2023-2024学年福建省泉州市高二年级下册4月期中考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年福建省泉州市高二下学期4月期中考试数学

模拟试题

一、单选题：

1.若函数了=/（"）的导函数7="（x）=r（x）图象如图所示，则（）

人.夕'a）＜°的解集为（-8,-3）B.函数y=/0）有两个极值点

C.函数，=/（"）的单调递减区间为（一2」）D.-3是函数J'=/（x）的极小值点

2.为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）

与复工时间x（无的取值为5,10,15,20,25,30天）的回归关系：模型（1）俨）=°+&，

模型（2）V2）=e°+",设两模型的决定系数依次为年和后.若两模型的残差图分别如下，则

（）

模型⑴的残差图模型⑵的残差图

62

建残

残31

差0差o

%%

-3-1

-62

51015202530~51015202530

A.%〈用B.尺；=&

c.母＞跖D.火；、母关系不能确定

3.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y=2X+1,则

p（y>5）=

X0123

]_j_

Pa5a

36

2_A22

A.12B.12C.6D.4

4.掷一枚骰子，记事件/表示事件“出现奇数点”，事件3表示事件“出现4点或5点”，事件

C表示事件“点数不超过3”，事件。表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件/与

8是独立事件；②事件5与C是互斥事件；③事件C与。是对立事件；④O=淇中

正确的结论是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

5.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”一科学点燃青春：未来科

学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现

有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两

名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.90种C.150种D.180种

6.己知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正

品数为X,则下列结论正确的是（）

4O（X）=g

E（2XT）=§

A.B.

£»（2X-1）=|

（）

C.EX=1D.

已知（l+x）9=%+ai（2x+l）+&（2x+iy+…+%（2x+l）［随机变量自〜B（32,p）,其中

7.

p=%,则£《）=（）

9999

A.16B.32C.512D.256

8.设集合/=八{（占，龙2户3户4户5）|”"=1,2,3,4,5},那么集合B中满足

1引西|+同+,3|+周+同43的元素的个数为（）

A.60B.100C.120D.130

二、多选题:

9.某种产品的价格X（单位：元/kg）与需求量了（单位：kg）之间的对应数据如下表所示:

X1015202530

y1110865

数据表中的数据可得回归直线方程为/=%+144,则以下结论正确的是（）

A.变量了与x呈负相关

B.回归直线经过点（2°，8）

C.3=-0.32

D.该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为34kg

10.下列对各事件发生的概率判断正确的是（）

A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇

j__4_

到红灯的概率都是］,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为三

1!!

B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为5'37,假设他们破译密码是

3

彼此独立的，则此密码被破译的概率为与

-,A

C.设两个独立事件A和B都不发生的概率为9发生3不发生的概率与3发生A不发生的

2

概率相同，则事件A发生的概率是§

£

D.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是§

11.对于函数X,下列说法正确的是（）

£

A./（“）在矛=€处取得极大值1B./（X）有两个不同的零点

C.〃4）＜/（"）＜〃3）D.平〈兀&

三、填空题：

3

X〜尸（80«XV100）=—

12.某市2022年高二数学联考学生成绩人且5.现从参考的

学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.

13.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御’

“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不

排在第五周，则所有可能的排法种数为

14.己知直线＞=^+6与曲线＞=lnx-x相切，则a+6的最小值是.

四、解答题：

15.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖

面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技

能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视

频的APP,得到如下数据：

青年人中年人老年人

对短视频剪接成长视频的APP有需求2a+4b200a

对短视频剪接成长视频的APP无需求a+b1504b

其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.

⑴求的值;

(2)根据小概率值a=0-001的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年

人与中老年人是否有差异？

2

2n(ad-be)

力=-----------------------

参考公式：g+b)(c+d)S+c)0+1),其中"=a+b+c+d.

临界值表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.如图，在四棱锥尸中，底面/BCD是平行四边形，尸。，平面/88/是棱

尸C的中点.

