

若最高气温不低于20,则卜=6"一4几=2"；

—x+z=O,

若最高气温低于20,则V=6x200+2(〃—200)-4〃=800-2〃；

即731n

-x+——y+—z-0.

因此EY=2〃x(0.4+0.4)+(800-2〃)x0.2=160+1.2几I22

所以几=300时，y的数学期望达到最大值，最大值为52。元.可取j.

【解析】(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可；(2)根据分布列得到关于利润的

函数表达式，进而求解最值.

mAC=0,//-\

设.是平面AEC的法向量，贝以同理可得根=0,-1,、团.

19.解：mAE=0,'7

(1)由题设可得，AABD二ACBD,从而AD=DC.

PM/\nmv7

又AACD是直角三角形，所以248=90°.''1胴7

取AC的中点O,连接。0,30,则。O_LACDO=AO.

所以二面角D-AE-C的余弦值为g.

又由于AABC是正三角形，故30_LAC.

所以NZX由为二面角D-AC-B的平面角.

z当机=1时，直线1的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为（3,1）,圆M的半径为J而，

\D