全国新高考1卷地区高三数学数列解答题分类完整版编完整版析

2024届高三数学数列解答题分类精编精析【题型目录】题型一：等差等比数列的基本运算题型二：数列中的存在性问题题型三：数列通项分析构造新数列题型四：数列中的裂项相消求和问题题型五：数列中的错位相减求和问题题型六：数列中的分段数列求和问题题型七：数列与不等关系、函数等的综合问题题型八：新定义背景下的数列问题【题型分类精编精析】：题型一：等差等比数列的基本运算1.已知数列满足为常数，若为等差数列，且．（1）求的值及的通项公式；（2）求的前项和．【解析】：（1）由题意知，因为，所以,设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以值为的通项公式为；（2）由（1）知，，所以．所以的前项和．2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）在数列中，，都有成立.（1）证明：数列是等差数列；（2）若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.【解析】：（1）依题意，，则，两式作差得，所以数列是以为首项，公差为3的等差数列.（2）由题意知，则，若为等差数列，则，所以，解得，此时，，即，故为等差数列，所以.[命题意图]本题考查数列的递推公式；考查逻辑思维能力､运算求解能力；考查逻辑推理､数学运算的核心素养.题型二：数列中的存在性问题1.（湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.（1）求数列的通项公式；（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）由①，当时，②，得，当时，，是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上可得；（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，设公差为，则，则.⑤则⑥⑤⑥得：，所以可得（ii）由（1），又，由已知，假设是数列或中的一项，不妨设，因为，所以，而，所以不可能是数列中的项.假设是中的项，则.当时，有，即，令，当时，；当时，，由知无解.当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项；又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项时，关键是限定出，再对数列的取值范围进行限定可得不是数列中的项，再由只能取得正整数可知只需讨论或有无解即可求得结论.题型三：数列通项分析构造新数列1．（广东省新南方联盟2024届高三4月联考）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【解析】：（1），因此是以为首项，为公差的等差数列设的前n项和为，则又由，得当时，经检验也满足，.（2）：因此.2.(2024年江西省南昌市高考数学二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1(1)当k=2时，求S10(2)若k=52，设bn=【解析】：(1)当k=2时，an所以{a因为a1=1a所以S10(2)由k=52可得，所以an+2−2a且b1=a2−2a1所以bn【解析】(1)由题意得，an+a(2)由已知递推关系可得，an+2−2a题型四：数列中的裂项相消求和问题1.(湘豫名校联考2024年下学期高三第一次模拟考试)已知数列,若.(1)求证:数列是等比数列;(2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.【解析】：(1)因为,所以又因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列（2）由（1）易知所以所以欲使不等式对任意正整数恒成立,只要由题意可得且,解得.只需,解得.综上所述,实数的取值范围是2．（2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测）已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．【解析】：（1）设等差数列的首项为，公差为．由，得解得．所以．（2）由（1）知，，即，利用累乘法：所以．所以．题型五：数列中的错位相减求和问题1.（山东省“齐鲁名校联盟”2023—2024学年高三年级第七次联考）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．（1）求的通项公式，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【解析】：（1）设等差数列的公差为，因为，可得，即，解得，又因为，可得，所以，由数列满足，可得，所以，因为，所以.（2）解：由（1）可知，因为，所以数列是以2为首项，2为公比等比数列，所以，所以，所以，则，两式相减，可得，所以.题型六：数列中的分段数列求和问题1.（2024届湖北省高中毕业生四月模拟考试）数列中，，，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，且满足，，求.【解析】：（1）因为，所以，所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，则，则（2）由（1）问知，，则，又，则，两式相乘得，即，因此与同号，因为，所以当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，：当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，；综上，在时，；时，.2.（华娇教育2024年广东省普通高中毕业班综合能力检测）已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．【解析】：由数列的前n项和，根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，即，解得，所以，

当时，，当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，且当且时，可得；当且时，可得，所以数列的前15项和：．题型七：数列与不等关系、函数等的综合问题1.（湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的都有，求实数的取值范围.【解析】：（1）因为，，，所以，则，，则，因为是各项都为正数的等比数列，所以，即，所以，则.（2）因为恒成立，所以恒成立，设，则，当时，，则；当时，，则；所以，则.2.（湖北省十一校20232024学年高三下学期第二次联考）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．（1）如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；（2）在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；（3）正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．【解析】：（1）由题意可知，，.（20设切点为，，切线的斜率为，则切线方程为，所以切线与轴的交点为，所以由题意可知围成的面积：,所以切点坐标为，切线方程为.（3）联立，由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为,令，（C为常数）,，，，则.3.（辽宁省鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）设数列的前项和为，已知，且．（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．【解析】：（1）当时，，又，所以，当时，①，故②，式子①②得，，即，又，故当时，，故，即，因为为首项为，公比为的等比数列，故，故，（2）由（1）知，，故，对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，设，于是，当时，，即，当时，，即，故，所以，综上，的取值范围是；（3）由（1）知，，因为，当为奇数时，，故，当为偶数时，，故，所以，，考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除，故除以16的余数为除以16的余数，，故除以16的余数为8.【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.题型八：新定义背景下的数列问题1.（湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．（1）若空间向量，求及；（2）对于空间向量．若，求证：，若，则；（3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：．【解析】：（1）由，知，所以，；【小问2详解】依题意，，，则有，所以，当且仅当时取等号，又因为，所以，，互不相同，故，若，则；（2）由，得，则有①，由及①，可得，，，以上各式相加，得.由及①，当时，，所以，即.【点睛】方法点睛：解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!2.（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）（2）任取一个5元理想数集，求证：；（3）当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.【解析】：（1）设的随影数集分别为，则，所以集合是理想数集，集合不是理想数集.（2）不妨设集合且，即.为理想数集，，则，且，使得.当时，.当且仅当且时，等号成立；当时，.当且仅当且时，等号成立；当时，.当且仅当时，等号成立.综上所述：.（3）设.理想数集.，且，使得对于，同样有.下先证对元理想数集，有.不妨设集合中的元素满足.即.为理想数集，，且，使得.当时，，当且仅当且时，等号成立；当时，，当且仅当且时，等号成立；当时，.当且仅当时，等号成立...当且仅当时，等号成立..理数.当且仅当或时，等号成立.理数的最小值为.【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解.3.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.（1）求，的值；（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.【解析】：（1）在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以.在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以.（2）因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，所以.若，则，即，因为，所以，易知是奇数，是偶数，故不存在m，n，p，使得.（3）由（2）知，当时，，所以，当时，，所以当时，，所以当时，，，所以.4.（2024年大连市高三第一次模拟考试）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到数列：（2）若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．【解析】：（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列经过不断的“变换”不会结束，设数列，且，由题可知：，，即非零常数列才能经过“变换”结束；设（为非零常数列），则为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能：，而以上四种情况，数列的第三项只能是0或，即不存在数列，使得其经过“变换”变成非零常数列，故数列经过不断的“变换”不会结束；（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为（远大于4）数列经过6次“变换”后得到的数列依次为：；所以，经过6次“变换”后得到数列也是形如“”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，则数列经过次“变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过次“变换”得到的数列各项之和最小，即最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：根据定义写出几项；找出规律；写成通项；证明结论.10.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写