高考数学复习第五章　第五节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（导学案）

第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.1.简谐运动的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相AT=2f=1=ωωx+φφ2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点ωx+φ0ππ32πx0−φππ32y=Asin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径点睛由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.教材改编易错易混1,2,3,64,51.(教材变式)函数y=5sin(2x-π4)的振幅、频率和初相分别为 (A.5,1π,π4 B.5,1C.5,1π,-π4 D.5,1解析：选C.由题意得A=5,T=2π2所以f=1T=1π,φ=-2.(教材提升)用五点法画y=sinx,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点 ()A.(π6,12) B.(π2,1) C.(π,0) 解析：选A.五点法作图的五个点是一个周期内的5个特殊位置,即最值点和函数与x轴的交点,因此(π6,12)3.(教材变式)函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]的简图是 (解析：选B.当x=-π2时,y=sin[2×(-π2)-π3]=-sin(π+π3)=sinπ3当x=π6时,y=sin(2×π6-π3)=sin0=0,4.(混淆ω值的影响)函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosωx,则ω的值为 ()A.3 B.13 C.9 D.解析：选B.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=15.(忽视x系数)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点A.向左平移π5B.向右平移π5C.向左平移π15D.向右平移π15解析：选D.因为y=2sin3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π6.(教材提升)如图,弹簧挂着的小球上下振动,它在t秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h厘米满足下列关系:h=2sin(t+π6),t∈[0,+∞),则每秒钟小球能振动次解析：由题意可得小球震动的周期T=2π1所以可得频率为1T=1即每秒钟小球能往复振动12π次答案:1题型一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[典例1](1)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再将所得图象向左平移π6个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 (A.y=sin2x+π6 B.C.y=sin12x+π6 D解析：选D.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变得y=sin12再向左平移π6个单位长度得y=sin1即y=sin12(2)要得到函数y=cos(2x-π6)的图象,可以把函数y=sin2x的图象 (A.向右平移π6B.向右平移π12C.向左平移π6D.向左平移π12解析：选C.由于函数y=cos(2x-π6=sin(2x-π6+π2)=sin(2x+=sin[2(x+π6)]因此只需要将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度即可(3)(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于 A.sin(x2-7π12) B.sin(x2C.sin(2x-7π12) D.sin(2x+π解析：选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(1[变式]本例(2)变为:要得到函数y=cos(2x-π6)的图象,可以把函数y=sin(2x+π6)的图象 (A.向右平移π6B.向右平移π12C.向左平移π6D.向左平移π12解析：选D.方法一:函数y=cos(2x-π6=sin(2x-π6+π2)=sin(2x+π6=sin[2(x+π12)+π6所以只需将y=sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y=cos(2x-π6方法二:函数y=sin(2x+π6=cos[π2-(2x+π6)]=cos(π3=cos(2x-π3)由于cos(2x-π6)=cos[2(x+π12)-π所以只需将y=sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y=cos(2x-π6函数图象的平移变换解题策略(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sinα=cosα−π2,cosα=sin(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.1.为了得到函数f(x)=cos2x+π5的图象,只需将函数g(x)=cosx的图象A.所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再将所得图象向左平移πB.所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π5C.向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,D.向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12解析：选D.