导数在研究不等式的创新应用-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题11导数在研究不等式的创新应用

■k最新模拟精练

一、单选题

1.(2024•云南昆明•模拟预测)设“=坐,c=学，贝|()

61012

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

构造函数=利用函数单调性确定瓦C大小，通过作差判断正负即可确定。力大小即可.

【详解】

设〃》)=号，则((到=上芈=0,得乂=血,

则/(X)在(o,6)上单调递增，在(虚,+8)上单调递减，

6=/(6),c=/(佝，则6>c,

p,1ln55-31n5lne5-lnl25,

又a-6=------=-------=---------->0M,得a>b,

6103030

所以

故选：A

2.(2024•湖南邵阳•二模)已知函数〃尤)的定义域为R/'(x)为"力的导函数.若〃l)=e,且

尸(x)+e,</(x)在R上恒成立，则不等式〃x)<(2-x)e'的解集为()

A.(Y>,2)B.(2,+oo)

C.(-so/)D.(1,+8)

【答案】D

【分析】

设g(x)=4+x,利用导数求得g(元)在R上单调递减，把不等式转化为g(x)<g⑴，即可求解.

e

【详解】

/、“X)-rz，/、f'(x}ex-f(x)-exf'(x)-f(x}+ex

设函数g(x)=+x,可得B,(x)=上口_券」—+1=')[I)——<0,

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所以函数g(x)在R上单调递减，

由〃x)<(2—x)e\可得〃x)+xe'<2e",即/^+工<2=用+1,

exe

可得g(x)<g⑴，所以无>1，即不等式〃x)<(2-x)e，的解集为(L+8).

故选：D.

3.(2024•辽宁•二模)a=1.01+sinO.Ol,=1+Ini.01,c=e°01,则()

A.b>c>aB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【分析】通过构造函数〃x)=l+x+sin尤-e1利用导数与函数单调性间的关系，得至厅(尤)=l+x+sinx-e*

在区间(。,$上单调递增，从而得出c<。，构造函数G(尤)=e，-ln(x+l)-l,利用导数与函数单调性间的关

系，得到6(尤)=/-111。+1)-1在区间(0,1)上单调递增，从而得出b<c,即可得出结果.

【详解】令/(x)=l+%+sinx-e",贝U/<%)=1+cosx—e",

令7z(x)=l+cosx-e",则h，(X)=-sinx-e%<0在区间(0,-^)上恒成立，

即/'(X)在区间(0,g)上单调递减，又r(；)=l+cosg-e；>l+cos^-e^=l+^-e^

B(l+^)2=1+|+A/3>e,所以尸(g)=l+¥一”>0,

即f(x)=1+x+sinx-e'在区间(0,g)上单调递增，所以/(0)</(0.01),

得到0<1.01+sin0.01-e°m,即e®<1.01+sinQ01，所以c<。，

令G(x)=eX—ln(x+l)-1,贝i]G'(x)=e*———,当xe(0,l)时，G(x)>0,

x+1

即G(x)=e'-ln(x+1)-1在区间(0,1)上单调递增，

所以G(0)<G(0.01),得到0<e°m-lnL01-1,即l+lnl.OKe。”,所以6<c,

综上所述，b<c<a,

故选：B.

【点睛】关键点点晴：通过构造函数/(x)=l+x+sinx-e*和G(x)=e*-ln(x+I)-l,将问题转化成比较函数

值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.

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4.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数“X)的定义域为(-8,0),=其导函数尸(x)满足

矿(x)-2/(x)>0,贝ij不等式〃x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-«>,-2025)

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=¥，判定其单调性计算即可.

【详解】根据题意可令g(尤)=<0)ng'(x)==<0,

所以g(x)=工詈在(-8,0)上单调递减，

/(x+2025)

则原不等式等价于(<T,

(x+2025)

/(x+2025)

由g(x+2025)<-l=g(-l)n0>x+2025>-l

(无+2025)2

解之得2026,-2025).

故选：B

5.(23-24高二下•重庆•阶段练习)若函数〃元)=/一。山》+1在[1,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是

()

A.[0,2]B.(-oo,l]C.[2,+00)D.(-oo,2]

【答案】D

【分析】

求出函数/(X)的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.

