专题1-3 一网打尽13类向量压轴小题共108题（解析版）

专题1-3一网打尽13类向量压轴小题共108题TOC\o"1-4"\n\h\z\u知识点梳理题型一基底的拆分与数量积题型二极化恒等式求向量的数量积及最值题型三投影法求向量的数量积及其最值题型四利用函数求向量中的最值题型五建系法求向量的数量积及其最值题型六向量共线定理：构造方程组求系数题型七向量共线定理：结合不等式求最值题型八等和线问题题型九三角形四心向量性质的识别题型十三角形四心与数量积计算题型十一奔驰定理解面积比题型十二奔驰定理与四心的综合题型十三向量中的隐圆问题知识点梳理ABCMABCM在三角形ABC中（M为BC的中点），证明：证明（基底法）：因为，所以二、投影法求数量积如图，对于，其中是在上的投影，在Rt△PBH中，故，考虑到可能为钝角，故写成.三、常见建立坐标系方法边长为的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆四、平面向量共线定理的推论已知，则是三点共线的充要条件证明①：若则.即，共线，故A，B，C三点共线，充分性满足.证明②：若A，B，C三点共线.由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.故.令，则有，必要性成立.五、等和线相关性质平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。1．当等和线恰为直线AB时，k等于1．2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。1．当等和线恰为直线AB时，k等于1．2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．四、四心的向量性质【重心】：若O为△ABC重心（1）；（2）；（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心（4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心（5）重心坐标为：.【垂心】：若O为△ABC垂心（1）（2）（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心（4）（5）.【内心】：若O为△ABC内心（1）（2）（3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心（4）【外心】：若O为△ABC外心（1）；（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；（3）若，则是的外心；（4）；（5）.五、奔驰定理奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于考点六：三角形四心与奔驰定理的关系及证明①是的重心：．证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得②是的内心：证明：，，（为内切圆的半径），所以，再由奔驰定理可得③是的外心：．证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得④是的垂心：证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得六、向量中的隐圆问题角度一、定值圆（由模长是构造圆）记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式角度二、直径圆圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等．角度三、外接圆（定边定角）均为定值时，可以构造圆在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题．角度四、四点共圆（对角互补）圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸．题型一基底的拆分与数量积【例题讲解】已知边长为1的等边△ABC，，则（）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】.故选：A在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝_______．【答案】D【解析】法一：利用投影解决向量积法二：极化恒等式法三：基底+分点定比恒等式易知E是BO上的5等分点，法四：建系（简证）如图，以B为原点，构造直角坐标系，求出E点坐标，从而得到与的坐标，计算得出向量的数量积即可.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为.【答案】【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值.【详解】，则当与同向，即时，取得最大值为在平面四边形中，，，，，.若，则（）A.2 B. C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】对，分别两边同乘以和，得到关于方程组，解出，就可以求出.【详解】因为，③③式同乘以，得：，即，即①.③式同乘以，得：，即，即②.①②联立解得：，所以.【巩固训练】如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】在边长为2的等边中,BD为中线，则故选：A如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，所以,,所以因为是边长为4的等边三角形，为中线，所以，，所以，所以.故选：A.边长为2的正方形，E为的中点，则的值为___________．【答案】2【分析】以为基底，分别表示，再利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】，故答案为：2在平行四边形中，，，若，则______.【答案】【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题.【详解】因，则又注意到，.则=.故答案为:在中，是边上的中点，且，，，，则__________．【答案】1【分析】利用转化法得到，，再根据，，得到，联立得到，，然后求即可.【详解】，同理可得，又，，所以，所以，，.在中，，，，则边上中线的长为_____.【答案】【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】因为，所以所以，所以，故答案为：在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】，，则==，解得．已知在中，为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将转化为的线性运算，再由数量积的运算律求解【详解】由题意得，，则已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________．【答案】【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，，由，所以，解得．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.【详解】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可【详解】由题可知，故，从而易知．，．故八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数据即可.【详解】如图所示：连接，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，，则，.题型二极化恒等式求向量的数量积及最值【例题讲解】如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（

