安徽省干汊河中学2025届数学高一下期末学业水平测试试题含解析

安徽省干汊河中学2025届数学高一下期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，且，则（）A． B． C． D．2．若直线kx+(1-k)y-3=0和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=()A．-3或-1 B．3或1 C．-3或1 D．-1或33．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1674．函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]5．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．6．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）7．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（）A． B． C． D．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（）A． B．1 C． D．9．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为()A． B． C． D．10．设，则下列不等式中正确的是()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.12．数列满足，，则___________．13．设是等差数列的前项和，若，，则公差（___）．14．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则____________；15．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________．16．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率．19．已知数列满足,,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)证明:.20．直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.21．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用两角和差正切公式可求得；根据范围可求得；利用两角和差公式计算出；利用两角和差余弦公式计算出结果.【详解】，又本题正确选项：【点睛】本题考查利用三角恒等变换中的两角和差的正余弦和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用；关键是能够熟练应用两角和差公式进行配凑，求得所需的三角函数值.2、C【解析】

直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线kx+(1-k)y-3=0和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0，解方程可得k=1或k=-3，故选C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）l1||l2⇔k13、C【解析】.4、C【解析】试题分析：利用对数函数的性质求解．解：函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域满足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函数f（x）=log3（1﹣x）的定义域是（﹣∞，1）．故选C．考点：对数函数的定义域．5、C【解析】试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.考点：不等式6、C【解析】试题分析：,故选C.考点：平面向量的线性运算．7、D【解析】

先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．【详解】从，，三个同学中选2名代表，基本事件总数为：，共个，被选中包含的基本事件为：，共2个，被选中的概率．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．8、D【解析】

根据正弦定理将已知等式化简得，再根据差角正切公式以及基本不等式可得结论.【详解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.9、B【解析】

建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即

，从而可求λ的取值范围．【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范围是（

，1），故选B.

点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．10、B【解析】

取，则，，只有B符合．故选B．考点：基本不等式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.12、2【解析】

利用递推公式求解即可.【详解】由题得.故答案为2【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解析】

根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，，即，又，两式相减得，.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解析】

由圆的性质可知，直线与直线垂直，，直线的斜率，，解得.故填：3.【点睛】本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.15、【解析】

利用等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a1．【详解】∵等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案为-2.．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.．16、【解析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【点睛】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前n项和公式，即可求解；（2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解.【详解】解：（1）2018年投入为1000万元，第年投入为万元，所以，年内的总投入为.2018年旅游业收入为500万元，第年旅游业收入为万元，所以，年内的旅游业总收入为.（2）设至少经讨年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得，即，令，代入上式得，解得或（舍去），即，不等式两边取常用对数，，即.∴∴至少到2022年，旅游业的总收入才能超过总投入.【点睛】本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算能力，属于中等题型.18、（1）（2）【解析】

⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；⑵首先可通过分层抽样确定6人中在分数段以及分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果．【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有人，则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，分数在中的有5人，用、、、、表示，则基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共15个，满足条件的基本事件为、、、、、、、、、，共10个，所以这两名同学分数均在中的概率为．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．19、(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为，所以，因为，所以，所以数列是等比数列；(2)因为，所以，所以，又因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；(3)①当时，；②若n是偶数，则，所以当n是偶数时，；③当n是奇数，且时，；综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.20、或【解析】

直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.【详解】设直线的方程为，即，因为圆的半径为5，截得的弦长为所以圆心到直线的距离，即或，∴所求直线的方程为或.【点睛】本题主要考查