【详解】函数/(x)=x2-Rnx+l,求导得/(无)=2龙-乌，

X

由/(X)在[1,+00)上单调递增，得VxNl,f\x)>0a<2x2,而恒有2f22,

则aW2,又。=2时，/((%)=2(^-1)>0,f(x)在[1,+⑹上单调递增，

所以实数。的取值范围是(-8,2].

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故选：D

6.（23-24高二下•宁夏•阶段练习）已知函数〃x）=£+lnx在区间［l,e］上的最小值为g,贝的值为（）

3e

A.1B.-C.-D.Jre

22、

【答案】D

【分析】

利用导数与函数性质的关系，分类讨论。的取值范围，分析得/'（X）的最值，从而得到关于。的方程，解之

即可得解.

【详解】

因为〃%）=9+1皿（%>。），所以/（x）=1一==小丁，

XXXX

当aWO时，则广⑺对，所以『⑺在xw（0,E）单调递增，

此时函数最小值为/⑴=a+lnl=；,解得a=；,不符合题意，舍去；

当a>0时，令/'（力<0,得0<x<a；令/4彳）〉。，得x>a；

所以/（x）在（0,。）上单调递减，在（。，y）单调递减增，

①当0<aWl时，“X）在区间［l,e］上单调递增，

所以最小值为/（l）=aWl，不符合题意舍去；

②当l<a<e时，“X）在［l,e］上先减后增，

3

所以最小值为/（a）=l+lna=5,解得。=血；

③当aNe时,在［l,e］上单调递减，

所以最小值为〃e）=?+lne=|,解得。=ge,不符合题意，舍去，

综上所述a=^/e.

故选：D.

7.（2022・全国•模拟预测）若关于x的不等式e'+x+ln,Nmx+ln根恒成立，则实数加的最大值为（）

x

A.2B.eC.3D.e1

【答案】B

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【分析】

将题干不等式变形为e*+lne一e+ln(mx),构造函数〃x)=x+lnx,利用函数“力的单调性将问题转化

为加恒成立问题，令g(x)=f,利用导数研究函数g(尤)最值即可求解.

XX

【详解】

由题意得，e*+xNmx+ln(mx),Bpex+lnex>mx+ln(mr),

令/(x)=x+lnx,因为尸⑺=l+：>0,,所以函数在(0,+e)上单调递增，

则不等式转化为所以e-如，则[人.

令g(无)=?，贝"g'(x)=e(：°,

则当0<x<l时，g[x)<0,g(x)单调递减；当了>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以当x=l时，g(x)有最小值,即g(x)1nhi=g(l)=e,则加的最大值为e.

故选：B

8.(2024•内蒙古呼和浩特•一模)在区间(0,兀)上，函数y="一c°sx存在单调递增区间,则实数。的取值范

X

围是()

TT

A.(-oo,l)B.(-00,-]

JT

C.(-00,-)D.(-00,1]

【答案】C

【分析】

根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.

,皿o-cos%_u.口,xsin.x-a+cosx

【详解】函数y=-------,求导得y=-------j------,

XX

依题意，不等式xsinx-a+cosx>0在(0,兀)上有解，即avxsinx+cosx在(0,兀)上有解，

x

令f()=xsinx+cosx,XG(0,TI),求导得f\x)=xcosx,

当xe(0,g)时，f'(x)>0,函数/(x)递增，当xw(；,7t)时，f'(x)<0,函数/'(x)递减，

当x=5时，"X)1mx=5,因此a<5，

所以实数。的取值范围是(f《7T).

故选：C

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9.(2024•云南贵州•二模)已知。=ln(、&),6=二,,=塔+1,则dc的大关系为()

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】

根据。力,c的特点，构造函数〃刈=叱，判断其单调性，得到/⑺1mx="e)=」，故有

xe

/(e)>/(5),/(e)>/(2),再运用作差法比较/(5),/(2)即得.

【详解】设/(*)=皿二，贝IJf(好二上空，

XX

当0<x<e时，f\x)>0,/(尤)在(0,e)上递增；

当x>e时，f\x)<0,/*)在(e,+s)上递减，

故/(X)max=/(e)=L

e

.।1In51In2,,

贝lJ—>——,->——,^nnb>c,b>a-

e5e2

।2n5--

由ln5In221n5-51n232八可知^b>a>c.

