湖南省衡阳县2023-2024学年高二年级下册4月月考数学模拟试题（含答案）

湖南省衡阳县2023-2024学年高二下学期4月月考数学

模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章7.4.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知复数（昌+1）（1+病）=一3+5*则|。+所|=（）

A.右B.5C.石D.3

2.已知函数/（X）图象的一个对称中心为I于"，则/（X）的解析式可能为（）

/(x)=x2-x+；/(x)=sin^3x+|j

A.

/(x)=cos|^|x-^D/(x)=tan^3x-|^|

C.

5-]

4

3.已知随机变量IA则0（x）=（）

151555

A.16B.8C.8D.4

4.甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有

4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9,打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲

从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为（）

A.0.54B.0.58C.0.60D.0.64

5.在^ABC中，BD=6CD,则AD=(

5—1—6—■1——

-AB+-AC——AB+-AC

A.66B.55

-AB+-AC-LJB+-AC

C.66D.55

6.将一个母线长为3cm,底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的

最大零件的表面积为（）

5兀23兀2

2-cm——cm

A.2兀cmB.兀cm-2c.2D.2

22

FFAf：=+不=1（。>b>0）日

7.已知与与分别是椭圆。b2的左、右焦点，A是”的右顶点，过々的直

3a+c/八尸尸二2兀

x=-----八NQFK=NPAF、=——

线与直线2交于点尸，射线片尸与M交于点°,且3,则M的

离心率为（）

1也-1]_&-1

A.2B.2c.4D.2

已知函数小）满足""加小）+"少2"

4,则外网户（）

8.

A.10000B.10082C.10100D.10302

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（）

亿元

%

60000—总址+增长速度15

5000045713548670.4

136329.739894.141542.612

4000033828.1

9

30000尸一

8.0

200007.87.66

100003.83

0_______________0

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加

B.2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为7$%

D.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的60%分位数为7.7%

10.己知O8C的内角4民0的对边分别为”,b,c,0为线段8c上的一点，且

CD=43BD=V3,ZBAD=45°,ZCAD=60"；贝g（）

A.cB.c=6

C.AD=\D.△/℃的面积为6

11.已知集合48满足八{（x/，z）x+y+z=ll,x,y,ze"},则下列说法正确的是（）

A.若/=卜2,0,1,13},则8中的元素的个数为1

B.若N={Hx=2%+UN},则B中的元素的个数为匕

C.若"=N+,则B中的元素的个数为45

D.若/=N,则8中的元素的个数为78

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线C：49加f_16叫2=1的渐近线方程为.

13.」+《6+《6+…+C2被17除的余数为.

以（…了+仁-2*3.+4］的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列瓯}为等差数列，且4=1，%=4.

⑴求%;

=~r=+~T

(2)若7，W〃a〃+i数列也}的前"项和为s”,证明：S”<2

16.如图，在正方体/88-45GA中，E,F分别为阳,/8的中点，点G在成的延长线

（1）证明：EG,平面8CQ

（2）求平面8Go与平面。防的夹角余弦值.

17.己知尸是抛物线C：廿=2/(。>0)的焦点，过万的直线/与C交于48两点，且43到

直线x=-3的距离之和等于M却+4.

⑴求°的方程；

(2)若/的斜率大于。，A在第一象限，过尸与/垂直的直线和过A与x轴垂直的直线交于点

且朋=|皿,求/的方程.

18.A盒子中有6个小球，B盒子中有8个小球，甲、乙两人玩摸球游戏，约定：甲先投掷一

枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数为偶数，则从A盒子中取出2个小球放入B盒子，否

则从A盒子中取出3个小球放入B盒子，乙再投掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数

大于4,则从B盒子中取出3个小球放入A盒子，否则从B盒子中取出2个小球放入A盒

子，整个游戏过程为一个回合.

(1)求第一个回合后43两个盒子中小球个数相同的概率；

(2)两个回合后，记48两个盒子中小球的个数分别为'乃，求X-Y的分布列与期望.

