执果索因反其道而思 论文

执果索因，反其道而思摘要：在数学教学中，逆向思维是数学创造性思维的一个重要组成部分，是数学思维的一个重要原则，也是进行思维训练的载体.本文简单阐述了逆向思维在定义、公式、定理以及法则中的体现，着重分析了逆向思维在数学教学和解题中的培养方法，培养和提高学生的逆向思维能力反其道而行，思考数学问题.关键字：逆向思维，数学教学，培养方法，能力提高引言陶行知先生曾说过：“大雨过后，有两种人；一种人看天，看到的是蔚蓝与美丽；一种人低头看地，看到的是淤泥与绝望”.在一节课中，老师让学生花最少的钱买一样东西，要求是把整个教室都装满。有的学生买来装饰画，有的学生买胶带……他们都没有达到老师的要求，但有位学生用一根蜡烛，就可以用光芒照亮教室的每个角落。聪明的孩子没有像其他孩子那样，想着用最少的钱买更多的东西，而是在思考是什么可以最大化的装满教室。教学中，学生经常会钻进问题的死胡同走不出来，困惑苦恼。正向思维是中学生在学习数学时的思维习惯，而有些问题使用正向思维容易走进死胡同，但运用逆向思维往往会使学生“拨开云雾见青天”.逆向思维就是人的思维活动从一个方向转向相反方向，也称为反向思维.就是可以从问题的相反位置、角度、层次、侧面去思考，当某一思路陷入困境时，快速转换到思维的另一角度去思考，往往会绝处逢生，使问题迎刃而解.像这种思维的跳跃性，是逻辑思维的一个重要组成部分.2400多年前，古希腊开始研究古典几何三大难题（三等分角、立方倍积、化圆为方），而2000多年来，人们在这三个问题上毫无建树.后来，人们认识到从正面研究这个问题不如“反其道而思之”，从反面去怀疑这些难题是否有解，人们因此受到启发.在1937年法国数学家万芝尔证明了立方倍积、三等分角的尺规作图不可能问题；1882年德国数学家林德曼证明了化圆为方的尺规作图不可能的问题.这说明逆向思维在解决问题时的重要性.在物理学上，逆向思维也发挥了它“出奇制胜”的作用.英国物理学家法拉第在奥斯特的“电流的磁效应”试验中受到启发，反向思考，经过十年的实验研究，于1831年提出了著名的“电磁感应定律”，并根据这一定律发明了世界上第一台发电装置.而我们熟知的“司马光砸缸”的故事也运用了逆向思维，司马光打破了“救人离水”的常规思维模式，而是“让水离人”，救了同伴性命，传为美谈.逆向思维在思考和处理生活、物理、数学等方面问题时，发挥了重要作用.因此，逆向思维的研究对于数学教学方面有着非凡的意义.逆向思维有助于学生摆脱思维定式的束缚，突破习惯的条条框框，产生新的思想、新的方法[[]范成[]范成.数学逆向思维的培养策略[J].数理化学习(教育理论版)，2012，3:23-24.现有的文献中，许多研究者对逆向思维做出了研究.在对数学教学中关于学生逆向思维能力培养的研究中，研究者仅停留在从数学教材内容的分析上去培养学生的逆向思维能力，所以本文在此基础上，重点研究了在教学中从逆向思维在数学问题的应用上培养学生逆向思维的能力.新课标要求中学生通过初中阶段的数学学习能够具备函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想，这些数学思想的培养，都离不开逆向思维的运用[[]居明.谈对初中生数学逆向思维的培养[]居明.谈对初中生数学逆向思维的培养[J].语数外学习(初中版上旬)，2014，8:12.本文简单阐述了逆向思维在定义、公式、定理和法则的逆用上体现，逆向思维在数学教学内容的重要作用.接着研究了逆向思维在教学中的培养策略.通过在教学中培养学生还原意识和逆向意识来帮助学生养成逆向思维意识；在研究将逆向思维渗透到解题过程中分析了几种方法：反证法、举反例法和分析法.希望读者通过对本文的阅读，能够对培养学生逆向思维能力有更多的了解，也为一些问题的解决提供有用的想法与思路.2逆向思维在基础知识中的体现本章节研究了逆向思维在基础知识中的体现，介绍了定义的逆用、公式的逆用、定理的逆用和法则的逆用.2.1定义的逆用在数学解题中，“定义法”是一种最基础最常见的方法，而定义的逆用是培养学生逆向思维能力的最直接的方法，便于学生打破常规，养成反向思考的思维习惯.在数学教材中，作为概念的逆命题一般总是成立的.因此，在运用定义时，我们可以运用原命题，还可以引导学生研究并应用其逆命题.例如利用反函数的定义域与值域互逆解决求反函数的过程繁杂且易错的问题.例1.设，求.分析：本题常规思路是先求出反函数，再另求出的值.但是在求解函数的过程比较难，思维会受阻，容易产生错误.但是当逆用反函数的定义和性质：定义域、值域相反且对应法则互逆，先令，求出的值，便是的值，问题求解过程变得简单易懂.