==<u

52-----------10-----------10

故选：B.

10.(2024•北京延庆•一模)已知函数/(x)=3-2x7,则不等式“X)<0的解集是()

A.(0,1)B.(。,+8)C.(-oo,0)D.(-oo,0)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】

利用导数及导函数的单调性判断极小值点在0<无。<1,再由函数的单调性及/(0)=/(1)=0可得不等式的解

集.

【详解】因为广(x)=3'In3-2单调递增，且:(0)=ln3—2<0,尸⑴=31n3-2>0,

所以存在唯一3e(0,l),使得/@)=0,

所以当x<Xo时，f'{x)<0,当时，f\x)>0,

所以函数于3在(9,不)上单调递减，在(%”)上单调递增,

又f(0)=f(l)=0,且0＜毛＜1,

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所以由y(x)<。可得0cx<1,

故选：A

e3

11.(2024•江西赣州•一模)已知。=——,6=—,c=ln3,则()

e-1e

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】构造函数〃x)=F(x>0)，对求导可得在(e,+8)上单调递减,可得/(e)>/(3),即

b>c,再由作差法比较。的大小，即可得出答案.

yln%

【详解】令〃X)=皿(％>0),.v；r-J-lnx,

当工£(0,e)时，/(x)>0,当x£(e,+a)时，/(x)<0,

所以/(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+“)上单调递减，

因为e<3,所以〃e)>〃3),即等〉野，

所以可得迎£=』>ln3,故6>c,

ee

22-+

因为,_e3_e-3(e-l)_e-3e+3_C2j4^n，

Q-b=-------=------=------=--------—〉0

e-1ee(e-l)e(e-l)e(e-l)

所以a>。，

i^a>b>c.

故选：D.

12.(2024・辽宁•一模)已知函数〃同二一十二!一？'"''若关于x的方程/(〃x))=根有五个不等的实数

2-2',%<1

解，则机的取值范围是()

A.(0,1)B.[1,2)C.(1,+s)D.[0,2]

【答案】C

【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到〃尤)的大致图象，令f=/(x),则/(〃x))=根化为

分m<0、机=0、0<m<l>m=l>l<m<2>m22六种情况讨论，结合函数图象即可得解.

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【详解】由〃X)=，2，”>1,

2-2v,x<l

当xVl时〃x)=2-2工，函数在(一8,1］上单调递减，且/'⑴=0,〃0)=1,当x->-8时〃力->2,

则/⑺=]—/7x(x-2)

当X>1时/(X)=XH----■—2,

(1)

所以当1〈尤<2时/'(x)<0,当x>2时/'(x)>0,

所以〃尤)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且"2)=1,

可得“X)的大致图象如下所示：

令/="x)，则/'(/(尤))=7/化为"。=相，

当“<0时/(。=/无解，则f(f(x))=m无解；

当机=0时〃。=m=。，解得/=1,由图可知/'(x)=l有两解，即/(〃x))=机有两解；

当0<m<1时/(。=机有一解且0</<1,又/(£)=/有一个解，即/(y(x))=%有一解;

当机=1时，(。=根=1有两个解，即「0、t2=2,

又/(x)=4=0有一个解，/(X)=G=2有两个解，所以f(〃x))=机共有三个解；

当1(机<2时/0)=〃2有三个解，即4<。，g>2,

/(耳=4<0无解,/(力=乙有三个解，f(x)=g有两个解,

所以/(/(同)=机共有五个解；

当机22时/(。=机有两个解，即。>2,

“x)=/6有三个解，，(力=。有两个解，

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所以/(/(x))=机共有五个解；

综上可得优的取值范围是(1,+8).

故选：C

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.

二、多选题

13.(2024・广东•模拟预测)设有正数列｛4｝,其前上项和为则下列哪一个了(")20能使对任意的

场后/⑺工弋k

都有一^一+2J7T-2J一成()

k=lk=lak

-n2

A.f(n)=2nB./(H)=y

C.f(n)=lnnD./(〃)=—

n

【答案】BCD

【分析】

首先当〃=1时，要满足/■⑴41,故可排除A,先证明两个引理，借助引理说明B选项符合题意；对于CD

2

而言只需分别证明In〃4上n」14上即可说明CD符合题意.