19.已知函数

⑴讨论/(X)的单调性；

⑵若/(x)N°恒成立，求。的取值集合；

<0<x<—

xx_

(3)若存在2122,/(i)+\(1cosxj=f(x2)+x2(1-cosx2)=0求Q的取值范

围.

1.A

【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等及复数模求解即得.

【详解】由（图+1）（1+济）=-3+汉得（1一0%2）+仅2+62》=一3+玉，而。,6eR,

因此/+/=5,所以|。+历|=J/+'=、.

故选：A

2.D

【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.

【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；

1c13c

x=_3x—I—=3An、

对B：当2时，22,由3刃不是函数y=smx的对称中心，

[J,。["x）=sin[3x+1]

故（2J不是I2J的对称中心，故B错误；

X-1兀X1兀一0

对C：当、一5时，2X24-,由（°，°）不是函数〉=cosx的对称中心，

化o]/（x）=cosf—X-—

故（2J不是124J的对称中心，故c错误；

x=_Ll_l

对D：当A]时，3Xx25一=0，由（°，°）是函数V=tanx的对称中心，

I,。]/（x）=tanGx-1'|

故（2J是I2J的对称中心，故D正确.

故选；D.

3.A

【分析】利用二项分布的方差公式计算.

X-B[5,->1D（Ar）=5x-xfl-l"|=—

【详解】随机变量I4九则4<4J16

故选：A

4.B

【分析】根据题意，结合全概率公式，即可求解.

【详解】根据题意，用4,4分别表示甲随机选取的选手时球技一般的同学，球技高超的同学,

用8表示甲打赢这场比赛,

可得尸(4)=0.6,尸⑷=0.4,尸(314)=0.9,P(B14)=0」,

所以由全概率公式,可得尸(团=尸(4)尸(514)+尸(4)尸(5⑷=0.58

故选：B.

5.D

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.

【详解】由丽=6①，得15-京=6(而一次)，整理得""一一18+1：

故选：D

6.A

【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径

与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球

的表面积公式即可得.

【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，

该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，

画出该轴截面如图，

由母线长为3cm,底面半径为1cm可得该圆锥的高〃=VF二/=2j5cm,

S=-X2X2A/2=—X3r+—X+—X

设内切球的半径为厂，则有2222,

y——cm

解得2,即内切球表面积为4兀/=2?icm2.

故选：A.

HD

7.B

【分析】结合题意可得益/〃》，借助相似三角形的性质可得

yP_xp+c_\PA\_|^|_a+c

为j+C\QF2\\FtF2\2c,即可得九=Gc,&=2c,代入椭圆方程计算即可得离

心率.

【详解】不妨设点。在X轴上方，

y_p__Xp+c_四|_片|_a+c

则%XQ+c|。周I片用2c

3〃+c

2crrXp+C_2+<?"

y=y-------=73cx=2c---------c=2c——----------c=2c

故QPa+c,0a+ca+c

（）2（^4

---2---c--------1------------------—1

故有/b2,整理可得4eJ8e2+l=0,

2=2=93海

关键点点睛：本题关键点在于借助尸点的横纵坐标，结合题意得到的凿〃尸计算出。点

坐标，再代入椭圆中即可得解.

8.C

［分析1赋值得到了G+1）一/（x）=2x+2,利用累加法得到/（x+99）-/（X）=198x+9900

令x=l得到“1°。）-"1）=10098,赋值得到/（1）,从而求出答案.

1

/('+>)=/(%)+/(歹)+2孙y=­

【详解】中，令2得,

3

4-i=/(%)+/I+x=f(x}i+x+—

x+1+x+L"+11+X+95

故2224M24

故/(x+l)=/(x)+x+；+x+j=f(x)+2x+2

其中/(x+1)-/(x)=2x+2,①

/(x+2)-/(x+l)=2(x+l)+2=2x+4②

/(x+3)-/(x+2)=2(x+2)+2=2x+6③

/(x+99)-/(x+98)=2(x+98)+2=2x+198

上面99个式子相加得，

/(x+99)-/(x)=99x2x+2+4+--•+198^198x+"X^+198^

=198x+9900,

令x=l得198+990。=10098

O(x)+x+j1

X=—/(0=/+LB+W

令2得224424

故/(100)=10098+/(1)=10100

故选：C

9.ABC

【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及60%分位数的意义判断即得.