）A．13 B．7 C．5 D．3【答案】C【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果．【详解】连结，则，，，所以.如图，已知等边△ABC内接于半径为2的⊙O,点P是⊙O上的一个动点,则取值范围______________.【答案】【解析】,∵∴2017年全国2卷（理）T12已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【详解】法一：极化恒等式取BC中点D，则则再去AO中点M，当时取到最小值，故法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．【巩固练习】如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝________.【答案】【解析】由题意知，，且.又由知，，所以如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________．【答案】【解析】极化恒等式，解得，故.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝，M点是线段AC一动点，若以M为圆心半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则的最小值为（）【答案】B【解析】平行四边形ABCD中，，点P满足，则________．【答案】3．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴EQ\o\ac(\S\UP7(→),PA)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)＋\o\ac(\S\UP7(→),BA)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB),EQ\o\ac(\S\UP7(→),PC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),DC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),AB),∵EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),AD)＝EQ5,\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)＝8，∴EQ\o\ac(\S\UP7(→),PA)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PC)＝EQ\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)))\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),AB)))＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),AB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)2

=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PB)-\o\ac(\S\UP7(→),PD)))-\o\ac(\S\UP7(→),AB)2=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),DB)-\o\ac(\S\UP7(→),AB)2=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),DB)-\o\ac(\S\UP7(→),AB)))

=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),DA)=8-5=3．故答案为：3．已知菱形ABCD的边长为2，，点P满足，则_______.【答案】3【解析】显然P为BC中点，取AD中点M，.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B如图，取AB中点M，,因为，所以.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】极化恒等式取AB中点M，，，，则窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的加法法则及相反向量的定义，结合向量的数量积的运算律及勾股定理即可求解.【详解】由题意可知，取的中点，如图所示所以．，当点与点或点重合时，取的最大值，取得最大值，且最大值为，故的最大值为.四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.【答案】【详解】法一：极化恒等式法二：因为，，又点分别是的中点，所以，所以，，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为．【答案】【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，则，在正三角形中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：题型三投影法求向量的数量积及其最值【例题讲解】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是6投影法设C在AB上的投影为G，则，过点O作AB平行线交圆于H，当C点在H时，有最大值，. 【巩固训练】平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（

）A．13 B．7 C．14 D．【答案】C【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案.【详解】如图，由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，因为，又，所以，所以的最大值为.故选：C.在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.【详解】延长交于点，过过交于，过过交于，过过交于，在中，，在中，，易得所以是等边三角形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，其中，所以，因为，所以，所以，当点与点重合时，此时,取得最大值为；当点与点重合时，此时，取得最小值为，的取值范围是．故选：B2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】投影法取PO中点E，，将P，A，O看成定点，则D为圆E上的定点作DH⊥PA，则，当DH∥AO时取到最值 取PA中点G最小值计算：此时，故最大值计算：此时， 题型四利用函数求向量中的最值【例题讲解】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（）A．B．C．3D．－3【答案】D【解析】延长交于，因为，，∴，为等边三角形，设，则，∴，所以当时，的最小值为.故选：D.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是单位向量，且的夹角为，所以，又，所以，又，所以，所以.故选：C.【巩固训练】如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.如图，在菱形ABCD中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为__________．【答案】【解析】依题意，因为在菱形ABCD中，，，所以，所以，因为，所以.题型五建系法求向量的数量积及其最值【例题讲解】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______【答案】49【解析】如图所示建立直角坐标系，设，，，则；【巩固训练】已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，，．则______．【答案】0【详解】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则，设点的坐标为，则，因为，，故可得，上述两式相减可得：；则.已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】5【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.【详解】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________.【答案】3【解析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点.设，则，，.∵在直线上，∴，∴，∵，∴当时，的最大值为3.在菱形中，，，为菱形所在平面内的一点，则的最小值为______．【答案】【解析】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，设，则，，，，，，；，，，的最小值为.如图，在四边形中，，且.（1）求实数的值；（2）若是线段上的动点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于，所以，所以，，所以，所以.（2）以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，设，，，由于，所以的取值范围是.题型六向量共线定理：构造方程组求系数【例题讲解】已知中，，，与相交于点，，则有序数对（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.【详解】依题意、、三点共线，故，所以，又、、三点共线，故，则，所以，解得，所以，又，所以，所以有序数对.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，求m＋n的值【答案】2【解析】，，则有【巩固训练】在中，已知，，与交于点O.若，则.【答案】【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得.【详解】因为，，所以，，又，所以，，又与交于点O，所以，所以，即在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.【详解】因为，所以，则.因为A，P，D三点共线，所以.因为，所以.因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线，所以，则，解得，从而，，故.已知△ABC中，，，直线PC与QB交于点O，若，则______．【答案】【解析】写2次EQ\o\ac(\S\UP7(→),AO)故已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足，，，则（）A． B．1 C． D．－【答案】B【解析】故题型七向量共线定理：结合不等式求最值【例题讲解】中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为1C．的最小值为4 D．的最大值为16【答案】C【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D.【详解】为正实数，，，而共线，

