高考数学一轮复习 专题9 平面解析几何 第66练 椭圆的几何性质练习（含解析）-人教高三全册数学试题

第66练椭圆的几何性质[基础保分练]1．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,9)2．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)3．设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(3\r(3),10)5．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，且圆C1，C2的圆心分别是椭圆C的左、右焦点，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))6．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，离心率为eq\f(1,2)，M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(1,4)C．±eq\f(3,4)D．±eq\f(3,8)7．(2016·全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)8．已知点A(－1,0)，B(1,0)，P(x0，y0)是直线y＝x＋2上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过点P.记椭圆的离心率e关于x0的函数为e(x0)，那么下列结论正确的是()A．e与x0一一对应B．函数e(x0)无最小值，有最大值C．函数e(x0)是增函数D．函数e(x0)有最小值，无最大值9．若椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1的一条弦被点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))平分，则这条弦所在直线的方程是________．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．[能力提升练]1．若AB是过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM等于()A．－eq\f(c2,a2)B．－eq\f(b2,a2)C．－eq\f(c2,b2)D．－eq\f(a2,b2)2．直线y＝－eq\r(3)x与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\r(3)－1D．4－2eq\r(3)3．已知F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,3)))2＋y2＝eq\f(b2,9)相切于点Q，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率等于()A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为()A．(0，eq\r(2)－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．(eq\r(2)－1,1)5．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．6.如图所示，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为eq\f(1,2)，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，则直线PF1的斜率为________．

答案精析基础保分练1．B2.B3.C4.A5.B6．C[由离心率为eq\f(1,2)可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，即eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，即b＝eq\f(\r(3),2)a，因为MF2与x轴垂直，故点M的横坐标为c，故eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)＝±eq\f(3,4)a，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(3,4)a))，直线MF1的斜率为kMF1＝±eq\f(3a,8c)＝±eq\f(3,8)×2＝±eq\f(3,4)，故选C.]7．A[由题意知，A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设M(－c，m)，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,a－c)))，OE的中点为D，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,2a－c)))，又B，D，M三点共线，所以eq\f(m,2a－c)＝eq\f(m,a＋c)，即a＝3c，即e＝eq\f(1,3).]8．B[由题意可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝1，椭圆的离心率为e＝eq\f(1,a)，故当a取得最大值时，e取得最小值，当a取得最小值时，e取得最大值．由椭圆的定义可得|PA|＋|PB|＝2a，由于|PA|＋|PB|有最小值，无最大值，故椭圆的离心率有最大值，无最小值，故B正确，D不正确．当直线y＝x＋2与椭圆相交时，这两个交点到A，B两点的距离之和相等，均为2a，故对应的离心率相等，故A不正确．由于当x0的取值趋近于正无穷大时，|PA|＋|PB|＝2a趋近于正无穷大，而当x0的取值趋近于负无穷大时，|PA|＋|PB|＝2a也趋近于正无穷大，故e(x0)不是增函数，故C不正确．]9．12x＋3y－5＝010.eq\f(\r(5)－1,2)能力提升练1．B2.C3．A[记椭圆的左焦点为F′，圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,3)))2＋y2＝eq\f(b2,9)的圆心为E，连接PF′，QE.∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－eq\f(c,3)＝eq\f(2c,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，∴eq\f(|EF|,|F′F|)＝eq\f(1,3)＝eq\f(|QF|,|PF|)，∴PF′∥QE，∴eq\f(|QE|,|PF′|)＝eq\f(1,3)，且PF′⊥PF.又∵|QE|＝eq\f(b,3)，∴|PF′|＝b.由椭圆的定义知|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b.∵PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2,2(a2－c2)＋b2＝2ab，∴3b2＝2ab，∴b＝eq\f(2a,3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(5),3)a，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，∴椭圆的离心率为eq\f(\r(5),3).]4．D[根据正弦定理得eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，所以由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，可得eq\f(a,|PF2|)＝eq\f(c,|PF1|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|(e＋1)＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)，因为a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<eq\f(2a,e＋1)<a＋c，即1－eq\f(c,a)<eq\f(2,e＋1)<1＋eq\f(c,a)，所以1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e1＋e<2，,2<1＋e2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e2<2，,\r(2)<1＋e或1＋e<－\r(2)，))又0<e<1，所以eq\r(2)－1<e<1，即e∈(eq\r(2)－1,1)，故选D.]5.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析因为点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，所以∠F1PF2≤90°，所以tan∠OPF2≤1，所以eq\f(c,b)≤1，c≤b，c2≤a2－c2,2c2≤a2，eq\f(c2,a2)≤eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，所以0<e≤eq\f(\r(2),2).6.eq\f(\r(3),5)解析由eq\f(c,a)＝eq\f(1