【详解】对于A,2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确；

对于B,2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为48670.4-33828.1=14842.3（亿元），

B正确；

对于C,2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为7.6%,C正确；

对于D,2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：

3.8%,4.5%,7.6%,7.6%,7.8%,8.0%,而6x60%=3.6,所以该组数据的60%分位数为7.6%,

D错误.

故选：ABC

10.BC

【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求

解.

c_BDb_CD

【详解】对于A中，由正弦定理得sin/408sinZBAD，sinZADCsinZCAD,

cBDsmZCAD41

因为sin//DB=sin/NDC,所以7-CDsinNB/。2,即6=所以A错误；

对于B中，由N8/O=45°,NC/O=60。，ABAC=ABAD+AAD=105°

Ji-Je

cosNBAC=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=-----------

可得4

2222

222(1+V3)=2C+C-2V2CX^-^

由余弦定理。一=6一+c-26ccosTI,可得4

解得c=也，所以B正确;

bCDsinZADC=bSmZCAD=]

对于C、D中，由sin/4DCsinZCAD,可得CD

Z.ADC——S=—x1x5/3=

可得2,所以ND=1,则△/℃的面积为22,所以c正确，D错

误.

故选：BC.

BD

11.BCD

【分析】对于A,由集合3的定义即可列举出集合B中所有的元素即可判断；对于B,A中

的元素均为正奇数，对x分类讨论即可验算；对于C,原问题等价于将11个大小相同、质地

均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D,原问题

等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔

板法验算即可.

【详解】由题意得八{(-2,0/3),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,0),(13,0,-2)},所以

8中的元素的个数为6,A错误.

由题意得A中的元素均为正奇数，在8中，

当x=l时，有(UM，。，3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共§个元素,

当尤=3时，有(3,L7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4个元素，

当x=5时，有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共个元素，

当x=7时，有(7,3,1)共2个元素,

当x=9时，有(9」/)共1个元素，

所以8中的元素的个数为5+4+3+2+1=15,B正确.

8={(x,y,z)[x+y+z=U,x,y,zeN+}^可转化为将个大小相同、质地均匀的小球分给甲、

乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为第。=45,所以8中的元素的个数为45,C正确.

5=x|+y+z=1l,x,y,zeN}={(xj,z)(x+l)+(y+l)+(z+l)=14,x+l,y+l,z+leN+}

可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个,

利用隔板法可得分配的方案数为C；3=78,所以B中的元素的个数为78,D正确.

故选：BCD.

关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利

得解.

127x±4y=0

【分析】根据给定的方程，直接求出渐近线方程即可.

［详解］双曲线U49mx2-16叼2=1的渐近线方程为49加/-16叼2=0,即7x±4y=0.

故7x±4»=0

13.15

［分析］根据二项式系数的性质得至ljC；6+C；6+C；6+…+0=2x2、再化简得到

441110

2x2=2Ci117-2C；117+---+2C；il7'-2=17（a-l）+15,aeN+得至°型案

C*+乙+2+…+CX246=2X244

【详解】由题意得2,

2x244=2xl6u=2x（17-l）n=2x（C°1711-C；1710+---+C；°171-C；；17°）

因为\117

11101

=2C°117-2C]117+---+2C；°17-2=17a-2=17（a-l）+15,aeN+

所以所求的余数为15.

故15

14.l（1-ln2）2

【分析】(尤-。)-+(》2-2瓶-3a+4,可以看作尸(x,/-21回,Q(〃,3"4)两点距离的平方,

即可转化为研究直线k3》-4上的点到曲线g(x)=x2-2欣的距离的平方的最小值，借助导

数的几何意义计算即可得.

