2024年中考数学冲刺复习讲练测-圆的计算与证明（测试）（浙江新中考）（解析版）

09圆的计算与证明

目录

・题型特训・精准提分

题型01圆中的角度和线段计算问题

题型02垂径定理的实际应用

题型03与圆有关的弧长、扇形面积计算

题型04求弓形面积或不规则图形面积

题型05正多边形与圆的相关计算

题型06与圆有关的位置关系

题型07切线的判定

题型08三角形内切圆、外接圆的相关计算

题型09圆与相似综合

题型10圆与三角函数综合

中考逆袭-高效集训

第1页共80页

・题型特训•精准提分

题型01圆中的角度和线段计算问题

1.（2024•珠晖区一模）如图，是。。的直径，四边形ABC。内接于O。，若BC=C£>=ZM=4c〃z,则。。

4cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【解析】解：如图,连接O。、OC,

"：BC=CD=DA=4cm,

：.ZAOD^ZDOC=ZBOC=60°.

又OA^OD,

.♦.△AOZ）是等边三角形,

.,.OA=AD=4cm,

.•・O。的直径A2为8cm.

2.（2024•镇平县一模）如图，在RtZXABC中，AC=BC,/AC8=90°,点。在以AB为直径的半圆上,

连接CO交AB于点E,若/AEC=70°,则BD所对的圆心角的度数是（）

第2页共80页

A.25°B.35°C.50°D.70°

【答案】C

【解析】解：'：AC=BC,ZACB=90°,

：.ZBAC=ZABC=AX(180°-90°)=45°,

2

V70°,

：.ZAC£=180°-ABAC-ZAEC=65°,

：.ZBCD=ZACB-ZACE=25°,

•.,/ACB=90°,点。在以AB为直径的半圆上，

...点C在点。在以A2为直径的圆上，

.,.俞所对的圆心角的度数=2/38=50°,

故选：C.

3.（2024•闽清县模拟）如图，已知A,B,C是。。上的三点，ZBOC=100°,则/BAC的度数为（

B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【解析】解：B,C是。。上的三点，ZBOC=100°,

ZBAC=lxBOC=lx100°=50°,

22

故选：D.

4.（2024•惠城区模拟）如图，A8是半圆。的直径，点。是弧AC的中点，若/BAC=44°,则/D4C等

C.23°D.46°

【答案】C

第3页共80页

【解析】解：TAB是半圆。的直径,

AZACB=90°,

VZBAC=44°,

.\ZB=90o-ZBAC=46°,

,/四边形ABCD是半OO的内接四边形,

・・・NO=180°-N8=134°,

•・•点。是弧AC的中点，

**•AD=DC，

：.AD=DC,

：.ZDAC=ZDCA^1.(180°-ZD)=23

2

故选：C.

5.（2024•武威二模）如图，在O。中，弦AC与半径02交于点。，连接。4,BC,若NB=60°,ZADB

=116°,则NAO8的度数为（）

C.112°D.110°

【答案】C

【解析】解：•••/AD2=NB+/C,

,*.ZC=116°-60°=56°,

/.ZAOB=2ZC=112°,

故选：C.

6.（2024•浦桥区校级模拟）如图，点C,D是以线段AB为直径的。。上的两点，若CA=CD,且/CA8

=25°,则NACO的度数为（

第4页共80页

C

A

D

A.23°B.30°C.40°D.50°

【答案】D

【解析】解：・・\45为直径,

AZACB=90°,

AZABC=9Q°-ZCAB=90°-25°=65°,

AZADC=ZABC^65°,

VCA=CD,

：.ZCAD=ZADC=65°,

AZAC£)=180°-65°-65°=50°.

故选：D.

7.（2024•滨海县一模）如图，四边形ABCD内接于。0,A3是。。的直径，点E在。。上，且NAOC=125°,

则NBEC的度数是（）

A.25°B.55°C.45°D.35°

【答案】。

【解析】解：如图，连接AC

四边形ABCD内接于OO,

AZADC+ZABC=180°,

VZADC=125°,

/.ZABC=180°-125°=55°,

〈AB是。。的直径,

第5页共80页

AZACB=90°,

：.ZCAB=90°-55°=35°,

由圆周角定理得：ZBEC=ZCAB=35

故选：D.