(1)证明：尸/〃平面

(2)若PD=AD=BD=l,AB=4i,且尸为棱尸8上一点，D斤与平面瓦法所成角的大小为30。,

求尸尸:咫的值.

17.据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入

59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客

做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世

界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既

游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界

景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.

(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分

布列及数学期望；

(2)记〃个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为4,求｛%｝的前〃项和；

(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为"个的概率为

",当2取最大值时，求〃的值.

22

二口C:二+仁=1(°>6>0)

18.设小心分别为椭圆。b2的左、右焦点，P是椭圆0短轴的一个顶点,

已知△咫鸟的面积为亚.如图，M，N,G是椭圆上不重合的三个点，原点

。是AAWG的重心.

(1)求椭圆。的方程;

⑵求点M到直线NG的距离的最大值;

(3)判断AMVG的面积是否为定值，并说明理由.

19.已知函数/(x)=(x_a>e'.

⑴讨论/(X)的单调性；

⑵设占，X2分别为了(X)的极大值点和极小值点，记/(占,/@)),B(x2,f(x2)\

(i)证明：直线N8与曲线了=/(》)交于另一点C；

(ii)在⑴的条件下，判断是否存在常数'CW'"*%*'),使得"1=RBCI,若存在,

求"；若不存在，说明理由.

附：In2=0.693…，In5=1.609….

1.D

【分析】根据导数与函数单调性和极值点的关系，即可判断选项.

【详解】A.0'（x）<°的解集为函数>=/"）的单调递减区间，为（一2，T）,故A错误；

B.函数V=/'（x）只有1个变号零点-3,所以函数》=/（x）有1个极值点，故B错误；

C.当xe（-co,-3）时，/'（x）<0,所以函数，=/G）的单调递减区间为（一*与），故c错误；

D.当xe（-oo,-3）时，/'（x）<0,/（x）单调递减，当xe（-3,+co）时，/（x）20,/（x）单调递

增,所以-3是函数'=/（、）的极小值点，故D正确.

故选：D

2.A

【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案.

【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽

D2«2

度窄，拟合精度较高，所以

故选：A.

3.A

【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数。，进一步将所求变形为

尸（注5）=尸（X=2）+尸（X=3）即可求解

「I11

aHFJCLH—=1a=—

【详解】由题意36,解得12,

517

P（Y>5）=P（2X+l>5）=P（X>2）=P（X=2）+P（X=3）=—+-=-

而12612.

故选：A.

4.A

【分析】利用独立事件、互斥事件、对立事件的定义直接求解.

【详解】掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”,

事件C表示事件“点数不超过3”，事件。表示事件“点数大于4”,

211

=口，P*,

对于①,"It

尸（/>P（B）,...事件A与B是独立事件，故①正确;

对于②，事件B与事件C不能同时发生，，事件B与事件C是互斥事件，故②正确；

对于③，事件c与事件。不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误;

对于④，故④错误.

故选：A.

5.B

【分析】由排列组合及简单计数问题求解即可.

【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有

C2c2

当A；=90

A2种.

故选：B.

6.D

【分析】根据题意可知，X可能取1,2,3,且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数

学期望，方差的公式及性质计算即可.

【详解】根据题意可知，X可能取1,2,3,且服从超几何分布，

尸(万=1)=宁=£，尸(X=2)=^=[P(X=3)=m=个

故535353

131

£(X)=lx—+2x—+3x—=2,

所以555

D(X)=(1-2)2x1+(2-2)2x|+(3-犷x|=|

E(2X-l)=2E(X)-l=2x2-l=3

o

D(2X-1)=4D(X)=1，

故选：D.

