高考数学复习核心专题突破(二)　微专题4　高考中的解三角形问题（导学案）

核心专题突破(二)微专题4高考中的解三角形问题【题型一】边、角、周长和面积的计算问题[典例1](2023·十堰模拟)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+bsinB,(1)求角A;(2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D,且AD=2,BD=2CD,求△ABC的周长.解析：(1)由余弦定理的推论得ccosB+bcosC=c·a2+c2-b2因为sinA(ccosB+bcosC)-csinB=csinC+bsinB,所以asinA-csinB=csinC+bsinB,由正弦定理得a2-bc=c2+b2,即c2+b2-a2=-bc,由余弦定理的推论得cosA=b2+c因为0<A<π,所以A=2π3,故角A为2π(2)如图所示:因为∠BAC=2π3所以S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=34因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD=π3因为∠ADB+∠ADC=π,所以∠ADB=π-∠ADC,所以sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,在△BAD中,由正弦定理得:BDsin∠BAD=在△CAD中,由正弦定理得:CDsin∠CAD=两式相除得BDCD=AB因为BD=2CD,所以AB=2AC,即c=2b,因为AD=2,所以S△BAD=12AB·AD·sin∠BAD=32c,S△CAD=12AC·AD·sin∠CAD=因为S△ABC=S△BAD+S△CAD,所以34bc=32b+3因为b·2b=2b+4b,整理得b2=3b,解得b=3或b=0(舍去),所以c=6,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=63,因为a>0,所以a=37,所以△ABC的周长为a+b+c=37+3+6=37+9,故△ABC的周长37+9.【方法提炼】基本量计算问题的求解思路(1)边角关系要统一,化简过程务必要等价转化;(2)放在适当的三角形中求解,优先考虑特殊的三角形(有时作辅助线会事半功倍);(3)注意寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,以及方程思想的应用.【对点训练】(2022·南通模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=5,2bcosC=2a-c.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为103,设D是BC的中点,求sin∠BADsin∠解析：(1)因为2bcosC=2a-c,所以由正弦定理得,2sinBcosC=2sinA-sinC,即2sinBcosC=2sin(π-B-C)-sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,即2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,即2cosBsinC=sinC,因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosB=12因为B∈(0,π),所以B=π3(2)12acsinB=103⇒12·a·5·32=103⇒a=8,b=a2在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠BDA=BDsin∠BAD⇒sin∠在△ACD中,由正弦定理得,ACsin∠CDA=CDsin∠CAD⇒sin∠因为BD=CD,sin∠BDA=sin∠CDA,所以sin∠BADsin∠CAD=ACAB=【加练备选】(2022·重庆模拟)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosA=89,a=2,△ABC的面积为17(1)求b,c;(2)O为边AC上一点,过点A作AD∥BC交BO延长线于点D,若△AOD的面积为2173解析：(1)因为A∈(0,π),sinA>0,所以sinA=1-cos2A=179,S△ABC=12bcsinA=在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即2=b2+c2-16,所以b2+c2=18,所以(b-c)2=b2+c2-2bc=18-2×9=0,所以b=c,所以bc=b2=9,解得b=3,所以b=c=3.(2)设OC=λOA,λ>0,则S△OBCS△ABC=OCAC=OCOA+OC=λ因为AD∥BC,则△OBC∽△ODA.所以S△OBCS△ODA=(OCOA所以S△OBC=λ2·217所以λλ+1·172=λ2解得λ=12或-3所以OC=13AC在△ABC中,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=26,在△OBC中,由余弦定理得OB2=OC2+BC2-2则OB=213,cos∠CBO=BC2+OB2-OC22BC所以cosD=cos∠CBO=542【题型二】解三角形实际应用问题[典例2](2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473解析：选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足,由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100cos15°sin45°sin所以AN=BN=273,AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.【方法提炼】解三角形应用题的求解思路(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型;(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.【对点训练】某观察站B在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向城A走去,走了20km之后到达D处,此时B,D间的距离为21km,则城A与观察站B之间的距离为 ()A.24km B.243kmC.19km D.20km解析：选A.由题意得,在△BCD中,BC=31,CD=20,BD=21,由余弦定理得cos∠BDC=BD2+CD因为∠BDC+∠ADB=π,所以cos∠ADB=17,所以0<∠ADB<π所以sin∠ADB=1-cos在△ADB中,∠BAD=60°,BD=21,由正弦定理得ABsin∠ADB=所以AB=BDsin∠BAD·sin∠ADB=21sin60°【题型三】开放探索性问题[典例3](2023·青岛模拟)从①csinC-asinA=(3c-b)sinB;②sin2A+3cos2A=3两个条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,,AB=23.