【详解】&-h+&-21nx-3a+4)可以看作P(x,x2-2hu),。(凡3a-4)两点距离的平方,

动点P在函数g(x)=V_21nx的图象上，动点°在直线、=3x-4上,

g(x)=2x_(,当曲线y=g(x)在尸处的切线与y=3x-4平行时，|尸。『最小,

则g(x)-2x-、_3,得、=2或》一一］(负根舍去)，所以切点尸(2,4_21n2),

^_|6-4+21n2-4|_|21n2-2|

P至Ijy=3x-4的距离V10VW

,121n2-2|丫2,

d2=\J__=-(l-ln2)2

所以I尸。『的最小值为l9J5

-(l-ln2)2

故答案为.5

2

15.⑴。”="

(2)证明见解析

【分析】(1)利用等差数列的通项公式即可求解；

(2)根据(1)结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前〃项和公式及裂项相消

法即可求解.

【详解】(I)设等差数列瓯｝的公差为4,则

,**Q]—1,a2=4

..d—da?-J'=,^4一—1

•­.数列瓯｝的通项公式为«=1+(〃一l)x1=〃，即为=/.

(2)由⑴知，氏=〃2,，。用=("+1)：

b-111-111-1111

""Ja〃%+i2〃n(n+l)2〃n〃+1

111111111111

•・+b2+b3T-----\-b--H-----------1——H------------1——H-------------1-…H-------1-----------------

n2112222323342"nn+\

2

•/n—>+co,———>0,----->0

T〃+l

:S<2

16.(1)证明见解析;

V42

⑵7.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.

（2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.

【详解】（1）在正方体耳GA中，以。为原点，直线分别为x）,z轴

建立空间直角坐标系，

c,

B

令AB=2,则。(°，°，°)，8(2,2,0),CJO,2,2),E(l,2,1),G(0,3,0),尸(2,1,0),

于是丽=(2,2,0),西=(0,2,2),函=(一1,1,-1),显然丽・瑟=0,西•旃=0

则DB1EG,DC,LEG,而。8口DC1=D,DB,DCXc平面BCR.

所以EG,平面8CQ

(2)由⑴知平面BQ。的一个法向量为EG=(T,1,T),。尸=(2,1,0),DE=(1,2,1),

ii•DF=2x+y=0

<

设平面。斯的一个法向量7=(x/,z),则H-OE=x+2y+z=0,取x=l,得1(1,-2,3),

n-~EG-6

cos〈凡£G〉

|n||£G|-V3XV14

则

A/42

所以平面BQD与平面尸夹角的余弦值是〒

17.⑴/=4x

【分析】（1）由因为43到直线x=-3的距离之和等于卜四+4,根据抛物的定义和焦点弦长,

2（-4+3）=|/8|+4-|/闾

列出方程21,求得P的值，即可求解；

（2）设/：、=叩+1（加＞。），联立方程组，得到必+%=4加/比=-4,结合跑线的焦点弦长

得到MM=4（加F）,再设£＞（%,/）,求得⑷=（加2+1）必，根据|叫=|皿，求得加的值，

即可求解.

2F（—0）x=~—

【详解】（1）解：由题意，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为2'，准线方程为2,

_p_

则48到准线X=一万的距离之和等于\AF\+\BF\=\AB\,

因为48到直线x=-3的距离之和等于陷1+4,可得2（/+3）=|明+4T第，

解得°=2,所以抛物线C的方程为V=4x.

（2）解：由焦点尸（1，°）,可得设/：》=叩+1（别＞0）且必）（M＞0）,8（工2，%）,

\x=my+1

联立方程组卜=叙,整理得/-4叩_4=0,

贝|八=（一4加＞+16＞0且%+%=4加,必力=一4,

所以|/却=%+乙+2=加（乂+%）+4=4（/+1）,

,tI

K.Dp=------=------=—JTI

设£）（再,/）,由卜谶•=-1,可得国-1kAB,

即/=一加（再一1）=一苏%,

所以|4D|=乂+苏必=（加2+1）必，

由\AB\=4（机2+1）=\AD\=（加2+1）%,可得必=4,

_3

代入「一4刃-4=0,可得16-16%-4=0,解得切一1,

所以直线’的方程为4A3"4=0.