8.（2024•武威模拟）如图，AB是。0的直径，点C、D、片在。。上，若NDCB=115。，ZEAB=55°,

且A3=4«,则即为（）

A.276B.6C.3aD.3近

【答案】B

【解析】解：连接OE、OD、BE,过。点作OH_L。E于X,如图，

VZBED+ZC=180°,

：.ZBED=180°-115°=65°,

VAB为直径，

；・NAEB=90°,

AZAED=90°-ZBED=90°-65°=25°,

AZAOD=2ZAED=2X25°=50°,

•・・OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE=55°,

AZAOE=180°-55°-55°=70°,

ZDOE=ZAOE+ZAOD=700+50°=120°,

•：OD=OE,

第6页共80页

：.ZODE=ZOED=30°,

在Rt/XOQH中，OH=LOD=工乂2如=如,

22

:・DH=MXM=3,

OHLDE,

:・EH=DH=3,

：.DE=6.

9.（2024•沧州一模）如图，圆内接四边形ABC。中，ZBCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,ZBOC

=2ZCOD.则NC5O的度数是（）

【答案】B

【解析】解：:四边形A3CO是。。的内接四边形,

AZA+ZBC£>=180°,

VZBCD=105°,

AZA=75°,

：.ZBOD=2ZA=150°,

9

：ZBOC=2ZCODf

；・NC0O=5X150。=50°,

3

：.ZCBD=1./C0£>=25°.

2

第7页共80页

故选：B.

题型02垂径定理的实际应用

1.(2024•邹平市校级一模)如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8租，水面宽A8为

【答案】B

【解析】解：连接80,

由题意可得：AD—BD—4m,设O。的半径OC=x，",

贝！JDO=(8-x)m,

由勾股定理可得：/=(8-x)2+42,

解得：尤=5.

故选：B.

2.(2024•盘龙区校级模拟)《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不

知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为。。的直径,

C£)=26寸，求的长求弦A8的长为()

C.20寸D.26寸

第8页共80页

【答案】A

；CD为。。的直径，AB1DC,

.,.AE=AAB,OA=OD=」CZ）=JLX26=13（寸），

222

：.AB^2AE,0E=0。-即=13-1=12（寸），

在RtZXAEO中，

（9E2+AE2=OA2,

.,.122+AE2=132,

解之AE=5（寸），

.•.AB=10寸.

故选：A.

3.（2023•越秀区校级三模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250机的圆弧，桥拱和路面之间用数

根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为3007”,那么这些钢索中最长的一根为（）

【答案】A

【解析】解：设圆弧的圆心为。，过。作。CLA2于C,交益于D,连接。4,如图所示:

则04=00=250/",AC=8C=LAB=150;“，

2

OC=VOA2-AC2=^2502-1502=200（tn）,

:.CD=0D-OC=250-200=50（m）,

即这些钢索中最长的一根为50/77,

第9页共80页

故选：A.

O

4.(2024•惠山区校级一模)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”.问题翻译为：如图，现有圆形木材埋

在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长A8为10寸，则圆材的半径为13

寸.

【解析】解：设圆材的圆心为。，延长CD,交。。于点E,连接如图所示:

由题意知：CE过点O,MOCLAB,

设圆形木材半径为r寸，

贝！I(r-1)寸，OA=r寸，

"：OA2=OD1+AD2,

：.r=(r-1)2+52,

解得：r=13,

二。。的半径为13寸，

故答案为：13.

E

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5.（2024•峰峰矿区校级模拟）如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径48是河底截线，

弦CD是水位线，CO〃AB,AB^20m,OE_LC£>于点E.

