江苏省扬州市广陵区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学试题说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上．同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效．4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.16的平方根是（）A.8 B.4 C. D.答案：C解析：详解：解：16的平方根是，故答案选：C．2.要使分式有意义，则应满足（）A. B. C. D.且答案：C解析：详解：解：分式有意义，，解得：，故选：C．3.下列整式计算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：，故选项A错误，不符合题意；，故选项B错误，不符合题意；，故选项C错误，不符合题意；，故选项D正确，符合题意．故选：D．4.“等闲识得东风面，万紫千红总是春．”下列与花元素有关的图案中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选A．5.下列事件中，属于必然事件的是（）A.扬州市近三天会下雨B.任意画一个五边形，其外角和为C.打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛D.从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同答案：D解析：详解：解：A、扬州市近三天会下雨，是随机事件，故A不符合题意；B、任意画一个五边形，其外角和为，是不可能事件，故B不符合题意；C、打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛，是随机事件，故C不符合题意；D、从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同，是必然事件，故D符合题意；故选：D．6.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）A. B.C. D.答案：A解析：详解：解：设有x辆车，则一共有人，由题意得，故选A．7.象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（）A5 B. C. D.答案：A解析：详解：解：如图，由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大，最大距离是故选A．8.如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（）A. B. C. D.或答案：C解析：详解：解：∵双曲线y=两个分支分别位于第二、四象限，∴，设抛物线与直线的两个交点坐标为（，则化简得，∴，，∵，∴∵，∴解得，故选：C．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.2024年3月31日“扬马”鸣枪开赛，“唐宋元明清，从古跑到今．”本届“扬马”对赛事线路进行了全新优化，全程约21100米．数据21100用科学记数法表示为______．答案：解析：详解：解：数据21100用科学记数法表示故答案为：10.分解因式：______．答案：##解析：详解：解：=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）．故答案为：2（m+3）（m-3）．11.已知，则的值为________．答案：5解析：详解：解：∵，∴，∴，故答案为：5．12.已知m是一元二次方程的一个根，则的值是______．答案：2024解析：详解：解：∵m为一元二次方程的一个根．∴，∴，即，故答案为：2024．13.若点、都在一次函数的图象上，且，则实数的取值范围是______．答案：解析：详解：解：点、都在一次函数的图象上，且，一次函数的随的增大而减小，，，故答案为：．14.如图，是的直径，是的弦，若，则______．答案：58解析：详解：解：如图，连接，是的直径，，，，，故答案为：．15.给树木涂白可以起到灭菌杀虫、防晒防冻的作用．现给一棵古树涂白，涂白部位是距地面米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为米，如果每平方米树干表面需用涂白剂升，则共需要涂白剂______升（结果保留π）．答案：解析：详解：解：∵涂白部位是距地面1．5米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为0．4米，∴（升）∴则共需要涂白剂升故答案为：16.用方差公式计算一组数据的方差：，则______．答案：10解析：详解：解：∵，∴，∴．故答案为：10．17.如图，的半径是1，圆心在函数的图像上运动，当与坐标轴相切时，圆心的坐标为_________．答案：或解析：详解：解：与坐标轴相切时，有或，把代入得，即此时点的坐标是，把代入得，即此时点的坐标是，把代入得，即此时点的坐标是，圆心的坐标为或，故答案为：或．18.如图，在中，，，为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点为正方形的对称中心，且，则的长为______．答案：解析：详解：解：如图，连接、，，点为正方形的对称中心，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算或化简：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：；小问2详解：解：．20.解不等式组，并写出满足条件的正整数解．答案：不等式组的解集为＜，正整数解为1，2解析：详解：解：解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：，∴不等式组的解集为＜，则不等式组的正整数解为1，2．21.