解令则，所以.解得：即在初等数学中，定义教学是每一章节的重要内容.往往这些定义都比较简单，我们更应该在教学中注意这些方面的训练，帮助学生养成逆向思维的习惯.如直线方程定义教学中，除了强调把叫做直线的方程，直线叫做这个方程的图像外，还应该指出对于直线的方程以该方程的任何一组解为坐标的点都在直线上，反过来直线上的点的坐标都是方程的解[[]戴嘉广.数学教学中培养学生逆向思维能力的策略[J].丹东纺专学报，2002，9（2[]戴嘉广.数学教学中培养学生逆向思维能力的策略[J].丹东纺专学报，2002，9（2）：58-59例2.已知函数是奇函数，且求的值.分析：奇函数的定义：函数在定义域内任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数.可从定义的逆命题思考，“如果函数是奇函数，那么对于函数定义域的任意实数，都有”.解设函数，定义域是在定义域内，对于任意的，都有，所以是奇函数.因为，所以所以，则，即.例3.已知单项式与是同类项，求和的值.分析：同类项满足两个条件：所含字母相同（2）相同字母的指数也相同的单项式我们在教学时，应该让学生反向思考同类项的定义，运用已知结论，去求解它所需满足的条件.可以增强学生对同类项定义的理解并能够运用定义去解决问题.解因为和是同类项，所以解得在解决复杂的数学问题时，若能运用定义的逆命题，可以使解题过程变得简单易懂，而且能够保证答案的准确性.在课堂上，我们要积极地训练引导学生进行逆向思考，提升学生的逆向思维.2.2公式的逆用数学公式的运用是数学解题过程中重要组成部分.题目在教材和定义的基础上进行发展深化，基本的数学公式已经无法恰当使用，在解题过程中，我们更应教会学生将公示变形，逆用公示.但是学生在做题时缺乏这种自觉性和变化性.因此，在讲授公式时，我们可以通过公示的逆用训练，加深学生对公示的理解与记忆，还能培养学生灵活运用公式的能力和双向思维能力.如在讲授平方差公式时，不应该让学生死记硬背课本上的公式，而是进行推导演示给学生观察，让学生探究公式是否可以逆用.常规思维是：，逆向思维是：.还有比如三角函数公式，学生解题时用的最多的是逆推公式.如：和差化积、积化和差公式：倍角公式：这些基本公式和恒等变换，都是正反用结合.这些数学公式一般都具有双向性，学生的思维定式是从左往右使用，而对逆向使用不熟练，因此在教学中，需通过公式逆用的实例进行反复讲解，重复训练，帮助学生同步发展正向与反向思维.2.3定理的逆用数学定理是数学学习的重要部分，学会定理的使用是教学的重点.很多定理的逆命题往往也是成立的.在教学中，学习完某一数学定理后，教师应引导学生探究其逆命题，再去论证判断其逆命题的正确性，进而启发学生使用逆命题去解决一些数学问题，这可以激发学生的学习兴趣，激发他们的钻研意识，培养他们创造性思维能力.例如勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是.斜边是那么满足和它的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形.两个命题的逆用可以帮助学生拓宽思路，掌握更多的解题依据.例4[[]夏耀卿.数学教学中逆向思维的培养[J].新课程(下旬)，2013，12:172-173.].在四边形中，求四边形的面积.[]夏耀卿.数学教学中逆向思维的培养[J].新课程(下旬)，2013，12:172-173.分析：在中，,由勾股定理可以计算出的长度.再由的长度关系由勾股定理的逆定理得出是直角三角形.解在中，，由直角三角形的勾股定理得即，所以，所以的面积为.在中，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，所以的面积为所以四边形的面积为36.例5.已知方程的两个解分别是,求和的值.分析：此题已知方程的解，求方程.如果从正面思考解方程则无从下手，需要运用韦达定理，但是已知的值，应该逆用韦达定理，求解的值.解因为,所以即以上两个例题说明了逆用定理在函数和方程上的重要作用，同样，在数学几何中，逆用定理也是至关重要的.在学习平面几何，直线平行的条件和性质；平行线平行的性质和条件；三角形相似和全等的判定定理；空间几何两平面垂直的判定定理；直线与平面垂直和平行的判定定理等等.这些定理的逆命题都可以成为学生证明解题的依据，在教学时，应该同时推导证明其逆命题的正确性.例如：探究两直线平行的条件时，在学生充分理解掌握基本定理的基础上，引导学生探讨直线平行与系数间的相互关系.