（1）当测得水面宽CD=10«It时，

①求此时水位的高度。£；

②求水面以上的桥洞部分（即而）的长；

（2）当水位的高度比（1）上升1机时，有一艘宽为10加，船舱顶部高出水面2加的货船要经过桥洞（船

舱截面为矩形MNPQ）,请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？

【答案】（1）①此时水位的高度OE为5加；②水面以上的桥洞部分的长为2"

3

（2）该货船能顺利通过桥洞，见解析

【解析】解：⑴®'：OELCD,

DE-|CD=5V3IT

又：0D=0B亭B=10nr

•1•此时水位的高度OE=A/OD2-DE2=V102-（5V3）2=5n;

②连接OC,

喘噜岑

.\ZDOE=60°,

/.ZCOD=2ZDOE=120°,

水面以上的桥洞部分的长为：12°兀-10=20兀

1803

（2）该货船能顺利通过桥洞；

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理由：由（1）中水位高度为5加可知此时OE=5+l=6〃z,

延长0E交M。于F,连接0M,则

;货船宽为10m,船舱顶部高出水面2m,

■-OF=6+2=8m,货船居中行驶时MF[X10=5nr

OM=VOF2+MF2=782+52=V89<10）

二该货船能顺利通过桥洞.

6.（2024•东莞市校级一模）HUAWEIMate6QPro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球

首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该

手机还支持A/隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等.该系列完成了核心技术领域从0至打的

跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”.手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不

息的力量.如图，圆弧对应的弦AB长80加如半径。CJ_AB,垂足为。，弓形高CD长14〃〃九

(1)求的长；

(2)求半径04的长.

【答案】(1)40mm；

⑵64rymn-

【解析［解：(1)VOC±AB,AB=S0mm,

・1

,,AD^-AB=40iran;

(2)VOC.LAB,

：.ZADO=90°,

第12页共80页

设半径OA=xmm,贝！JOC=OA=xmm,OD=OC-CD=（x-14）mm,

：.AD1+OD1=O^,

402+（x-14）2=/,

1600+x2-28x+196=x2,

28x=1796,

~1

x=64y,

...半径。4的长为6*1ral.

题型03与圆有关的弧长、扇形面积计算

1.（2024•常熟市模拟）如图，在。。中，点A、B、C在圆上，ZACB=45°,。。的半径的长为2,则劣

24

【答案】B

【解析】解：•••/ACB=45°,

/.ZAOB=2ZACB=90°,

：O。的半径是2,

劣弧AB的长是9°兀-2=11.

180

故选:B.

2.（2024•新市区一模）如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑

轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（）

第13页共80页

0

【答案】c

【解析】解：根据题意得：1=15°n（cm）,

1803

则重物上升了旦L。"，

3

故选：C.

3.（2024•西安一模）在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了

古今工艺美术之精华.将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹

条OA,OB的夹角120°,点。为众和而所在圆的圆心，点C、。分别在04、OB上，经测量，

OA=21cm,AC=lScm,则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（）

ra@图②

A.243TTC7"2B.2407icm2C.216ncm2D.lOSncm2

【答案】C

【解析】解：由题意可知：ZAOB^ZCOD^120°,

YOA=27cm,AC=18(cw),

：.OC=OA-AC=21-18=9(cm),

.,•阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积

二120兀X272120兀X92

360360

=243TC-271T

=216n(cm2),

第14页共80页

...贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为216cm2,

故选：C.

4.（2024•石家庄模拟）如图，AABC的三个顶点都在5X5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长

度）的格点上，将AABC绕点8顺时针旋转到BC的位置，且点A'、C仍落在格点上，则线

段扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留it）.

A'

13冗c13兀口一九

'4-2'6

【答案】B

【解析】解：在Rt^ABC中，由勾股定理，得48=丘。^=在"^=近§,

由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA',旋转角为90°,

线段AB扫过的图形面积=n兀X杷2=%兀义（后）2=13兀.

3603604

故选：B.

