2025届安徽省合肥市六校联盟高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2025届安徽省合肥市六校联盟高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列满足，为其前项和，则不等式的的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．102．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是A． B． C． D．3．矩形ABCD中，，，则实数（）A．-16 B．-6 C．4 D．4．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台5．下列函数的最小值为的是（）A． B．C． D．6．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A． B．C． D．7．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，正方形的边长为a，以A,C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．2-π2 B．2-π39．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（）A． B． C． D．10．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，则C．若，，，则 D．若，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.12．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为________.13．已知等比数列的公比为，关于的不等式有下列说法：①当吋，不等式的解集②当吋，不等式的解集为③当>0吋，存在公比，使得不等式解集为④存在公比，使得不等式解集为R.上述说法正确的序号是_______.14．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，则cosB的值为_____．15．已知sin＝，则cos＝________．16．函数的单调递增区间为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列中，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．18．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,,,其频率分布直方图如图所示.(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;(2)求月均用电量的中位数;(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?19．某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数；（Ⅲ）求这1000名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．20．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.21．在中，，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由题意，整理得出是一个首项为12，公比为的等比数列，从而求出，再求出其前项和，然后再求出的表达式，再代入数验证出的最大值即可．【详解】由可得，即，所以数列是等比数列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值为8.选B.【点睛】本题考查数列的递推式以及数列求和的方法分组求和，属于数列中的综合题，考查了转化的思想，构造的意识，本题难度较大，思维能力要求高．2、B【解析】

根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围【详解】圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.

如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,

而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.

因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,否则,这样的点Q是不存在的，

点在直线上,,即

,

,

计算得出,,

的取值范围是，

故选B.考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.3、B【解析】

根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．【详解】据题意知，,,．故选：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．4、C【解析】

试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．5、C【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．详解：A.时显然不满足条件；B.其最小值大于1．D.令因此不正确．故选C.点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．6、C【解析】

利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．7、B【解析】

试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．考点：线性规划问题．8、D【解析】

将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率.【详解】如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形则阴影部分面积：S正方形面积：S=∴所求概率P=本题正确选项：D【点睛】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.9、A【解析】

取的中点，连接、，作，垂足为点，证明平面，于是得出直线与平面所成的角为，然后利用锐角三角函数可求出．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，作，垂足为点，是边长为的等边三角形，点为的中点，则，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直线与平面所成的角为，易知，在中，，，，，，即直线与平面所成的角为，故选A．【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，求解时遵循“一作、二证、三计算”的原则，一作的是过点作面的垂线，有时也可以通过等体积法计算出点到平面的距离，利用该距离与线段长度的比值作为直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题．10、C【解析】

利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．【详解】对于A，若，，则或者；故A错误；对于B，若，则可能在内或者平行于；故B错误；对于C，若，，，过分作平面于，作平面,则根据线面平行的性质定理得，，∴，根据线面平行的判定定理，可得，又，，根据线面平行的性质定理可得，又，∴；故C正确；对于D．若，，则与可能垂直，如墙角；故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间想象能力，熟练运用定理是关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即①当斜率不存在时，为圆的切线②当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。12、【解析】

由周期求出，由图象的所过点的坐标求得，【详解】由题意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，两根之和为．故答案为：．【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查解三角方程．掌握正切函数的性质是解题关键．13、③【解析】

利用等比数列的通项公式，解不等式后可得结论．【详解】由题意，不等式变为，即，若，则，当或时解为，当或时，解为，时，解为；若，则，当或时解为，当或时，解为，时，不等式无解．对照A、B、C、D，只有C正确．故选C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查解一元二次不等式，难点是解一元二次不等式，注意分类讨论，本题中需对二次项系数分正负，然后以要对两根分大小，另外还有一个是相应的一元二次方程是否有实数解分类（本题已经有两解，不需要这个分类）．14、【解析】

利用余弦定理表示出与，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，将及的值代入用表示出，将表示出的与代入中计算，即可求出值．【详解】由题意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，则，故答案为．【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．15、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案为.16、【解析】

令，解得的范围即为所求的单调区间.【详解】令，，解得：，的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式．

（Ⅱ）由，，能求出数列的前n项和．【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则解得，∴．（Ⅱ）．18、(1)200(2)224(3)4户【解析】

(1)因为,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;(2)因为,设中位数为,,即可求得答案;(3)月均用电量为,,,的频率分别为,即可求得答案.【详解】(1),得.月均用电量在的频率为.设样本容量为N,则,.(2),月均用电量的中位数在内.设中位数为,,解得,即中位数为.(3)月均用电量为,,,的频率分别为应从月均用电量在的用户中抽取(户)【点睛】本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量,中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解析】

（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子购买量在的频率，由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数；（Ⅲ）由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子购买量在600g～1400g的频率为：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数为：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【点睛】本题主要考查了频率、频数、以及频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20、（1），；（2）x>，是减函数.【解析】

（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，因为为正四棱锥，所以，，，，所以四棱锥的表面积为，体积.（2），解得，是减