将函数g(x)=cosx的图象所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π10个单位长度f(x)=cos2x+π5的图象,将函数g(x)=cosx的图象向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,可以得到函数f(x)=cos(2x+π5)的图象,故C错误2.(多选题)要得到y=sinx的图象,可以将函数y=sin2x−π5的图象上所有的点A.向右平移π5个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的B.向左平移π10个单位长度,再把所得各点横坐标扩大到原来的2C.横坐标缩短到原来的12,再把所得各点向右平移πD.横坐标扩大到原来的2倍,再把所得各点向左平移π5解析：选BD.要想得到y=sinx的图象,y=sin2x−π5图象上所有的点横坐标扩大到原来的2y=sin2x−π5图象上所有点先向左平移π10个单位长度,得到y=sin2x+π10−π5=sin2x,再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍,得到y=sinx,B正确;再把所得各点向左平移π5个单位长度,得到y=sinx,D正确3.为了得到函数y=sin2x+4π3的图象,只需将函数y=sin2xA.向左平移7π12B.向左平移7π6C.向右平移7π12D.向右平移7π6解析：选A.函数y=sin(2x+4π3=sin(2x+π6+7π6)=sin观察发现可由函数y=sin2x+π6向左平移7π12个单位长度,得到函数题型二已知函数图象求解析式[典例2](1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期的图象如图所示,则该函数可以是 ()A.y=4sin(12x+3π4) B.y=4sin(12xC.y=4sin(2x+3π4) D.y=4sin(2x+5π解析：选B.由题图知A=4,函数的周期T=2πω=7π2-(-π2)=4π,得ω此时y=4sin(12x+φ)方法一(五点法):由五点对应可知(3π2,0)是第一个零点因此12×3π2+φ=0,得φ=-则y=4sin(12x-3π4)=4sin(12x-3π4+2π)=4sin(12方法二(最值法):由题中图象可知函数在x=3π2+7π2因此12×5π2+φ=2kπ+π2(因此φ=2kπ-3π4(k∈Z),当k=1时可知φ=54π,所以y=4sin(12x+(2)函数f(x)=Asinωx+φ+b(A>0,ω>0,φ<π2)的一部分图象如图所示,则 A.f(x)=3sin2xB.f(x)=2sin3xC.f(x)=2sin3xD.f(x)=2sin2x解析：选D.根据题中图象知A+b=4b−A=0,所以A=2,b=2,T=4又函数图象经过最高点π6代入函数f(x)=2sin2x+sin2×π6+φ=1,因为φ<π2,所以f(x)=2sin2x+ ——自主完善,老师指导确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M−m2,b(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT(3)求φ:常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.提醒一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减2πω的整数倍达到目的.1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=解析：由题意可得,34T=13π12-π3所以T=π,ω=2πT当x=13π12时,ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,k所以φ=2kπ-136π(k∈Z).令k=1可得φ=-π据此有f(x)=2cos(2x-π6)f(π2)=2cos(2×π2-π6)=2cos5π答案:-32.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=.

解析：由题中函数的图象可知,(x0,y0)与(x0+π4,-y0)纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T=2(x0+π4-x0)=π2,所以T=2πω=π2答案:4题型三三角函数图象变换与性质的综合应用角度1三角函数图象变换与性质的综合[典例3]已知函数f(x)=sin2ωx+φ(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于点−πB.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin2xC.f(x)在区间0,π2上的最小值为D.fx+解析：选D.因为f(x)的图象过点0,1所以sinφ=12,因为0<φ<π2,所以φ=因为f(x)的图象过点2π3,−1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6=3π所以f(x)=sin2x因为f(-π3)=sin(-2π3+π6)=sin(-所以x=-π3为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,y=sin2x−π6+π6当x∈0,π2时,2x-π6∈−π6,5π6,所以-12≤sin2x−π6≤1,所以ffx+π=sin2x+π令g(x)=fx+π6因为g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以g(x)=fx+π6=cos2x为偶函数,所以解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asinx+bcosx的形式;(2)构造f(x)=a2+b2·aa2+b2·sin(3)和角公式逆用,得f(x)=a2+b2sin(x+φ)((4)利用f(x)=a2+b2sin(x+角度2三角函数模型及其应用[典例4]如图所示摩天轮的半径为20米,圆心O距地面的高度为25米,摩天轮运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将摩天轮公园所在市区美景尽收眼底,则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位:分钟)为 ()A.83 B.3 C.103 解析：选C.