高考数学第一轮复习复习第1节　函数的概念及其表示（讲义）

第二章函数(必修第一册)第1节函数的概念及其表示[课程标准要求]1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数的有关概念(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:A→B的是(D)解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈A,但B中没有与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.2.(必修第一册P72习题T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是(C)A.f(x)=x-1·xB.f(x)=x与g(x)=xC.f(x)=x2D.f(x)=1,x∈R与g(x)=x0解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数.3.(2022·河南南阳三测)函数f(x)=2x-2A.-12 B.-1 C.-5 D.解析:f(x)=2所以f(52)=log23f(f(52))=f(log232)=2lo=-124.(2020·北京卷)函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是解析:函数f(x)=1x+1+lnx的自变量满足即定义域为(0,+∞).答案:(0,+∞)5.函数f(x)=x-1x在区间[2,4]上的值域为解析:f(x)=x-1x又f(2)=32,f(4)=15故f(x)的值域为[32,15答案:[32,15函数的定义域1.(2023·湖北武汉模拟)函数f(x)=1ln(xA.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2] D.(-1,2]解析:要使函数有意义,则需x+1所以x∈(-1,0)∪(0,2].所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,2].2.已知函数f(2x-3)的定义域是[-1,4],则函数f(1-2x)的定义域为(C)A.[-2,1] B.[1,2] C.[-2,3] D.[-1,3]解析:因为函数f(2x-3)的定义域是[-1,4],所以-1≤x≤4,即-5≤2x-3≤5,所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为.

解析:因为f(x)的定义域为[0,2],所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].答案:[1,3]4.(2023·河南郑州模拟)已知函数f(x)=3x-1解析:因为函数f(x)=3x-1ax答案:(-12,0](1)求给定函数的定义域:由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.(2)求复合函数的定义域①若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.②若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.求函数的解析式1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知f(2x+1)=lgx,则f(x)的解析式为解析:令2x+1=t(t>1),则x=2所以f(t)=lg2t所以f(x)=lg2x答案:f(x)=lg2x2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为.

解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3,所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.所以4解得a所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+3.答案:f(x)=x2-x+33.已知f(x+1x)=x2+1x2解析:因为f(x+1x)=x2+1x2=(x+1所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞).答案:f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)4.已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,则f(x)=解析:因为2f(x)+f(1x把①中的x换成1x,得2f(1x)+f(x)=联立①②可得2解得f(x)=2x-1x答案:2x-1x函数解析式的求法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想:已知关于f(x)与f(1x分段函数分段函数求值[例1]已知函数f(x)=log12A.3 B.4 C.-3 D.38解析:f(12)=2+36f(f(12))=f(8)=log求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.分段函数与方程[例2](2022·山东济南二模)已知函数f(x)=2xA.3 B.2 C.9 D.2或9解析:因为函数f(x)=2x所以2m-1=3根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.分段函数与不等式[例3]函数f(x)=x+1,x≤0,解析:当x>12f(x)+f(x-12)=2x+2x-12当0<x≤12f(x)+f(x-12)=2x+(x-12)+1=2x+x+12当x≤0时,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+所以f(x)+f(x-12)>1⇒2x+32>1⇒x>-14,即-1答案:(-14求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.[针对训练]1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=logA.-1 B.-2 C.1 D.2解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log3(x+12.(2021·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=x2-4,x>2解析:因为6>2,所以f(6)=6-4=2,所以f(f(6))=f(2)=1+a=3,解得a=2.答案:23.已知函数f(x)=x3,x解析:当x≥0时,|f(x)|=x3≥ax,即x(x2-a)≥0恒成立,则有a≤0;当x<0时,|f(x)|=x2≥ax,即a≥x恒成立,则有a≥0,所以a=0.答案:0[例1](2022·北京顺义模拟)若函数f(x)=-lnA.[-1,0) B.[-1,-1eC.[-1,-1e] D.(-1,-1解析:由于函数f(x)=-的值域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x∈[0,1],故当a≤x<0时,f(x)=-ln(-x)的值域至少包含区间(1,+∞),如图所示,由于当x趋于0时,f(x)趋于+∞;当x=a时,f(x)=-ln(-a),所以0≤-ln(-a)≤1,所以-1≤ln(-a)≤0,所以e-1≤-a≤1,解得-1≤a≤-1e[例2]设函数f(x)=1xA.(-∞,1]B.[2,+∞)C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)解析:当x>0时,F(x)=1x+x≥21x·当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选C.[例3]若f(x)对于任意实数x都有2f(x)-f(1x)=2x+1,则f(1A.3 B.4 C.83 D.解析:因为f(x)对于任意实数x都有2f(x)-f(1x)=2x+1,所以解得f(x)=43x+23x+1,所以f(12)=43[例4]