7.A

(t1Y29

—I—=/+Q,+aJH---------F619t

【分析】令2x+l=r,则原式可化为(22)，求出其通项公式，从

而可求出生,则可得然后利用二项分布的期望公式可求得结果.

t-1

X------

【详解】令2x+l=f,贝U2,

9

所以由（1+x）9=%+%（2x+1）+a2（2x+1）~H-----1-a9（2x+1）

9

t1|_29

—+—=6ZQ+Q/+Cl^tH-----Fa9t

得22

令9-r=l,得r=8,

a-"二9

-c9--Z7p=a=-^

所以12）2,所以x29,

因为随机变量A~'*21）,

oo

所以皈）=32p=32x*w

故选：A

8.D

【分析】明确集合8中满足1引玉|+图+国+同+图43的含义,结合组合数的计算，即可求

得答案.

【详解】由题意知集合B中满足"闻+岗+闯+闻+后归3的元素的个数,

即指现,马,三,工4/5中取值为/或1的个数和为1或2或3,

故满足条件的元素的个数为C：x2+C；x22+C；x23=10+40+80=130（个），

故选：D

9.ABC

【分析】根据线性回归方程经过样本中心（2°，8）,可解得刃=-0.32,可判断A,B,C.由回归方

程做预测，即可判断D.

_10+15+20+25+302_11+10+8+6+5。

x=--------------------------=20y=----------------------=8

【详解】55

.•・回归直线经过点（2°，8）,B正确，

将凡代入》=1+14.4得g=_o.32,...变量y与x呈负相关,A、C正确，

当产品价格为35元/饭时，代入得9=3.2,...日需求量大约为3.2彷，口错误，

故选:ABC.

10.ABD

【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A、B、C,根据古典概型概率公式，可判断

D.

【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，

14

x-=—

第3个路口是红灯，所以概率为I3>327,故A正确；

对B：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，

尸(/)=?P网:=：

则5,3,4,

4232

—X—X———

“三个人都不能破译出密码”发生的概率为5345,

所以此密码被破译的概率为55,故B正确；

对C：由题意可得尸(/方)=尸(30，即尸(/))(方)=尸出¥(力，

即尸(⑷[1一尸(8)]=P(5)[l-尸(⑷],即P(A)=P(B),

一一1-12

P(4B)=_P(A)=P(B)=_P(/)=_

又九故3,...3,故C错误；

对D：从1,2,3,4中任取2个不同的数,有0,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含(L3)和G，4)两个样本点，

则概率63,故D正确；

故选：ABD.

11.AC

【分析】求出导函数，分析函数的单调性，求极值，判断选项A,B,由函数的单调性判断

选项C,由〃4)</(乃)，判断选项D.

令/(x)=0,得%==/3在(0送)上单调递增，在0+劝上单调递减,

因此/G)在X=e处取得极大值’⑻一%,故A正确;

f(),解得x=l,故函数/(*)有且仅有一个零点，故B错误;

由人)在(e,+“)上单调递减，得"4)</(兀)</(3),故C正确;

In4Imr

因为“4)<〃万)，即4,兀，所以In，<In/,则，</,故。错误.

故选：AC.

48

12.125##0.384.

【分析】根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公

式可求出结果.

【详解】因为，~"(90”)，所以〃=90,

33

尸(80<X<100)=-P(80«X<90)=P(90<X<100)=—

因为l15,所以10,

所以尸(X>100)=P(X>90)-P(90<XW100)=，一历

C；，.(l二)2==*

所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为55125.

48

故示

13.504

【分析】符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第

二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加

法原理求总的方法数.

【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：

第一类“射”排在第五周的排法，排法有8种,

第二类“射，，不在第二和第五周且“乐，，不在第五周的排法，

①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有A；A：种排法

②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有人；种选法，然后剩余四项全排列则共有A；A：种，

由分类加法原理可得总的排法数为人；+A；A；+A；A：=504,

故504.

14.-1

【分析】设出切点，得到方程组，得到A=Tn(a+l)T,故"+8="-ln(a+l)-l,构造

g(x)=x-l-ln(x+l),x>-l；利用导函数求出最小值，得到答案.

