数学实验课件 第10章10.1

10.1线性规划

线性规划（Linearprogramming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法．研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．MATLAB解决线性规划问题的标准形式为：其中c、x、b、beq、lb、ub均为列向量；A、Aeq为矩阵，求

z

的最大值就是求

–z

的最小值．

在MATLAB中利用函数linprog来解决这类问题.函数linprog的调用格式如下：

X=linprog(f,A,b)

[X,fval,exitflag,output,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)

这里，X是问题的解向量，f是由目标函数的系数构成的向量，A是一个矩阵，b是一个向量，A，b和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A，b是系数矩阵和右端向量.Aeq和Beq表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量.LB和UB是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options为控制规划过程的参数系列.返回值中fval是优化结束后得到的目标函数值.exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过程中变量收敛于解X，exitflag<0表示不收敛.output有3个分量，iterations表示优化过程的迭代次数，cgiterations表示PCG迭代次数，algorithm表示优化所采用的运算规则.lambda有4个分量，ineqlin是线性不等式约束条件，eqlin是线性等式约束条件，upper是变量的上界约束条件，lower是变量的下界约束条件.它们的返回值分别表示相应的约束条件在约束条件在优化过程中是否有效．例10.1求解线性规划问题：

解MATLAB命令如下：clearf=-[5,4,6];A=[1,-2,1;3,2,4;3,2,0];b=[20,42,30];LB=[0;0;0];[X,fval]=linprog(f,A,b,[],[],LB)运行结果：Optimalsolutionfound.X=015.00003.0000fval=-78可知当x1=0，x2=15，x3=3时，得到最小值-78．例10.2求解线性规划问题：解先将最大值问题转化为标准形式：MATLAB命令如下：c=[-2,-3,5];A=[-2,5,-1];b=-10;Aeq=[111];beq=7;x0=[000];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,x0)运行结果为：Optimalsolutionfound.x=6.42860.57140fval=-14.5714可知，当x1=6.4286，x2=0.5714，x3=0时，得到最大值z=14.5714．

例10.3某工厂生产A，B两种产品，所用原料均为甲、乙、丙三种，生产一件产品所需原料和所获利润以及库存原料情况如表10-1所示.

在该厂只有表中所列库存原料的情况下，如何安排A，B两种产品的生产数量可以获得最大利润？原料甲（公斤）原料乙（公斤）原料丙（公斤）利润（元）产品A8447000产品B68610000库存原料量380300220

表10-1利润以及库存原料情况表解设生产A产品x1件，生产B产品x2件，z为所获利润，我们将问题归结为如下的线性规划问题：

转换成最小值问题

接着写出MATLAB程序如下：clearf=-[7000,10000];A=[8,6;4,8;4,6];b=[380,300,220];[X,fval]=linprog(f,A,b)运行结果为：Optimal