，当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误；，当且仅当，即，即时取等号，即的最小值为4，C正确；又，由于为正实数，，则，则，时取最大值，当趋近于0时，可无限趋近于0，故，故无最大值，D错误【巩固练习】在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A．3B．C．1D．【答案】A【解析】由题设，如下图示：，又，，∴，由三点共线，有，∴，当且仅当时等号成立.故选：A在△ABC中，D为边AC上的一点，且，P为边BD上的一点，且满足（、），则下列结论正确的（）A．m＋n＝1B．mn的最大值为C．上的最小值为7D．的最小值为【答案】D【解析】因为P为边BD上的一点，所以，因为，所以，因为，所以，得，所以A错误，对于B，因为、，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，所以B错误，对于C，因为,,，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，所以C错误，对于D，，所以，所以当时，的最小值为，所以D正确，故选：D在中，的交点为，过作动直线分别交线段于两点，若，则的最小值为_____.【答案】【解析】如图：由三点共线，可得存在实数，使得，由三点共线，可得存在实数，使得，所以，解得，所以，因为三点共线，所以存在实数，使得，所以，所以，所以，当且仅当，时，取等号.（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（）A.B.C.的最大值为1D.【答案】ABD【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式）对于B选项：,（分点恒等式）（三点共线定理），故B正确补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项.对于C选项：，故C错误；对于D选项：，故D正确如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是.【答案】【分析】平面向量基本定理，借助三点共线，找出的关系式，的最值利用消元法求解范围即可.【详解】平面向量基本定理，借助三点共线可知：，得解得，所以题型八等和线问题【例题讲解】如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________．【答案】【解析】令,易证，，∴给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.【答案】2，【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证，当时，取最大值，；（2）取OA中点E，则OC交BE于F，设,，易证，当时，取最大值，.【巩固练习】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴，∴正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（）

A．0 B． C． D．【答案】D【解析】设,可知Q在直线BC上，P为线段中点，过P作BC平行线，显然P点在直线上，.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为________【答案】，解析：由等和线性质知：连接，当点在点时，；作的平行线，当与相切时，当点在切点时，如图，在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图：由等和线性质知：，所以当在如图所示位置时，取得最大值，如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为()A．－1B．1C．2D．3【答案】1【解析】取AD中点F，则直线FP交AE于G，设∵FPG三点共线∴当P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时，G与E重合，此时t取到最小值，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．2【答案】A【解析】设,，则,设，则，即而∵PE过点C时取最大值，则，故，则（多选）直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BC【解析】如图如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，∴的取值范围为.在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则3x＋y的最小值是()．A．B．C．1D．【答案】D【解析】若A为原点，则P（1，2），M在以P为圆心，半径为2的圆上取D（1，0），则有，AM交CD于N，记，则有；题型九三角形四心向量性质的识别【例题讲解】点为所在的平面内，给出下列关系式：①；②且；③.则点依次为的（