【详解】直线kG+6与曲线>Tnx-x相切，设切点为/&，为),

则X，所以与

11I

Q=-----I>-I

因为所以X。，

I

X。=---

即a+\,

又%=0%+6,y0=lnx0-x0)故ax。+6=In/,

x—__I_q____I__b,=]n,___I______I_

将°q+l代入“)+b=Inx。-/得，^+la+\Q+I,

解得6=Tn(a+l)]

故Q+b=〃-ln(Q+l)-l

人g(x)=1-1-ln(x+l),x〉-1

|x

则g3」x+「x+l,当xe(TO)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(0,+co)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

故g(x)="-1-In(x+1)在x=o处取得极小值，也时最小值，

故g(x)mm=T,

故。+6的最小值为-L

故-I

当已知切点坐标为(X。'为)时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用

>―/(%)=/'(%)(彳_%)求出切线方程；

当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出

等式，进行求解.

15.⑴。=6=5°

(2)有差异

【分析】(I)根据题意列式求解即可；

(2)根据题意可得2x2列联表，计算并与临界值对比分析.

](2a+4b)+(a+6)=400

【详解】(1)由题意可得：10+46=250,解得a=/>=50.

(2)零假设为“。：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异.

由已知得，如下2x2列联表：

青年人中老年人合计

对短视频剪接成长视频的APP有需求300250550

对短视频剪接成长视频的APP无需求100350450

合计4006001000

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断“。不成立，

所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异.

16.(1)证明见解析

⑵1：1

【分析】⑴连接“C交5。于点连接瓦0,即可得至IJ4//EM,从而得证；

(2)依题意可得2A0,如图建立空间直角坐标系，求出平面5DE的法向量，设

P"=2尸8(0<2<1),利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得九，即可

得解；

【详解】(1)证明：如图，连接NC交8D于点连接

因为"是/C的中点，E是PC的中点，所以刃//EW

又Affiu平面ADE,尸/0平面3DE,

所以9//平面ADE

（2）解：因MD=AD=BD=1,AB=6,所以/方+4=加，所以AD/BD,故以

。为坐标原点，以为x轴，为了轴，。尸为z轴建立空间直角坐标系，

。（0,0,0）,/（1,0,0）,5（0,1,0）1（0,0,1）«（-1,1,0）,小一；,；,；

则

DE

111

——x+—y+—z=A0

n-DE=O：222

设平面的法向量为"二（%%z）,则方•丽=0,即歹=0

故取〃=（1，°，1）设尸尸=2P5（0<4<1）则/（。,41—。月=（o,—%）

因为直线DF与平面BDE所成角的大小为30°,

——=sin30°=-_____J।=1

所以“l同2,即万Q+af2

2=-

解得2,故此时尸尸：尸8=1:1.

15

17.(1)分布列见解析，4.

S“=4-(〃+4)］；

⑵E

⑶125.

【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。由期望公式,

即可求得数学期望;

（2）结合题意可知只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是可得到

a

n31幻，利用错位相减法求和，即可求得答案;

（3）设只游览冰雪大世界的人数为无，由此可得游客得到纪念品的总个数"=200-x,即可

得到”的表达式，结合题意列出不等式组，利用组合数的计算，即可求得答案.

3

【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为彳，得到1份文旅纪念品;

]_

既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为Z,获得2份文旅纪念品，

则X的可能取值为3,4,5,6,

其中

P(X=4)=C；MT磊

9

p(X=5)=C>

64

1

p(X=6)=

64

所以X的分布列为

X3456

272791

p

64646464

£(X)=34+4X*5X96X*T

(2)因为九个游客得到文旅纪念品的总个数恰为"+1个,

则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人,

n-1

3IH3

于是2

43

3

S1I3r3i+3x33

=lx—+2xH-----Fnx

"34

则

24n+1

于是为33333

1lx+2xI+3xH-----F(n-l)x+〃x

34

23n+1

人”=3333

1—+I+•••+nx

4n344+

两式相减，得

33

1-

n+ln+1

143>=l-1(n+4)xf^3

-nx

344

=4-(Z7+4)R

S.