为迎接第29个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C：名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这次抽样共调查了______名学生：（2）请把这幅频数分布直方图补充完整：（画图后请标注相应数据）（3）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于______；（4）该校共有2400名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．答案：（1）200（2）见解析（3）126（4）552人解析：小问1详解：解：这次抽样共调查了名学生，故答案为：；小问2详解：解：D：知识竞赛的人数为：（人），补全统计图如图所示：小问3详解：解：扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于，故答案为：；小问4详解：解：（人），估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数为人．22.“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的社团活动，设置了生物社、合唱社、创客社三大板块课程（依次记为A、B、C）．若该校小红和小星两名同学随机选择一个板块课程．（1）小红选择“合唱社”板块课程的概率是______．（2）利用画树状图或列表的方法，求小红和小星同时选择“创客社”板块课程的概率．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：小红从3个课程中选择“合唱社”板块课程的概率是，故答案为：；小问2详解：解：画树状图如下，由图可知，共有9种等可能的结果，小红和小星同时选择“创客社”板块课程的结果有1种可能，∴P(小红和小星同时选择“创客社”板块课程)．23.2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥、幸福安康的寓意，深受大家喜欢，为满足市场需求，某超市打算购进大、小两种型号的吉祥物．已知大号吉祥物比小号吉祥物的进价每个贵50元，用3000元购进小号吉祥物的数量是用1500元购进大号吉祥物数量的4倍．求每个大、小号吉祥物的进价各多少元？答案：每个大号吉祥物的进价为100元，每个小号吉祥物的进价为50元解析：详解：解：设每个小号吉祥物的进价为x元，则每个大号吉祥物的进价为元．根据题意，得．解这个方程，得．经检验，是所列方程的解．．答：每个大号吉祥物进价为100元，每个小号吉祥物的进价为50元．24.如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）如图2，当是等边三角形且边长是12时，求四边形的面积．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：证明：、分别为、的中点，是的中位线，，，，，四边形是平行四边形．小问2详解：解：过点作于，如图2所示：是等边三角形，为的中点，，，，，，，．25.如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求、的长．答案：（1）见解析（2），解析：小问1详解：证明：连接，如图，是的平分线，，，为的直径，，，，，为的半径，直线是的切线；小问2详解：解：为的直径，，，，，，，的平分线交于点，，，，过点作于点，，，，．26.阅读感悟：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则．所以．把代入已知方程，得．化简，得，故所求方程为．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；（2）方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．答案：（1）（2）（3）2025和2022解析：小问1详解：解：设所求方程的根为，则，，把代入已知方程得：，化简得：，故答案为：；小问2详解：解：设所求方程的根为，则，，把代入已知方程得：，化简得：，故答案为：；小问3详解：解：，，由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，或，解得：或，关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．27.某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．（1）当时，的度数为______°；（2）连接，当P为中点时，求证：；（3）若，是否存在最小值?如果存在，求此最小值：如果不存在，说明理由．答案：（1）65（2）见解析（3）存在，解析：小问1详解：解：四边形是正方形，，将逆时针旋转得到，，，，，，，，故答案为：；小问2详解：过点作交延长线于，于，连接，则，四边形是正方形，，，，，四边形为矩形，将逆时针旋转得到，，，，，，，，为的中点，，，四边形为正方形，，，是等腰直角三角形，；小问3详解：存在．理由如下：连接，四边形是正方形，，，由勾股定理可知，当取最小值时，有最小值，而，当取最大值时，有最小值时，即：当取最大值时，有最小值，设，，则，由（2）可知，，，，，，时，有最大值，此时，，则，，即：当时，存在最小值，此时取得最小值为．28.直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A．（1）求此抛物线及直线AC的函数表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（，），Q（，），与直线BC交于点，N（，），若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围；（3）经过点D（0，1）的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．答案：（1）=；；（2）1＜＜2；（3）为定值3．解析：详解：详解：（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，∴B(3，0)，C（0，3）；把B(3，0)，C（0，3）代入得，，解得，∴抛物线函数表达式为=；令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3；∴A（-1，0）；设AC的解析式为y=kx+b，，解得，∴直线AC的函数表达式为；（2）∵y1=y2，∴x1+x2=2．当直线l1经过点