2n2

【详解】首先取〃=i,则有四成立，其中4>。(因为数列｛4｝是正数列)，

%axax

从而需要满足了(1)41,对比选项可知A不符合题意，

n1]]

接下来我们证明如下引理L1碎尸注尸‘.")，

4+2京优+2)仅+1)2_1

证明：首先当〃=%时，左边等于7I<+,1、,2/(4+1)2’2』左+1)2-2/

k(k+iy2(.+1)22人(左+1)2

〃[11

其次假设结论已对〃成立，即1刖+即广至⑴'

1________1___2n+32，+2_2

由于(〃+1)2(〃+2)2(n+1)2(n+2)2(n+1)2(n+2)2(n+l)(n+2)2

111

从而(n+l)(n+2)2+2(n+2)2-2(n+l)2**),

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n+1]1v/r,故结论对a+1也成立,

（*）与（**）相加有[而Z+1)2+2(n+2)2

乙K

综上所述，引理1成立,

14

我们继续来证明引理2：（q+的++a„）—+—++—>(1+2++〃)2,(4，生，,an>0),

ci?

I2

证明：当〃=1时，左边="•一=121=右边，即此时引理1成立,

2

n2

设结论已经对〃成立，即（4+%++%）H----->(1+2++n),

记4+2++an=p,—+—++——=q,显然。应>0,

an

/2、

1

从而(4+&++%+。〃+1)—+3+-+E+/

an+\,

"+1)2、n+1)2

=(p+%+Jq+=pq+p+g%+i+("+i『

an+l,4+i

>,q+2(〃+l)^^+(〃+l)2

2

+〃+("+l)]",

故结论对〃+1也成立,

综上，引理2成立,

现在我们回到原题，对于B,也就是/（〃）

T

.f(ri)/(«)nk

则T++4+y

3k=iSk%+%+q+/++以

2、2

/(»)(14nnkr14k}

<2-------1----------1-+一+--------------------2-----1-------1-+——

ak)

(1+2+..-+")I。27^=l(1+2+-+左)%

、

n1(14k1(14n2、

-----------2---1----1-+——+4一+一+--+一

k=l%(4+1)1q%n2H+1)2

2/(«)2

k1=4*kZ-11

-----------7-l------z(z+l)2+2(w+l)2

i=kz(z+l)"n2k=laki=k2(

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〃“21nD

;标故B符合题意,

k=iak2kk=iak

对于C,当72=1时，〃l）=lnl=OVl满足题意，

勿2

当心2/wN*时,我们来比较In凡一的大小，

2

^g（x）=--lnx,x>2,从而g'（x）=x-L>0,即g（x）单调递增从而g（x）2g（2）=2—ln2>0,也就是当

2x

2

2,〃€N*时，Inn<—,

2

结合B选项分析可知C选项也符合题意；

对于D,当〃=1时，〃1）=；=1<1满足题意，

当心2,”N*时，我们来比较上幺的大小，

n2

显然此时结合B选项分析可知D选项也符合题意.

n222

故选；BCD.

2f（ri}nkn2

【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当/（〃）=幺时，有T+3T〈E一成立，由

23〃k=lk=lak

此即可顺利得解.

14.（2024•全国,模拟预测）已知函数〃尤）=（加+版+**的极小值点为0,极大值点为机（机>0）,且极大值

为0,则（）

A.m=2B.b=4a

C.存在x°eR,使得〃M）>0D.直线y=3”与曲线y=/（x）有3个交点

【答案】AD

【分析】根据函数的极值点，确定方程办2+（2a+b）x+6+c=0的根的情况，利用韦达定理得彳“。二。，

b=-tz(m+2)

即得到〃无）=。,一（加+2）*+（〃7+2）]@,再依据"〃?）=0,解出m=2,即可判断A,B

C=Q(加+2),

选项；根据函数解析式〃力=4X-2）2eXM<0判断C选项；根据函数图像判断D选项.