5.（2024•广东模拟）如图，四边形ABCD是正方形，曲线。431C1O1A282-一叫做“正方形的渐开线”，其

中的圆心为点A，半径为A。；京t的圆心为点8,半径为BA1；瓦"、的圆心为点C,半径为CB1；

亏E的圆心为点。，半径为京》;瓦可，下力;…的圆心依次按A,B，C,D

循环，当43=1时，则后氤嬴的长是4047TT.

【解析】解：由图可知，曲线£>48（014282--是由一段段90°的弧组成的,

第15页共80页

A£)=AAi=l,34=551=1+1=2,CCi=CB+BBi=1+2=3,DD\=DC+CCi=1+3=4,ADi=AD+DDi

=AA2=5,

以此类推，半径每次比前一段弧半径加1,

ADn-\=AAn=4(n-1)+1,BAn=4(H-1)+2,

・・・5A2024=4X（2024-1）+2=8094,

-------------------90

•，A2024B2024^L80-X8094^=404771.

故答案为：4047TT.

6.（2024•沛县校级模拟）如图，是。。的直径，点C在圆上.将近沿AC翻折与交于点D若04

=3cm,BC的度数为35°,则虹=—2^兀—cm（弧长）.

—6―

【解析】解：如图，作。关于AC的对称点E,连接AE,BE,OE,

则俞=0，

VBC的度数为35°,

.\ZCAB=17.5°,

.•.NEAB=2/C4B=35°,

:.NEOB=2NEAB=70°,

/.ZAOE=180°-70°=110°,

...标的长度为吐卓2宝=旦口"

3606

第16页共80页

•".AD的长度为红兀cir

6

故答案为：旦兀.

6

7.（2024•凉州区校级模拟）扇形的圆心角为80°,弧长为4爪?加，则此扇形的面积等于18ncR

【答案】见试题解答内容

【解析】解：设扇形的半径为广，

由题意：牝=80•兀工

180

解得r=9（cm）.

99

nn.（cm）

5=r=8QK>9-=18TT2

360360

故答案为18Tt.

8.（2024•官渡区校级模拟）如图所示，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕顶点8逆时针

旋转40。后得到△QBE,点C经过的路径为CE,则图中阴影部分的面积为生土.

~12~

【解析】解：：ACa+R42=25,CB?=25,

:.AC2+BA2=CB2,

AZC=90°,

由旋转的性质可知，△BED的面积=的面积，

图中阴影部分的面积=48中的面积+扇形BEC的面积-△ABC的面积，

=扇形EBC的面积

:30兀义52

-360~

=25兀

12

故答案为：至2L.

12

9.（2024•道里区校级一模）若扇形的圆心角为150°,半径为4,则该扇形的面积为空兀

一3

第17页共80页

【答案】史兀.

3

【解析】解：由题意得，〃=150°,厂=4,

o2

故可得扇形的面积sJ12I^i=150xnx4=20_.

3603603

故答案为：20K

3

题型04求弓形面积或不规则图形面积

1.（2024•重庆一模）如图，在扇形BCD中，ZBCD=150°,以点B为圆心，BC长为半径画弧交于弧

点A，得扇形1MC,若BC=4,则图中阴影部分的面积为」«土屋口.

【答案】4%+£.

3

【解析】解：连接AC,过A作AELBC于E,

'：AB=BC=AC=4f

：.ZvlBC是等边三角形，

AZACB=ZABC=60°,BE=CE=2,^=VAB2-BE2=V42-22=2^3,

VZBCZ）=150°,

AZACD=150°-60°=90°,

22_

阴影音B分的面积S=SA4BC+S扇形ACO-S扇形A3C=lx4X2«+9°.X4-60兀-¥=4a+&,

2*c3603603

故答案为：4V3+-TT.

3

2.（2024•德城区校级模拟）如图，在。。内有一个平行四边形OABC,点A,B,C在圆上，点N为边A8

上一动点（点N与点8不重合），OO的半径为1,则阴影部分面积为—工

第18页共80页

6

【解析】解：・・•四边形045。是平行四边形，OA=OC,

・•・四边形045。是菱形，

ZAOB=ZBOC,

0C//AB,

：.ZABO=ZBOC,

：.ZAB0=ZA0B,

：.AB=OA^OB,

：.ZAOB=60°,

\9AB//0C,

S/\ONC=S/\OBC9

•c_c60冗X12_n

3606

故答案为：2L.

