吉林省博文中学2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

吉林省博文中学2025届高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，满足，，，则（）A．3 B．2 C．1 D．02．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为A． B． C．32 D．3．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（）A． B．C． D．4．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（）A． B． C． D．5．函数的最小值为（）A． B． C． D．6．若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为107．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则最大角的余弦值为（）A． B． C． D．8．下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．9．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，，成等差数列，，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．10．如图所示，在正方体中，侧面对角线，上分别有一点E，F，且，则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为（）A．0° B．60° C．45° D．30°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．___________.12．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则_____________．13．已知向量、的夹角为，且，，则__________．14．若角的终边经过点，则的值为________15．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．16．已知函数，下列说法：①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称；⑤的最小正周期为；正确的是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．18．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．19．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.20．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值时的值21．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由，求出，代入计算即可．【详解】由题意，则.故答案为A.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题．2、A【解析】

设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．【详解】如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由得，解得，∴球体积为．故选A．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．3、D【解析】

设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，则，解得，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4、B【解析】

由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。【详解】由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。5、D【解析】

令，即有，则，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件.【详解】令，即有，则，当且仅当，即时，取得最小值.故选：【点睛】本题考查基本不等式，配凑法求解，属于基础题.6、A【解析】

利用和差积的平均数和方差公式解答.【详解】由题得样本的平均数为，方差为.故选A【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解析】

设，由余弦定理可求出.【详解】设,所以最大的角为,故选D.【点睛】本题主要考查了余弦定理，大边对大角，属于中档题.8、B【解析】

根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.9、A【解析】

依题意求出，由正弦定理可得，再根据角的范围，可求出的范围，即可求得的周长的取值范围．【详解】依题可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周长的取值范围为．故选：A．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的正弦公式的应用，以及三角函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．10、A【解析】

证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．【详解】解：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴．∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD．故答案为A【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，根据面面平行的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.【详解】由题意得：.故答案为：.【点睛】考查三角函数的诱导公式.，，,,.12、【解析】

首先分析直线与圆的位置关系，然后结合已知可判断四边形的形状，得出的比值，最后得到答案.【详解】设切点为，根据已知两切线垂直，四边形是正方形，，根据，可得.故填：.【点睛】本题考查了直线与圆的几何性质，以及椭圆的性质，考查了转化与化归的能力，属于基础题型.13、【解析】

根据向量的数量积的应用进行转化即可．【详解】，与的夹角为，∴•||||cos4，则，故答案为．【点睛】本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．14、.【解析】

根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.【详解】由三角函数的定义可得，，故答案为.【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】由，得：且中点坐标为和关于直线对称且在上的方程为：，即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.16、②③⑤【解析】

将函数解析式改写成：，即可作出函数图象，根据图象即可判定.【详解】由题：，，所以函数为奇函数，，是该函数的周期，结合图象分析是其最小正周期，，作出函数图象：可得，该函数的最小正周期为，图像不关于对称；在区间上单调递减；图像不关于中心对称；故答案为：②③⑤【点睛】此题考查三角函数图象及其性质的辨析，涉及周期性，对称性和单调性，作为填空题，恰当地利用图象解决问题能够起到事半功倍的作用.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）;（II）;（III）【解析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．解：（I）∵与共线，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．【详解】（Ⅰ）由题意：,化简得，因为数列的公差不为零，，故数列的通项公式为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故数列的前项和．【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②联立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.20、（1）（2）当时，函数取得最小值.【解析】

（1）将代入函数计算得到答案.（2）根据降次公式和辅助角公式化简函数为，当时取最小值.【详解】(1)(2)由可得，故函数的最小值为，当时取得最小值.【点睛】本题考查了三角函数的计算，三角函数的最小值，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21、（1）（2）【解析】

（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1张奖券