1

18.(1)6

E(X-Y}=--

(2)分布列见解析，3

【分析】(1)分别计算出每种情况的概率后借助相互独立事件的乘法公式计算即可得；

(2)分别计算出每个回合的各种情况的概率后，借助相互独立事件的乘法公式计算两个回合

的不同情况的概率即可得.

【详解】(1)由题意可得从A盒子中取出2个小球放入B盒子的概率为万，

从A盒子中取出3个小球放入B盒子的概率也为万，

]_

从B盒子中取出3个小球放入A盒子的概率为§,

2

从B盒子中取出2个小球放入A盒子的概率为§,

设4、Bt(i=2,3)分别表示从A盒子和从3盒子中拿出i个小球放入另一个盒子的情况，

则第一个回合后48两个盒子中小球个数相同的概率为：

P=P(A,BA=-X-=-

v-37236.

(2)一个回合中，从A盒子中取出2个小球后再从B盒子中取出2个小球的概率为：

P(/B)=—X—=-

233,此时A盒子、B盒子中分别有6个、8个小球，

从A盒子中取出2个小球后再从B盒子中取出3个小球的概率为：

]

P(A,B3)=-X-=-

236,此时A盒子、B盒子中分别有7个、7个小球，

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出2个小球的概率为：

P（AB）=Ax-=-

233,此时A盒子、B盒子中分别有5个、9个小球,

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出3个小球的概率为：

P（4JB）=-X-=-

3236,此时A盒子、B盒子中分别有6个、8个小球,

£

即一个回合中，甲盒子中减少一球的概率为

甲盒子中小球数量不变的概率为］6-2,

j_

甲盒子中小球数量增加一个的概率为％,

设第一回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为Q,G,

第二回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为4,

则X-Y的可能取值为一6、一4、一2、。、2,

P（x_r=_6）=jP（cAi）=lxl=l

p（x-r=-4）=Jp（c1A）+JP（c0D,）=lxl+lx|=l

P（X-Y=-2）=P（CD）+）+尸（％。）=j+2/xLU

00I3636

P（X-y=O）=尸（C°〃）+P（GA）=2xgx：=：

即其分布列为:

X-Y—6-4-202

J_j_13j_1

P

9336636

E（X-y）=-6xl+（-4）x-+（-2）x^+0x-+2x—=--

其期望为、79v73v7366363

19.（1）答案见解析；

⑵*

⑶（0,1）,

【分析】（1）求出函数/（X）的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.

(2)由已知可得。>°,再利用(1)的结论求出函数"X)的最小值，并构造函数探讨函数最

大值即得.

(3)根据条件，将问题转化为函数g(x)="e'-xcosx-a在(一于°)和(’])存在零点，再分

类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得.

【详解】(1)函数/(x)=ae=x-a的定义域为R,求导得/(x)=ae*-1,

当aW0时，/'(x)<0,函数"X)在R上单调递减；

当。>0时，由八x)<°,得x<-lna,“X)递减，由/'(x)>0,得x>-lna,/㈤递增，

所以当。时，函数/(刈在R上单调递减；

当。>0时，函数/⑴在(一°°，Tn。)上单调递减，在(-Ina,+co)单调递增.

(2)依题意，〃°)=°,由恒成立，得〃l)=a(e-l)-120,则a>0,

由(1)知，/(x)min=/(_lnq)=l+lnQ_Q,令〃(a)=l+lnQ_a,Q〉0,

求导得。,当。<。<1时，〃他)>0,函数〃(。)递增，当时，〃(4<0,函数

防(°)递减,

因此〃(a)max=〃⑴=0,由/(x)20恒成立，得〃(a)20,则a=],

所以。的取值集合为{1}.

（3）由/（石）+再（1_COSX1）=/（X2）+X2（1_COSX2）=0,得

X2

-xxcosxx-aae-x2cosx2-a=0

/、x/兀兀、jr71

g(x)=ae-xcosx-a,xe(——,—)/、(__0)(0,—)

令22,依题意，函数g(x)在2和2上存在零点,

，x

^^^gW=«e-cosx+xsinx；在