6

3.（2024•安徽模拟）CD是以A8为直径的。。的一条弦，CDHHB,NCAO=45，若OO的半径为4cm,

【答案】47T.

【解析】解，如图所示，连接CO、DO,

VZCAD=45°,

：.ZCOD=90°,

^：CD//AB,

第19页共80页

••S/\ACD=S/^CODf

2

.•.阴影部分的面积=扇形COD的面积=9°兀X§6罐,

360

题型05正多边形与圆的相关计算

1.（2024•黔南州一模）如图，正六边形内接于。。，尸为右上的一点（点尸不与点A,B重合）,

【答案】C

【解析】解：如图，连接OE,OD,OC,

:正六边形ABCDEF内接于OO,

AZCOD=Zr)OE=36Q0=60°,

6

AZCOE=60°X2=120°,

AZCPE=AZCOE=60°,

2

2.（2024•东港区校级一模）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现

苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1）,组成了一个

第20页共80页

完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则N1的度数为（）

H\尸

图1图2

A.130°B.120°C.110°D.60°

【答案】B

【解析】解：如图2,：六边形是正六边形,

：.AB=AF=EF,（6-2）X180°,=120°,

6

ZABF=NAFB=侬。T20°=30°,

2

同理NEAF=30°,

.*.Zl=180°-30°-30°=120°,

故选：B.

3.（2024•仓山区校级模拟）如图，将。。的圆周12等分，圆内接矩形ABC。的面积为20,则圆内接正六

【答案】B

【解析】解：连接AC,BD交于O,

.四边形43CD是矩形，

：.ZDAB=ZABC=90°,

：.AC,是O。的直径，

.将OO的圆周12等分，

第21页共80页

AZAOB=2XJLX360°=60°,

/\AOB是等边三角形，

...边AB即为圆内接正六边形的边，

:圆内接矩形ABCD的面积为20,

/XAOB的面积=上X20=5,

4

...圆内接正六边形面积为6X5=30,

4.（2024•庐江县一模）如图，正五边形A8CDE内接于O。，点尸在弧AE上.若/即C-NPCZ）=40°,

则NEDC的大小为（）

【答案】C

【解析】解：如图，连接。C,OD,

五边形ABCDE是正五边形，

：.ZCOD=^—=72°,

5

AZCF£>=AzCOD=36°,

2

：.ZFDC+ZFCD^1440°,

ZFDC-/产8=40°,

ZFDC=92°.

第22页共80页

故选：c.

题型06与圆有关的位置关系

1.（2024•滨海新区模拟）。。的直径为10,直线/与。。相交，圆心。至心的距离为d,下列结论正确的

是（）

A.d>5B.d<5C.d=5D.d=10

【答案】B

【解析】解：:。。的直径为10

.••O。的半径为5,

•••直线/与。。相交，

圆心。到直线/的距离d的取值范围是0Wd<5,

故选：B.

2.（2024•广平县模拟）如图，已知空间站A与星球8距离为a,信号飞船C在星球8附近沿圆形轨道行驶，

B,C之间的距离为瓦数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）

【答案】C

【解析】解：空间站A与星球8、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+6.

故选：C.

3.（2024•武汉模拟）如果直径为13cH7的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足（）

A.d~~13CATIB.

C.0cm^d<.6.5cmD.d>6.5cm

【答案】C

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【解析】解：直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交，

设O。的半径为r,圆心0到直线L距离为d,

直线乙和O。相交，则d<r；

直线工和O。相切，则1=厂；

直线L和。。相离，则”>八

,圆的直径为13cm,

圆的半径为6.5cm,

•..直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，

：.d的取值范围是QcmWd〈65cm.

故选：C.