设f(t)=Asin(ωt+φ)+h,依题意,A=20,h=25,T=10,所以ω=2πT=π5,又f(0)=5,所以φ=-所以f(t)=20sin(π5t-π2)+25=25-20cosπ5t(依题意25-20cosπ5t≥35,所以cosπ5t≤-12,又0≤解得103≤t≤203,则摩天轮转动一周内,有203-103三角函数模型在实际应用问题中的求解策略(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立三角函数关系式;(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题;(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.1.(多选题)(2023·南通模拟)函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φA.该函数的解析式为y=2sin2B.该函数图象的对称中心为kπ−π3,0C.该函数的单调递增区间是3kπ−5π4D.把函数y=2sinx+π3的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍解析：选ACD.由题图可知A=2,周期T=2πω=4π−π4=3π,所以ω则y=2sin23因为当x=π4时,y=2sin23sinπ6+φ=1,所以π6+φ=π2+2即φ=π3+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,故φ=π从而y=2sin23x+π3令23x+π3=kπ,k∈Z,得x=-π2+32kπ,k∈Z,令-π2+2kπ≤23x+π3≤π2+2kπ,-5π4+3kπ≤x≤π4+3kπ,k∈Z,故C函数y=2sinx+π3的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍,纵坐标不变,可得到y=2sin232.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙(船底到海底的距离),下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0若选用一个三角函数f(x)来近似描述这个港口的水深与时间(时刻:x)的函数关系,则下列说法中不正确的是 ()A.f(x)=2.5cosπ6B.f(x)=2.5sinπ6C.该货船在2:00至4:00期间可以进港D.该货船在13:00至17:00期间可以进港解析：选A.依据题中表格数据知,可设函数为f(x)=Asinωx+k,由已知数据求得A=2.5,k=5,周期T=12,所以ω=2πT=π所以有f(x)=2.5sinπ6x+5,选项A错误,选项B正确;由于船进港水深至少要6所以2.5sinπ6x+5≥6.25,得sinπ6又0≤x≤24⇒0≤π6x≤4π,则有π6≤π6x≤5π6或13π6≤π6x≤17π6,从而有1≤x≤5或【备选题型】利用三角函数图象求解三角函数方程解的个数问题[典例](1)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1x−2的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为A.16 B.4 C.8 D.12解析：选D.由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即πω=3,所以ω=π则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,因为0<φ<π2,所以φ=π所以f(x)=tan(π3x+π3又因为f(2)=tan(2π3+π3所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1x−2的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为(2)已知关于x的方程2sin2x-3sin2x+m-1=0在(π2,π)上有两个不同的实数根,则m的取值范围是解析：方程2sin2x-3sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6),x∈(π2,π设2x+π6=t,则t∈(7π6,13π所以题目条件可转化为m2=sint,t∈(7π6,13π6所以y=m2和y=sint,t∈(7π6,13π6)的图象有两个不同交点由观察图象知,m2的取值范围是(-1,-12故m的取值范围是(-2,-1).答案:(-2,-1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.1.已知函数f(x)=cos(2x-π3),x∈[0,π2],若方程f(x)=m有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (A.[-12,12] B.[1C.[12,1] D.[-12解析：选B.因为x∈[0,π2]所以令t=2x-π3∈[-π3,2π3],f(x)=m有两个不相等的实数根等价于函数y=f(t)的图象与直线y=m有两个交点,函数y=f(t)的图象与直线y=m的位置如图所示,由图可得实数m的取值范围是122.函数f(x)=xsin2πx-1在区间(0,3]上的零点个数为 ()A.6 B.5 C.4 D.3解析：选C.函数f(x)=xsin2πx-1在0,3上零点的个数即方程xsin2πx-1=0在x∈0,3上解的个数,方程xsin2πx-1=0化简可得sin2πx=1x在同一坐标系中作出函数y=sin2πx与函数y=1x的图象如图所示由图可知在区间0,3上,两函数图象有4个交点,故函数f(x)=xsin2πx-1在区间(0,3]上的零点个数为4.教考衔接拓广角度❻泰勒公式在比较大小中的应用【源于教材】教材[拓广探索]中提到:英国数学家泰勒发现了如下公式:sinx=x-x33!+x55!-x77!+…+(-1)nx2n+1(其中n!=1×2×3×4×…×n.这些公式被编入了计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.【教材拓展】常用的还有另外三个公式(1)指数函数:ex=1+x+x22!+x(2)对数函数:ln(1+x)=x-x22+x33x∈(-1,1);(3)幂函数:(1+x)a=1+ax+a(a-1)2!x【链接高考】一、利用sinx,cosx的泰勒展开式比较[典例1](2022·全国甲卷)已知a=3132,