武汉市2024年最强二次函数中考应用题

2024年二次函数中考应用题附答案

一、例题

例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路途是抛物线，当球运行的

水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后精确落入篮圈。已知篮圈中心到地面

的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出

手时，他跳离地面的高度是多少？

解：⑴由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5,

3.05),于是求得a=-0.2。.■.抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。

⑵当x=-2.5时，y=2.25。，球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。

评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等

设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：

(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；

(2)依据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；

(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式

y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为化，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式

y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为侪,0)、(x2,0)

时，可用双根式y=a(x-xi)(x-x2)求其解析式；

(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。

例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发觉，若按每件20元的价格销

售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销

售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.

(1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使

每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

’360=20k+b,|k=-30.

’210=25k+b|b=960,

解：⑴依题意设丫=16+3则有

所以y=-30x+960(16<x<32).

(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-l6)

=30(-x+32)(x-16)

=30(v?+48x-512)

二30624I'+1920.

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920.

答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元.

留意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应驾驭一些

有关商品价格和利润的学问，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最

值.

例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路途是某个

二次函数图像的一部分，如图所示，假如这个男同学的出手处A点的坐标(0,2),铅球

路途的最高处B点的坐标为(6,5)

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米，西=3.873)

解：（1）设二次函数的解析式为

y=a（X-hy+k顶点坐标为佑，5）

/.y=a（x-6）1+5

A（0,2）在抛物线上

01

2=6?’以+5,a=-—

12

y=-—（%-6）2+5,y=-—x2+x+2

J1212

2

N-AX+X+2=0

⑵当万°时，12

x=6+2^x=6-2回（不合题意，舍去）

x=6+2>|^5«13.75（米）

答：该同学把铅球抛出13.75米.

例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，依据试销得知：这种服装每天的销售

量上（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：/=-3x+204.

1.写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式

（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每

件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所确定。

在这个问题中，每件服装的利润为（x-42）,而销售的件数是（-3x+204）,那

么就能得到一个歹与x之间的函数关系，这个函数是二次函数.

要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.

解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价x之间的函数关系为

y=（-42）（-3X+204）,即y=-3R+330X-8568

⑵配方，得y=-3（X-55）2+507，当每件的销售价为55元时，可

3

取得最大利润，每天最大销售利润为507元.3

例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路途

是如图所示坐标系下经过原点。的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某

个规定动作时，正常状况下，该运动员在空中的最高处距水面3米，入水处距池边

的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必需完成规定的翻腾动作，并调整好

入水姿态，否则就会出现失误.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路途是(1)中的抛物线，且运动员

在空中调整好入水姿态时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由

-跳

台

Om支

-

柱

分析：(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个

2

点的坐标，如起跳点。(0,0),入水点(2,-10),最高点的纵点标为4.

(2)求出抛物线的解析式后，要推断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距

池边水平距离为5米.55时，该运动员是不是距水面高度为5米.

解：(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为

y=ax2+沃+c

2

由题意，知。(0,0),B(2,-10),且顶点A的纵坐标为5.

...抛物线对称轴在y轴右侧,

又,•,抛物线开口向下，，a<0,b>0

2510八

:.a=・—.bt=—,c=0

63

251(]

yxt+a一

，抛物线的解析式为63

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为5米时,

即55时,

/25、凡210816

^=(-—)x(7)+一x-

oJ35~3

10--=H<5,

,此时运动员距水面的高为33

因此，此次跳水会失误.

例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每

套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品

牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行

情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种

服装，可是，经销商手头无流淌资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙

协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：

转让数量（套）120011001000900800700600500400300200

100

价格（元/套）240250260270280290300310320330

340350

方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；

方案2:全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装;

方案3:部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装,

同时经销A品牌服装。

问：

①经销商甲选择方案1与方案21年内分别获得利润各多少元？

②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3,请问他

转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利

润多少元？

解：经销商甲的进货成本是=1200XMC=48OOOO（元）

①若选方案1,贝IJ获禾1]12024x00-480000=240000（元）

288000一

---------=1440

若选方案2,得转让款1200x240=288000元,可进购B品牌服装200套，

一年内刚好卖空可获利1440X500-480000=240000（元）。

360——

②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套10元，可进购B品牌服装

*加稔，侬啕

200套，全部售出B品牌服装后得款2元，此时还剩A品牌服装

（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利

5d360一船2

―i------^2+600（1200-x）-480000=L+330000

24故当x=600套时，

可的最大利润330000元。

二、变式练习:

1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发觉，这种商品每天

的销量洗(件)与每件的销售价X(元)满意一次函数：^=162-3%.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润V与每件的销售价*间的函数数

关系式.

(2)假如商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最

合适？最大销售利润为多少？

2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,

设矩形"8的边西=为米，面积为S平方米.

(1)求：$与x之间的函数关系式，并求当S=200米2时，x的值；

(2)设矩形的边米，假如XJ满意关系式=即矩形

成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.

BC

(V)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860

练习1答案：⑵"-3-42)2+432

当定价为42元时，最大销售利润为432元.

练习2答案：⑴S=M40-2x)=22+40x.

当S=200时，~2x2+40x-200=0,

x=10.

(2)当8C=y,贝］jj/=40-2XQ

又/=x(x+y),②

由①、②解得X=20±4、6

其中20-4看不合题意，舍去，

x=20-A岳,y=8^/5

当矩形成黄金矩形时，宽为20-4陋，长为

3、某地要建立一个圆形喷水池，在水池中心垂直于水面安装一个花形柱子OA,

。恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿

形态相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形态如图所示,

如图建立直角坐标系，水流喷出的高度丁伽）与水平距离武㈤之间的关系式是

y=-x2+2x+-

4.