4.（2023•南潺区二模）已知平面内有。。与直线A8,。。的半径为3cm,点。到直线的距离为3cm,

则直线AB与。。的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.不能判断

【答案】A

【解析】解：；点。到直线AB的距离为3cm,且O。的半径为3cm,

：.3cm=3cm,即直线48与。。的位置关系是相切，

故选：A.

5.（2024•关岭县一模）如图,直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当OA与直线/：v上x

y12"

只有一个公共点时，点A的坐标为（±13,0）.

【解析】如下图所示，连接AB,过8点作8C〃OA,

此时2点坐标可表示为（x,—,）>

<12Xx1

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••|xI'BC=x.

在RtZk02C中,OB=VBC2OC2=yjx2+(~^-X)2=居

又的半径为5,

.".AB—5.

'：BC//OA,

:.△AOBsAOBC,贝0如望

BOOCBC

.OA=5

Hl|=_L|

12Ix|I?।xI

；Q=13.

•••左右两侧都有相切的可能,

点的坐标为(±13,0).

题型07切线的判定

1.(2024•徐州模拟)如图，A8是O。直径，。为O。上一点，AT平分NBA。交。。于点T,过T作

的垂线交AD的延长线于点C.求证：CT为。。的切线.

【答案】见试题解答内容

【解析】证明：连接OT,

平分/BAO,

：.ZCAT=ZBAT,

'：OT=OA,

：.ZOTA=ZBAT,

：.ZCAT^ZO7A,

：.OT//AC,又TC_LAC,

第25页共80页

：.OT.LTC,

...CT为O。的切线.

2.（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的。。交BC于点。，过点。作所，

AC于点E,交48的延长线于点尸.

（1）求证：斯是O。的切线；

（2）当A2=5,BC=6时，求。E的长.

【答案】见试题解答内容

【解析】（1）证明：连接。。，

'：AB=AC,

:./C=NOBD,

"：OD=OB,

：.Z1=ZOBD,

：.Z1=ZC,

：.OD//AC,

'：EF±AC,

：.EF±OD,且OD为圆O的半径,

.••EP是。。的切线；

（2）连接A£）,

第26页共80页

「AB为。。的直径,

/.ZADB=90°,

又：AB=AC,且BC=6,

:.CD=BD=LBC=3,

2

在RtZ^ACD中，AC=AB=5,CD=3,

根据勾股定理得：ADWAC2-CD2=4,

又SMCD^1AC-ED^1AD-CD,

22

即JLX5XEZ)=工X4X3,

题型08三角形内切圆、外接圆的相关计算

1.（2024•砚山县一模）如图，在6X6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点A、B、C、。均在格

点上，若。。是aABC的外接圆，则cos/BAC的值是（)

D.2

【答案】B

【解析】解：如图：作直径8。，连接CO,

第27页共80页

由勾股定理得，BD=V2^+4^=2\/5,

在Rt/XBOC中，cosZBDC-=

c°s乙皿UBD於5

•••同弧所对的圆周角相等得，

：.ZBAC=ZBDC,

.9\/s

,•cosz^BAC=cosZ：BDC=—-；

□

故选：B.

2.(2024•特克斯县一模)如图，△ABC内接于。0,CD是。0的直径，ZB=50°,则NACD=()

【答案】D

【解析】解：・・・c。是。。的直径，

AZDAC=90°,

AZD+ZACD=90°,

•・・/B=ND=50°,

/.ZAC£)=90°-50°=40°,

故选：D.

3.(2024•邯郸模拟)如图，点/和0分别是△ABC的内心和外心，若NA==125°,则NA05的度数为

()

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A.120°B.125°C.135°D.140°

【答案】D

【解析】解：：点。是AABC的外心，

NAOB=2NC,

：.ZC=^-ZAOB,

2

•.•点/是△ABC的内心，

：.ZIAB=^ZCAB,ZIBA=^-ZCBA,

22

：.ZAZB=180°-(ZMB+ZZBA)

=180°-A(ZCAB+ZCBA),

2

=180°-A(180°-ZC)

2

=90°+1ZC,

2

...2/48=180°+ZC,

'：NAOB=2/C,

/.ZAIB=9Q°+AZAOB,

.".4ZAZB-ZAOB=360".

