高三数学第二轮复习教案

高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题的题型与方法（二）五、注意事项1．（1）直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度。当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）。因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑。（2）直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。（3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。（4）当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直（5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。2．（1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在。（2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。（3）求双曲线的标准方程应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待定系数法求解。（4）双曲线的渐近线方程为或表示为。若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数。（5）双曲线的标准方程有两个和（a＞0，b＞0）。这里，其中||=2c。要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同。（6）求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值。同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个。六、范例分析例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用“平行”这个条件设出l的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于，交y轴于由，得，代入①得所求直线的方程为：解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y－48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直线l的方程为说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx－Ay+C2=0的形式。例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围。解：直线mx+y+2=0过一定点C（0，－2），直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点（0，－2）的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2，∵A（－2，3）B（3，2）∴∴－m≥或－m≤即m≤或m≥说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率－m应为倾角的正切，而当倾角在（0°，90°）或（90°，180°）内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。例3、已知x、y满足约束条件求目标函数z=2x－y的最大值和最小值。解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）。作直线：2x－y=0，再作一组平行于的直线l：2x－y=t，t∈R。可知，当l在的右下方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大。当直线l平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当l在的左上方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＜0，即t＜0，而且直线l往左平移时，t随之减小。当直线l平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小。由解得点B的坐标为（5，3）；由解得点C的坐标为（1，）。所以，=2×5－3=7；=2×1－=。例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元。由题意，得x，y∈N，且z=350x+400y。即x，y∈N，作出可行域，作直线：350x+400y=0，即7x+8y=0。作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A（，5）不是最优解。为求出最优解，必须进行定量分析。因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小。答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元。例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t（0<t<1），以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系。（1）写出直线的方程；（2）计算出点P、Q的坐标；（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q。解:（1）显然，于是直线的方程为；（2）由方程组解出、；（3），。由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q。说明：需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗?例6、设P是圆M：（x－5）2+（y－5）2=1上的动点，它关于A（9，0）的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。解：设P（x，y），则Q（18－x，－y），记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：（x+yi）·i=－y+xi，即S（－y，x）∴最小值为，则|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为例7、已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程。解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。例8、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点。（1）求证：;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。解:（1）易求得抛物线的焦点。若l⊥x轴，则l的方程为。若l不垂直于x轴，可设，代入抛物线方程整理得。综上可知。（2）设，则CD的垂直平分线的方程为假设过F，则整理得，。这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点。而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线。说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。例9、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴，，点M到椭圆左准线的距离，∴，∴，∴或，这与x1∈[－2，0）相矛盾，∴满足条件的点M不存在。例10、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。解：（Ⅰ）设椭圆方程为由2c=4得c=2又故a=3，∴所求的椭圆方程为（Ⅱ）若k不存在，则，若k存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2又设A由得①②∵点M坐标为M（0，2）∴由∴∴代入①、②得…③④由③、④得∴∴线段AB所在直线的方程为：。说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。例11、已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．解：从直线所处的位置，设出直线的方程，由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程得化简后，得关于的一元二次方程于是其判别式由已知，得△=0．即①在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得令顶点P的坐标为（x，y），由已知，得代入①式并整理，得，即为所求顶点P的轨迹方程．说明：方程形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗?例12、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值。解：∵（1）原点到直线AB：的距离。故所求双曲线方程为（2）把中消去y，整理得。设的中点是，则即故所求k=±。说明：为了求出的值，需要通过消元，想法设法建构的方程。例13、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入椭圆方程得：，即，，∴，此时令直线的倾角为，则即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例14、（2003年江苏高考题）已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。解：∵=（1，0），=（0，a），∴+λ=（λ，a），－2λ=（1，－2λa）。因此，直线OP和AP的方程分别为和。消去参数λ，得点的坐标满足方程。整理得……①因为所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点。说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。例15、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围；解：（1）∵，∴。∵是共线向量，∴，∴b=c，故。（2）设当且仅当时，cosθ=0，∴θ。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例16、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，，求直线和椭圆C的方程。解：椭圆离心率为，，所以椭圆方程为，设方程为：，由消去得……（1）……（2）所以而所以所以……（3）又，，从而……（4）由（1）（2）（4）得……（5）由（3）（5）解得，适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．解法一：（1）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，对由余弦定理，得，解出（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：i）当k存在时，设l的方程为………………①椭圆方程为由得。于是椭圆方程可转化为x2