）A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心【答案】C【解析】逐条判断。第一条是关于重心的性质；第二条取单位长度的向量和，从而得出点在的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出和垂直，从而和三角形的外心相关。【详解】①由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心；②向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心；③是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心.【巩固练习】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【简析】找出菱形，进而得出角平分线已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的()．A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】D【解析】原式为等式两边同时乘，得，∴已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心【解析】解：因为且，所以0到顶点，，的距离相等，所以为的外心．由得，即，所以．同理可证，所以为的垂心．若，则，取的中点，则，所以，所以是的重心．故选：．是所在平面上一点，若，则是的()A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】，其它同理.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的().A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心【解析】，h为BC边上的高∴.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的()。A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】取BC中点M,则，,移项后同乘，即是所在平面上一点，若，则是的()．A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】记AB中点为D，，其它同理题型十三角形四心与数量积计算【例题讲解】（1）已知△ABC的外心为O,且AB=5，，则______.（2）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，则______.（3）已知△ABC的重心为O,且AB=5，，，D为BC中点，则____.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）（3）（多选）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个选项中正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】在中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得为的三等分点，且，又为的中点，所以，所以，故选项B正确；对于A与C选项，因为O为的外心，为的中点，所以，所以，∴，∴，∴，，故选项A，C正确；对于D，过点G作，垂足为E，∴，则，∴的面积为；同理，，选项D正确.故选：ABCD【巩固练习】已知为的外心，，，则___________．【答案】【解析】如图：分别为的中点，则故答案为：.已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】甲：P为△ABC的重心；乙：，即△ABC为Rt△；丙：P为△ABC的外心；丁：P为△ABC的垂心（投影转换）则△ABC为等边三角形时，三心重合，故选B.在中，为重心，，，则=________.【答案】【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得.【详解】设中点为，为的重心且，，，因为，，所以.故答案为：.中，，，为的重心，为的外心，则．【答案】【解析】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.【答案】【分析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案.【详解】分别取的中点，连接，因为为的外心，，，，，，，，故答案为：设H为的垂心，且，则_______.【答案】【解析】∵H为的垂心∴则有，同理可得已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.【答案】/【解析】因为，所以，同理，由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即，同理有，即，可知，即，所以，，又，所以．设H是的垂心，且，则_____．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.题型十一奔驰定理解面积比【例题讲解】已知点是所在平面内一点，满足，，则_______【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以（法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以【巩固练习】已知所在平面内的一点满足，则（

）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2【答案】B【解析】延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.故选：B已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得（法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在的中位线上，所以设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．【答案】14【解析】法一：共线系数和＋分点恒等式+等积变形，设H为线段AC上一点，且，则，∵PD∥AB，∴法二：奔驰定理推论：是平面内的一点，且，则①；②∵，∴已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，∴．比值为．故选：C．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接，因为，所以，所以为的重心，所以设，则，,所以,所以，故选：D题型十二奔驰定理与四心的综合【例题讲解】已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：①；②；③；④；则点分别为的（

）A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角，可令，，，可得，，，设，①，即为，即有，，解得，即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1，则为的内心；③，即为，可得，，解得，，由，故为的外心；④，可得，即为，，解得，，由的中点为，，，即分中线比为，故为的重心；考虑等腰，底角为，设，，，，②，即为，可得，，解得，，即，由，，即有，故为的垂心．【巩固练习】（多选题）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为则S，“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的一个内角，且点O满足则，则（）A．O为△ABC的垂心 B．C． D．【答案】ABDC选项：同理，，∴D选项：如图，，同理可得则有“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（

）

A．若，则O为△ABC的重心B．若，则C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则【答案】D【解析】对于A：如下图所示，

假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，则有可知，若，可得，即B正确；对于C：由四边形内角和可知，，则，同理，，因为O为的垂心，则，所以，同理得，，则，令，由，则，同理：，，综上，，根据奔驰定理得，即C