【详解】因为尸（尤）=[or2+（2a+6）x+6+c}e，，令/'（无）=0,

则依2+（2a+b）x+b+c=0且〃x）的极小值点为0,

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极大值点为机(加>。)，所以。和加为方程的两个根,

2a+b=-ma,

所以Q<0,所以

b+c=O,

b=-a[m+'l)

所以所以/"(x)=。[炉—(:〃+2)x+(m+2)]

c=a(m+2),

又因为"7〃)=。，即-(〃z+2)wi+(w?+2)1e"'=0,

化简为。(一机+2)e"'=0,a<0,e'n>0,所以TW+2=0,

解得加=2,所以6=-4a,c=4a,所以A正确，B错误；

因为〃%)=。(》一2)2匕々<0,所以〃x)40恒成立，所以C错误;

函数〃尤)的图象如图所示，因为〃0)=4a<3a<0,

所以直线>=3。与曲线y=〃x)有3个交点，所以D正确.

故选：AD.

15.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=(lna+b)e"-a2ex,其中e为自然对数的底数，则()

A.若〃x)为减函数，则/(。)<0B.若〃x)存在极值，则ae〃>l

C.若〃1)=0,贝!]6>ln2D.若〃x)20,贝!]62a

【答案】BCD

【分析】

对〃尤)求导可得尸(x)=(lna+6)e=/e,当/⑼=。时，〃尤)也为减函数，可得A错误;若〃无)存在极

值可知「⑺存在"变号"零点，可得B正确;由/。)=。可得6=.2一1n构造g(x)=f-hr并判断单调性

可得b>ln2,C正确；由/(x)Z0可得1皿+羟£^,易知耳W1,可得”a-蛔，构造函数

exeaa

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M尤)=尤-上，尤>0并判断单调性即可求得62a,D正确.

X

【详解】

因为/(%)=(in。+e*-a2ex,所以广(%)=(Ina+b)e*-tz2e,

所以当〃0)=lna+/=。时,尸(犬)=—/evOJ(可为减函数，A错误.

若〃%)存在极值，则八%)=(山。+6湾-人存在〃变号〃零点.

因为/(%)=。可得(lna+))e*=〃2已,所以lna+b>0,即aeb>1,B正确.

若/⑴=0,则(lna+Z?)e—九=0,^b=a2-lna-

令g(%)=x2_lnx,则1-2)[2I

g'(x)=2x——=---------------,%>0

XX

所以当0<尤<乎时,g<x)<o,当X考时,/(x)>0,

所以g(x)在上为减函数，在上是增函数,

(丘、]Q]1

所以g(x)ms=g三=--ln^-=-(l+ln2),所以bN5(l+ln2)>ln2,C正确.

、乙1乙乙乙乙

2

若小)双即加强啖由心”得…X,啥1,

所以ina+b>a2>易知〃>0,所以一Na----.

aa

Ini*1-luxx2-1+lux

设"(x)=x----,x>0,〃(x)=l—

设0(%)=f-1+lux,x>0,^(x)=2x+—>0,所以夕(%)在(。,+8)上单调递增,

结合夕⑴=0,当Ovxvl时，0(九)<0,”(%)<0,〃(%)在(。，1)上单调递减;

当％>1时,°(1)>。,"(%)>。,%(%)在(1,+00)上单调递增.

A

所以/z(x)1nl*硝)=1,所以221,即62a,D正确.

a

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：在求解参数取值范围时，往往根据已知条件得出变量之间的基本关系，通过构造函数得出函数

单调性即可求得参数取值范围.

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三、填空题

16.（2024•江苏,一模）已知a,6e（0,1）一（1,+oo）,41og„Z?+logfca=4,则?+ln：的最小值为_______.

bb

【答案】加2+1/1+历2

【分析】

依题意可得a=凡则?+lnf=ln6+B令〃尤）=班+工，利用导数求出〃x）的最小值，即可得解.

bbbx

【详解】

41og/+log/=4,a,be（0,1）

41og/?+---=4,fog,；.b=无，

alog/2

即a=/,所以2+in3=2+ln三=ln/7+2,

bbbbb

令/（x）=lnxH■—,XG（0,+oo）,

则〃x）=：-＞?，

所以当0＜x＜2时/'（x）＜0,当x＞2时/'（x）＜0,

所以〃x）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

所以/（x）111n=〃2）=ln2+l,

所以+=ln2+l,当且仅当6=2,a=0时取得.

lb61mm

故答案为：ln2+l

17.（2024・陕西安康•模拟预测）已知函数“xhlnx+ax+sinx,%,/e（0,+oo）,x产马,都有

则。的取值范围为.