请回答下列问题：

1.柱子OA的高度为多少米？

2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在

池外?

练习3答案：

5

（1）OA高度为Z米.

x="3I=1jL

（2）当乂一"时，*4,即水流距水平面的最大高为-4米.

,„,515

y=-x+2x+—=0A,x.=—,x»=—

⑶‘4"2'2

15

x=—x=—

其中2不合题意，2

答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外.第1题

一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间f（秒）间

的关系式为S=10r+产，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）

A.24米B.12米

C.12A/3米D.6米

答案：B

第2题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行

情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间1（天）

的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关

外，其种植的成本单价z（元）与上市时间/（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物

（1）干脆写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间f（天）（/>0）的函数

关系式；

（2）求出图（2）中表示的种植成本单价Z（元）与上市时间f（天）（/>0）的函数关系

式；

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最

大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克.）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

-1?+160<0<?<120),

80(120<?<150),

2

-?+20(150W/W180).

（2）由题目已知条件可设z=a«—HO）?+20.

QC

图象过点(60,5)，

QC1

—=a(60-110)2+20..-.a=——.

3300

1,

:.z=——(5110)2+20(t>0).

300

(3)设纯收益单价为W元，则皿=销售单价-成本单价.

21,

——Z+160----("110)2—20(0</<120),

3300

80-七("110)2-20(120<150),

故W

?1

T+20-----("110)2—20(150<180).

5300

化简得

1,

--(?-10)2+100(0<?<120),

击(”HO)?+60(1203<150),

—七("170)2+56(150W/W180).

1

①当W=—砺(-10)72+100(0〈/<120)时，有f=10时，W最大，最大值为100;

②当W=Q—n0)2+60(120W/<150)时，由图象知，有，=120时，W最大，最

大值为591;

③当W=—七("170)2+56(150W/W180)时，有r=170时，W最大，最大值为56.

综上所述，在f=10时，纯收益单价有最大值，最大值为100元.

第3题如图，足球场上守门员在。处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(4在》轴

上)，运动员乙在距。点6米的8处发觉球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4

米高，球落地后又一次弹起.据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形态相

同，最大高度削减到原来最大高度的一半.

(1)求足球起先飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.

(2)足球第一次落地点。距守门员多少米？(取46=7)

(3)运动员乙要抢到其次个落点。，他应再向前跑多少米？(取2布=5)

yA

答案：解：(1)(3分)如图，设第一次落地E

抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4.

由已知：当％=。时y=L

即1=36。+4,a----.

12

1

，表达式为y=一记■(%—6)9+4.

19

(或y=——%+%+1)

足球第一次落地距守门员约13米.

(3)(4分)解法一：如图，其次次足球弹出后的距离为CD

依据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）

2=——6）2+4解得玉=6—2^/^,%2=6+2"\/^.

CD=|%-x2|=4^6^10.

/.BD=13—6+10=17（米）.

1

解法二：令—二（九—6『9+4=0.

12

解得石=6—4A/5（舍），々=6+4百个43.

.•.点C坐标为（13,0）.

1

设抛物线。即为丁=—石（兀―Q92+2.

1

将。点坐标代入得：——（13—左）92+2=0.

12

解得：勺=13—2"<13（舍去），

k2=6+46+26P6+7+5=18.

1

y=一五（%-18）9+2

1

令y=0,0=-—（X-18）92+2.

%=18—（舍去），x2=18+276^23.

BD=23—6=17（米）.

解法三：由解法二知，左=18,

所以CD=2（18—13）=10,

所以BD=（13—6）+10=17.

答：他应再向前跑17米.

第14题荆州市"建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大

棚种植蔬菜.通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置

滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9;另外每

公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.

（1）基地的菜农共修建大棚工（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），

写出y关于x的函数关系式.

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项

大棚.（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可接着运

用.假如按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收

益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议.

答案：(1)y=7.5x-(2.7x+0.9x2+0.3x)=-0.9%2+4.5x.

99510

(2)当一0.9%2+4.5%=5时，即9/一45%+50=0,%=—，x?=一

33

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建;公顷大棚.

(3)设3年内每年的平均收益为Z(万元)

Z=7.5X-(0.9X+0.3%2+0.3%)=-0.3—+6.3X=-0.3(X-10.5)2+33.075(10分)

不是面积越大收益越大.当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益.

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益.

②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降.修建面积不宜盲目扩大.

③当-0.3/+6.3%=0时，石=0,%2=21.大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，

反而会亏本.(说其中一条即可)

第15题某商场购进一种单价为40元的篮球，假如以单价50元售出，那么每月可售出500

个.依据销售阅历，售价每提高1元.销售量相应削减10个.

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每

月的销售量是________个.(用含x的代数式表示)(4分)

(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？假如是，请说明理由；假如不是，恳

求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？(8分)

答案：⑴10+无，500-10%;

(2)设月销售利润为y元，

由题意y=(10+%)(500—10%),

整理，得y=—10(x—20)2+9000.

当x=20时，y的最大值为9000,

20+50=70.

答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元.

第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高

点P位于AB的中心且距地面6m,建立如图所示的坐标系

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过，为什么？

(3)假如隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺当通过，为什么？

答案：⑴由题意可知抛物线经过点4(0,2),P(4,6),3(8,2)

设抛物线的方程为y^ax2+bx+c

将AP,。三点的坐标代入抛物线方程.

1,

解得抛物线方程为y=——%2+2X+2

4

1,

(2)令y=4,则有——%2+2%+2=4

4

解得菁=4+=4—2

\x2-%1|=4A/2>2

货车可以通过.

(3)由(2)可知］民—xj=2J5〉2

货车可以通过.

第17题如图，在矩形A6