与重合与相交2.4法则的逆用数学法则是数学规律的体现.其中包括数学元素间的内在联系与解决问题的方法[[]吴水成.逆向思维在数学论证中的作用与培养[J].教育教学论坛，2014，[]吴水成.逆向思维在数学论证中的作用与培养[J].教育教学论坛，2014，18:104-105.例6.求.分析：本题如果按照常规方法：先通分后相加，计算量大，必定束手无策.若逆用减法法则：则会使问题由繁化简.这类问题是常考题，也是学生普遍的难题.解因为所以化简得.3在教学中培养学生逆向思维意识数学课堂是学生学习数学知识、培养意识的重要环节.培养和加强学生的逆向思维有利于开发学生的创造性活动，也是提高学生数学素养的重要组成部分.因此，在教学中教师应将逆向思维意识渗透到课堂中，尽可能的抓住时机训练由正而反的思维方法.具体可以从培养学生的还原意识和逆向意识进行教学.3.1形成还原意识还原思想是一个“执果索因”的数学思想，一般来说这样的题都有一个清晰的逻辑顺序.在数学课堂上，以教学内容的客观规律为根本，将教学内容构建成层次化结构，根据每一层次的特点设计教学步骤.在引导学生对知识的学习和应用的过程中，获取具有逻辑性的结论，然后依据正向逻辑引导学生使用逆向思维.例如学生在学习数数时，通常都是由小到大的数，等学生能够熟练掌握后，引导学生由大到小进行数数.在这个例子中，由正而反的教学设计思想使得学生对数学知识的认知不仅从“正向分析”和“逆向分析”两个方面获得了整体而深刻的理解，并且使学生潜移默化地形成了还原意识，使得学生的思维更加活跃，更加全面.3.2培养逆向意识在教学设计时，教师可以通过逆向设计，使学生清楚地辨析概念、通彻地理解定理的性质，并鼓励学生勇于“反其道而思之”，从问题的对立面进行深入探究，以此来提高学生的逆向思维能力.例如，在讲“角平分线的性质定理以及逆定理”时，如图EEFBAPO教师要引导学生运用正向、反向思维两种方式思考问题：因为点在的角平分线上，所以（正向思维）；因为，所以点在的角平分线上（反向思维）.4将逆向思维渗透到解题方法的教学中在解题过程中，运用逆向思维解题的方法普遍存在.本节将从解题方法的角度展开研究.主要分析了反证法、举反例法、分析法.4.1反证法数学中有的问题直接证明会有困难，无从下手，对于这些命题可以反过来思考，采用反证法.反证法是一种间接证法，它是通过证明一个命题的逆否命题来证明原命题正确的一种方法，是运用逆向思维的一个范例[[]李玉海[J].新教育时代电子杂志(教师版[]李玉海[J].新教育时代电子杂志(教师版)，2016，9:73.反证法的特点是提出与结论相反的假设，进而运用条件进行推导，得出与定义、定理或与已知条件相矛盾的结果，最后推翻假设，从而肯定原命题是成立的.因此，反证法是逆向思维的最常见的方法，也是学生容易掌握的一种证明，对于培养学生逆向思维是至关重要的.例7.求证是无理数.证明：假设是有理数，令（互素），两边平方得，所以是偶数，那么也是偶数.设代入上式得化简得所以也是偶数，则是偶数.那么存在公约数，与互素矛盾，所以假设不成立，即是无理数.例8.已知求证：中至少有一个内角小于或等于证明：假设中没有一个内角小于或等于则所以即这与三角形的内角和为矛盾，则假设不成立，所以中至少有一个内角小于或等于教学中，教师需要注重强调反证法的证明步骤：反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；归谬：从假设命题出发，经过推理证明得出矛盾；结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.4.2举反例法举反例法是学生在做选择和判断题时常用的一种方法，运用举反例法往往会获得事半功倍的效果.数学中的反例，就是找到某个既能满足命题的条件，但在该条件下无法得证结论成立的例子.举反例是建立在数学理论和逻辑推理的基础上的.举反例法可以使解题变得简单快速，但是能够熟练运用举反例法在于学生思维是否敏捷，灵活敏捷的思维是培养逆向思维的一个重要条件.例如判断题中常见问题：命题“若为偶数，则必为偶数.”反例命题“若，则”反例命题“若两个角相等或者互补，那么这两个角的两边分别平行”反例如图两直角相等且互补.4.3分析法在中学教学过程中的一些证明题往往是按照逻辑推理的顺序或者是由已知条件完成证明的，但是在一些题目中条件会非常有限或者隐藏起来，学生在遇到这种类型的题目时会感到非常棘手.教师应该教会学生利用逆向思维的分析法，执果索因，由结论着手.逆向推导出应该