VZAIB=125°,

：.ZA<9B=140°.

故选：D.

4.（2024•中山市校级一模）如图，△ABC的内切圆与4B,BC,AC分别相切于点E,F,连接。£,

OF,若NC=90°,AC=3,BC=4,则阴影部分的面积为（）

A.2-AitB.4-AitC.4-TTD.1-An

224

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【答案】D

【解析】解：连结AO、BO、DO,CO,设OO半径为r,

-ZC=90°,AC=3,BC=4,

'-AB=个§2+42=5,

「△ABC的内切圆O。与AB,BC,AC分别相切于点£>,E,F,

：.AC±OF,AB±OD,BC-LOE,MOF=OD=OE=r,

•*.SMBC=SMBO+S^ACO+S^BCO

AXACT+AABT+ABCT=-1X3X4,

2222

•r=3X4=1

3+4+5

VZACB=90°,ZOFC=ZOEC=9Q°,OF=OE,

四边形OFCE是正方形，

；.NFOE=90°,

•*"s阴影=S正方形OFCE-S扇形OFE=1-WJ"'T=1--—)

3604

故选：D.

5.（2023•顺平县模拟）如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,/为△ABC的内心，延长C/交于点D,

连接A/,BI.若B/=4,BD=JI5，则AB的长为（

C.8D.6

【答案】A

【解析】解：：/为△ABC的内心,

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，C/平分/ACB,8/平分/ABC,

•*-ZICB+ZIBC蒋(ZACB+ZABC)=90°-yZA-

•■•ZBIC=180°-(90°-yZA)=90°+yZA=90°+45°=135°'

；.NB/D=45°,

平分NCAB,

：.ZIAB=45°,

又,：NIBD=NABI,

:ABIDsWAI,

•••B--I~BDJ

BABI

即且且，

BA4_

解得：皿里瓦.

5

故选：A.

6.（2023•江汉区模拟）如图，A8为。。直径，点。在圆上，/为△A3C内心，A/交。。于点O,OILAD,

则sinNCA。的值是（)

A-2B.c*

5

【答案】B

【解析】解：连接以，BD,

,；/为△ABC的内心,

ZABI=ZCBI9ZCAD=ZBAD,

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又•：/CBD=NCAD,

・•・/BAD=NCBD,

ZBID=ZABI+ZBAD=ZCBHZCBD=/DBL

:,BD=ID,

TAB为OO直径，

：.ZD=90°，点。为AB的中点,

又・・・O/J_A。，

：.OI//BD,

・・・。/为△ABD的中位线，

:・BD=2OI,AI=ID,

：.AI=ID=BD=2OI

在Rtzvia中，由勾股定理得：AOHOF+AI2=V^OI'

•・/RAn01——01V5

-smZBAD-=^―

,,sin/CAD=sinNBAD=^-

b

故选：B.

7.（2024•庐阳区校级一模）如图，△ABC内接于。。ZA=45°,CO_L48于点。，若AB=8,CD=6,

则O。的半径为—炬

【答案】275.

【解析】解：如图，连接C。和2。,

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VZA=45°,CZ）_LAB于点£>,AB=8,CD=6,

：.ZACD=ZA=45°,

AD=CD=6,

BD=AB-AD=S-6=2,

•*-BC=VCD2+BD2=VS2+22=2^10，

VZA=45°,

：.ZCOB=90°,（同弧所对圆周角是圆心角的一半）

又,：CO=BO,

:ZCO是等腰直角三角形，

.••CO=BO=7=-=275，

V2V2

故答案为：2^5

题型09圆与相似综合

1.（2024•肇东市模拟）如图，在RtZsABC中，ZC=90°,AC=9,8C=4,以点C为圆心，3为半径做

QC,分别交AC,BC于D,£两点，点P是。C上一个动点，则2B4+PB的最小值为

3