(1)求角A;(2)若△ABC外接圆的圆心为O,cos∠AOB=1114,求BC的长解析：(1)条件①:由正弦定理及csinC-asinA=(3c-b)sinB,知c2-a2=(3c-b)b,即b2+c2-a2=3bc,由余弦定理知,cosA=b2+c2-因为A∈(0,π),所以A=π6条件②:因为sin2A+3cos2A=3,所以2sin(2A+π3)=3,因为A∈(0,π),所以2A+π3=2π3,即A(2)因为△ABC外接圆的圆心为O,所以∠AOB=2∠C,所以cos∠AOB=cos2C=1-2sin2C=1114,所以sinC=21在△ABC中,由正弦定理,知csinC=asinA,即232114=a【方法提炼】解开放探索性问题的两个注意点(1)分析时要兼顾给出的三个条件,选择最易解答的一个条件;(2)解题时只需要选一个条件,结合其他条件求解即可.【对点训练】如图,在四边形ABCD中,△BCD为锐角三角形,CD=4,sin∠DBC=223,cos∠BDC=(1)求BC;(2)若AB=m,AC=BC+m3,是否存在正整数m,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由解析：(1)因为cos∠BDC=33所以sin∠BDC=1-(3在△BCD中,CDsin∠DBC=BCsin∠BDC,即4223(2)存在,理由如下:AC=BC+m3=23+m若△ABC为钝角三角形,则∠ABC为钝角,则m2+(23)2-(23+m3)2解得0<m<33又因为m为正整数,所以m=1或m=2.【加练备选】现给出两个条件:①2c-3a=2bcosA,②2asin2B2+2bcos2A2=b+c.从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析：选择条件:①2c-3a=2bcosA,(1)由余弦定理可得2c-3a=2bcosA=2b·b2整理可得a2+c2-b2=3ac,所以cosB=a2+c2-因为B∈(0,π),所以B=π6(2)因为b=2,B=π6所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得4=a2+c2-2ac·32所以4=a2+c2-3ac≥2ac-3ac,可得ac≤8+43,当且仅当a=c时等号成立,所以S△ABC=12acsinB≤12×(8+43)×12=2+3,即△ABC选择条件:②2asin2B2+2bcos2A2=b+(1)由条件可得2a·1-cosB2+2b·1+cosA2=b+c,整理可得a-acosB+所以由正弦定理可得sinA-sinAcosB+sinBcosA=sinC,又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以整理可得sinA=2sinAcosB,因为sinA>0,所以cosB=12因为B∈(0,π),所以B=π3(2)因为b=2,B=π3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得4=a2+c2-2ac·1所以4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,可得ac≤4,当且仅当a=c时等号成立,所以S△ABC=12acsinB≤12×4×32即△ABC面积的最大值为3.【题型四】解三角形与三角函数、向量综合[典例4](2023·长沙模拟)如图,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知点D在边BC上,DA=DB,CA=CD.(1)求证:sinC2=cos2B(2)若asinB+bsinA=463bsinAsin①求cosC;②当·=21时,求△ABC的周长.解析：(1)因为DA=DB,CA=CD,所以∠CAD=∠CDA=2B,所以4B+C=π,即C2=π2-2B,所以sinC2(2)①因为asinB+bsinA=463bsinAsin由正弦定理可得2ab=463absinB,则sinB=由(1)可得sinC2=cos2B=1-2sin2B=1所以cosC=1-2sin2C2=7②因为·=21,即abcosC=21,解得ab=24,在△ACD中,CD=CA=b,AD=BD=a-b,由余弦定理可得(a-b)2=b2+b2-2b2·78,整理可得a=32b,结合ab=24,解得a=6,在△ABC中,由余弦定理可得c2=16+36-2×4×6×78=10,解得c=10所以周长为10+10.【方法提炼】解三角形与三角函数、向量的综合问题的解题策略(1)三角形中边角关系可以用向量数量积的形式展现出来,而正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,应注意两者的联系.(2)利用正弦、余弦定理能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式.(3)涉及最值或范围问题,常利用正弦定理把边转化为角,利用三角函数的性质求出范围或最值.【对点训练】(2022·烟台模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2acosAcosC+2ccos2A.(1)求角A;(2)若a=4,求c-2b的取值范围.解析：(1)因为b=2acosAcosC+2ccos2A,由正弦定理asinA=bsinsinB=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A=2cosA(sinAcosC+sinCcosA)=2cosAsinB,因为A,B,C为△ABC的内角,所以B∈(0,π),所以sinB≠0,2cosA=1,所以cosA=12因为A∈(0,π),所以A=π3(2)由正弦定理得asinA=所以c-2b=833(sinC-2sinB)=833sinπ-π3-B-2sinB=83332cosB-3=8cosBcosπ3-sinBsinπ3,所以c-2b=8cosB+π3,因为B∈0,2π3,所以B+