所以

(3)设只游览冰雪大世界的人数为工,

则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为

因此游客得到纪念品的总个数〃="+2(100-X)=200-X

100-x

3_1「X-JX

〃二」=下前5()3

此时I

—C：0o3*2—C；京3*+i

1「X、1QX—1

Lz，J

假定“取最大值，必有0。＜100,于是1741"5y100-^ioo-^ioo

100!100!

--------------->3----------------------

x!（100-x）!（x+l）!（99-x）!

100!100!x+l>3（100-x）

>，整理得I。。I）"

x!（100-x）!"（x-l）!（101-x）!

即

理"V亚

解得44,而xeN,贝卜=75,贝产=200-75=125,

所以当4取最大值时，力=125

18.（1）32

3百

⑵2

9^/2

（3）为定值4

【分析】（1）根据已知列出关于aS"的方程组，结合解出椭圆方程.

3百

（2）当直线NG斜率不存在时，易求得河到直线NG的距离为2.当直线NG斜率存在时

设NG的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出"的坐标，代入椭圆得到

一个关系式，利用点到直线距离公式表示点“到直线NG的距离并化简即可求解；

（3）当直线NG斜率存在时，利用弦长公式化简计算表示出WG[,结合Q）可得点M到直

d对S=54NG|化简计算即可下结论.

线NG的距离为

a2+a2-（2c）2

<cos/F[PF?=be=V2

2^

a2=b2+c2va=A/3C

a2=b2+c2

【详解】（1）由题意得,整理得〔

a=\/3

vb=V2

c=l

解得〔,所以椭圆的方程为32

（2）当直线NG斜率不存在时，设河（西，乂），"。2，%）,根据题意有。（马，-外）.

占+，+，=0M+%-%=0

因为原点。是A〃NG的重心，所以33

x

解得i=-2尤2,弘=0

_n—+^-=1/r_°g，*2尸"，一可

将必=°,代入32，解得±=±'3,所以由无1=-2%知I〜或

所以初到直线NG的距离为

即直线NG斜率不存在时，"到直线NG的距离为2.

当NG斜率存在时，设NG所在直线方程为广屣+"，，〃（XQJ,N（X2，%）,G（X3，%）

y=kx+m/导（2+3兀2b2+60〃x+3机2—6=°

且△=24（3左+2-加）>°,即加2<3左2+2

■+巧=°必+%+%=0

因为原点。是A"NG的重心，所以3一’3,

_6km_-4m6km-4my

所以再必=57充，即12+37>2+3〃1

22+3左2

m=------

将点M代入椭圆方程得并整理可得4<3公+2,

6k1m4m9k2m+6m

22

,2+3左22+3k2+3k3m

d=-------f^=^=----=--1^=^=—=—J।

所以点M到直线NG的距离为VF71V^+l护石

_Im2_3l2+3k2_3fF~373

个门=六~^~=3竹

3A/3

综上所述，当NG与x轴垂直时点M到直线NG的距离最大为丁.

9亚

(3)的面积为定值4,理由如下:

6km3m之一6

x+x=----------7，/匕=-----r

当直线NG斜率存在时，由⑵知一23'2+38-2+3%,

,,d

4"=2+3后且点河到直线NG的距离为

22

22/6km、2.3m-6_rz3k2+2—m

|NG|=71+^7(X2+X3)-4X2X3=(---------)-4----------=2V6•

72

2+3A：2+3左2(2+3左2y

=2A/6•IKi・

2

sf|NG|=；.3^\+k9V2

所以△四%的面积为4

当直线NG斜率不存在时，由(2)知

△MNG的面积为s=3闯+卜冲悯=；・孚归上乎管:竽

9拒

综上，A〃NG的面积为定值丁

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

19.(1)小)在(-8，”2),(0,+00)单调递增，在他-2,0单调递减

(2)(i)证明见解析；(ii)存在，〃=4

【分析】(1)对/(X)求导后利用导数从而可求解；

(2)(i)求出直线NB的方程V=-