【答案】[2,+8）

【分析】设为＜%2，则已知变为/（%）＜/（%）—电，构造函数g（x）=〃X）T,则g（x）在（。,+8）上是单

调递增函数，则g‘a）2o恒成立，分离参数，进而可得出答案.

【详解】由我,々©（aybEN%，不妨设尤＜1尤2，贝1]%-玉＞0,

所以小正工⑷＞i,

x2—xi

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可变形化简为了(%)-玉</(々)一々，

构造函数g(x)=/(x)f,则g(^)<g(X)，

所以g(x)在(o,+8)上是单调递增函数，

所以g〈x)=r(x)-1=工+.+88%-120恒成立,

即a2—1—I-cosx)+l在xe(0,+co)上恒成立，

当尤>0时,—>0,cosxe[-l,l],

又xf+8时，-->0,而cosxe[-l,l],所以，+cosx>-1,

xx

所以-1—FCOSX)+1<2,

所以a的取值范围为[2,+8).

故答案为：[2,y).

【点睛】

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

(1)函数〃x)在区间。上单调递增O/(%)20在区间。上恒成立；

(2)函数在区间D上单调递减O/(X)W0在区间£>上恒成立；

(3)函数/(x)在区间。上不单调。尸(无)在区间O上存在异号零点；

(4)函数/(力在区间。上存在单调递增区间使得用耳>。成立；

(5)函数”X)在区间。上存在单调递减区间使得/'("<0成立.

18.(2024•浙江•模拟预测)已知函数〃%)=士+2尤2,g(x)=2m-liu,若关于x的不等式Vxg(x)有

解，则机的最小值是.

【答案】1/0.5

【分析】

参变分离可得力让e-2i-(_2x-lnx)有解，^t=-2x-\nx,g(t)=e'T,利用导数求出g"""，即可求

出参数的取值范围，从而得解.

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【详解】由〃九)“咫(x)得。+2%2«尤(2根—Inx),显然兀>0,

所以2m>1一+2x+Inx=e-2%-lnx—(—2x-Inx)有解，

xe'

令，=—2%一Inx,贝!J，ER,

令g(r)=e'一，则g'G)=e'-l,所以当t<0时g'(zj<0,当t>0时g'⑺>0,

所以g⑺在(-咫0)上单调递减，在(0,+2上单调递增,

所以g0mm=g⑼=1，即-(-2x-lnr)>1,

所以2%21,则加2工，即加的最小值是

故答案为：y

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是参变分离得到2机2e-2Am-(-2x-lnr)有解，再构造函数，利用导数求出

19.(2024•全国•模拟预测)设函数/(尤)=261-。。-山工-1)-2工的定义域为(1,+8).若〃尤)>0,则实数。

的取值范围是.

【答案】(一为2]

【分析】

指对同构类型，先将不等式变为2e*T-a(无-1)>2x-alnx=2**-aln;c,再构造函数g(x)=2e%-ax(x>0),

则不等式变形为g(尤-D>g(lnx)；再次构造函数飘尤)=x-l-lnx(x>l),判断其单调性；将原不等式变成原

题等价于g(x)=2e*-ax在(0,+◎上是增函数，再求导，求出最值即可.

【详解】Vx>1,2ex-1-a{x-Inx-1)-2x>0,

即2e*T-a(x-V)>2x-aInx=2elnT-fllnx,

令g(x)=2ex-ax(x>0),则g(x-l)>g(lnx).

1x—1

令〃(无)=尤-1-111%(彳>1),则Vx>1,〃'(尤)=1——=------>0,

xx

则〃(x)在(l,+oo)上递增，所以⑴=0,BPx-l>lnx.

所以原题等价于g(x)=2/-⑪在(0,E)上是增函数，

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所以g'(x)=2e，-a20在(0,+oo)上恒成立,

即aW2e?对Vx>0恒成立，

而y=2e“x>0)的值域是(2,+<»),

所以a<2.

故答案为：（-%2]

20.（2024・全国•模拟预测）己知函数“x）=x+sinox（6y>0）在上存在极值点，则正整数。的最小值

为.

【答案】3

【分析】由题意对/（x）求导，只需/（%）在[。，管上存在变号零点即可，由此对。分类讨论即可得解.

【详解】因为了'（x）=l+aos0r,要使得〃x）在（0,二上存在极值点，

则（（x）在]。，3上存在变号零点.

当。=1时，/'（x）=l+cosx>0在（0,2上恒成立，〃尤）递增，不合题意，

当°=2时，f'（x）=l+2cos2x,因为所以2xe]o,g）

所以cos2x>-g,用x）>0在上恒成立，/⑺递增，不合题意，

当0?3时，有尤©（。，7],所以<wxe（0,—.因为^^2兀,一:4-■-<0,

/V3J33co

所以_ra）=i+如oss在（。高上存在变号的零点，

所以。N3满足题意，所以满足题意的正整数。的最小值为3.

故答案为：3.

四、解答题

21.（2024广东广州•一模）已知函数/。）=cosx+xsinx,%£（-兀,兀）.

⑴求〃尤）的单调区间和极小值;

（2）证明：当工£[0,兀）时，2/（x）<ex+e-\

【答案】（1）递增区间为（-私-2,（09，递减区间为（go）,q,兀），极小值为1；

（2）证明见解析.

【分析】

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(1)求出函数/(x)的导数，利用导数求出单调区间及极值.

(2)根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.

【详解】(1)函数/(x)=cos%+xsinx,%£(一兀,兀)，求导得了'(%)=-sin兀+sinx+xcos%=xcosx,

jrjr

当rvxv-,时，/(x)>0J(x)单调递增；当一万<尤<。时，/’(无)<0,/(x)单调递减；

当0<x<：时，/'(无)>0,/(x)单调递增；当g<x<兀时，/(x)<0J(尤)单调递减，

所以/(X)的递增区间为(-兀,-]),(0,9；递减区间为(-,0),(：兀),/(X)的极小值为"0)=1.

(2)当xe[0,兀)时,令尸(x)=e*+--2(cosx+xsinx),

求导得F'(x)=ex-eTx-2xcosx>ex-e^x-2x,

令9(x)=e*-1-2x,求导得.⑴=/+-222口T7-2=0,

函数。(无)在[0,兀)上单调递增，则0(xR必0)=0,/'(x)20,/(无)在[0,兀)上单调递增，

因此尸。)>尸(0)=。所以2/(x)Ve'+er.

22.(2024,辽宁葫芦岛•一模)已知函数/(力=11^-4口+1乂奴2在(2,"2))处的切线与直线无+2了=。平

行.

(1)求〃x)的单调区间；

(2)当xe(l,2)时，恒有/(%)>++伏_2)尤成立，求左的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为(0』，单调递减区间为(L”)

(2)f-=o,ln2-^

【分析】

(1)借助导数的几何意义计算可得。，借助导数的正负即可得函数的单调性；

(2)通过变形，可将原问题转化为在。,2)上，左〈詈-三恒成立，从而构造函数，借助导数求取

“(无)=坐--在(1,2)上的最小值即可得.

【详解】(1)

由己知可得/(X)的定义域为(o,+8),广(X)=5-。，

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所以尸(2)=：_。=一，即a=l,

所以/(x)=lnx_(x+l),f'(x)=--l=^-^-,

令制x)>0,得令人)<0,得x>l,

所以〃x）的单调递增区间为（0』，单调递减区间为（L+⑹;

将不等式整理得：f（x）-—+2x+-＞k（x-\\,可化为人＜*--

22%一12

问题转化为在（1,2）上，发〈强恒成立，

即无＜

min

令"«)=二-学，xe(l,2),

x—12

则》一…L『I)")-2=

()(尤一1)222MX—1)2

令P(x)=(无2—1)(2-尤)—2xlnx,

则P^x)=-(3x-l)(x-l)-21nx<0,xe(l,2),

所以尸（力在（1,2）单调递减,

P(x)<P(l)=0,即"(无)<0,

所以M（x）在（1,2）单调递减,

M（x）＞M（2）=ln2-^,

所以％的取值范围是，％In2.

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在（L2）上，女＜告-甘

恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取“（》）=坐--在。,2）上的最小值即可得.

23.（2024•河北沧州•一模）已知函数"x）=[,a＞0.

⑴当4=2时，求函数“X）的单调区间和极值；

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(2)当尤>0时，不等式/(%)-85[14(%)]之々11次2一4元恒成立，求〃的取值范围