2024年湖南省怀化市中考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年湖南省怀化市中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L下列各数中，是无理数的是（）

A-B.033…3共9个3

C.0.333…无限多个3D.y/1

2.下列算式中，正确的是（）

A.a2a2=2a5B.(a2)3=a5

C.a2-1=（a+l）（a-1）D.(a—l)2=a2—l2

3.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）

4.有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（）

A.方差B.中位数C.众数D.平均数

5.中汽协发布数据显示，2024年1~2月，新能源汽车产销分别完成125.2万辆和120.7万辆，同比分别增

长28.2%和29.4%,市场占有率达到30%.洛数据125.2万用科学记数法表示为（）

A.12.52x105B.1.252x106C.0.1252X107D.1.252x107

6.反匕例函数y=f的图象一定经过的点是（）

A.(1,-16)B.(2.-8)C.(4.-4)D.(8.2)

关于y的二元一次方程组忆二/一3

7.已知女为整数,的解满足2022Vx—yV2024,则整数4

值为（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

8.如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成35。的夹角，己知缆车速度

为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（）

A.480­sin350米

C.480-tan350米

9.如图，以直角△48C的一个锐角的顶点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交A

直角边A8于点。，交斜边4c于点E,再分别以点。，E为圆心，大于的长D

为半径画弧，两弧交于点R作射线A户交边8c于点G,若48=3,BC=4,

用S-gc表示△ABC的面积(其它同理)，贝!沁=()

10.如图是一把椅子侧面钢架结构的几何图形.其中的交点C是可以活动的，调整它

的位置可改变坐板与靠背所成的角度(即/DEF的大小)，但又始终保证坐板与水平面D(

平行(即/5月////?).如图所示，S则得=SO°,ZDCE=70°,01lJzDEF=()\Z»

A.120°

B.115°

C.110°

D.105°

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.若二次根式V7不^有意义，则实数x的取值范围是____.

12.把点P(-1,2)先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q,则点Q的坐标为一

13.因式分解：2%2-i8y2=______.

14.如图，在△ABC中，DE//BC,若=1,AB=3,

四速形BCED

15.如图，点A,B,。都在QO上，40AB=55°,则NC的度数为

A

16.从5,-3,0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是____.

17.对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数，记{*}=>—[x].如[3.14]=3,{3.14}=0.14.若a=[3—

/2],d={3-72）,则代数式（a+，I）b=_____.（要求答案为具体的数值）

18.如图，在AABC中，4C=90。,力C=1,8C=C，将△力BC绕点A按顺时

针方向旋转到△AJC]的位置，使得点C,A,8]在同一条直线上，那么在点

8运动到点名的过程中，线段A8所“扫过”的面积为_____.（结果用含花的

式子表示）

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题6分）

计算：（亨）。+5E60。+（今-1一|一唱|.

20.（本小题6分）

如图，延长平行四边形ABCO的边A。，作交AB的延长线于点E,作CF14。交AO的延长线

于点F,若CE=CF.

求证：四边形ABC。是菱形.

21.（本小题8分）

在平面直角坐标系中，点。为坐标原点.如图，一次函数、=以+匕（。为常数，QW0）与反比例函数y=

为常数，k*0）的图象相交于点4（2,5）和点8（初一4）.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）过点A作），轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点8作y轴的垂

线，相交于点。.求证：C,O,。三点在同一条直线上.

22.(本小题8分)

为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知8型充电桩比4型充

电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.

(1)48两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)该停车场计划购买A,5两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数

量不少于4型允电桩购买数量的高.请问A，8型允电桩各购买多少个可使购买总费用最少？

23.(本小题9分)

基于学生数学个性发展的需要，拟开设几门数学类拓展课程，供学生自主选修.为了解学生选修课程意向，

随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选其中一项)，并将统计结果绘制成如下统计图(不完整).

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

抽取的学生战再炊课程内容

抽取的学牛.最再欢课程内容的条形统计图

的扇形统计图

A.趣味数学

B数学史话

C.实验探究

D.生活应用

E.思想方法

(1)请根据统计图所提供的信息，直接填写答案:

©m=»n=

②“E.思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是：

③对选择“D.生活应用”有意向的学生人数是______.

(2)该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数.

24.(木小题9分)

如图，在圆内接四边形4BCO中，AB=BC,AD=CD,四边形ABO的对角线4aBD交于点E.

(1)求乙8CD的度数;

(2)过点C作。7/4。交A8的延长线于点八若乙48c=120°,求证：b是圆的切线.

25.(木小题10分)

已知正方形ABCD和正方形EFG”按图1所示叠放在一起，其中AB=4,EF=2,点。为A8和E尸的中

点.

图2

(1)图2中正方形EFUV为图1中正方形E尸G/7关于直线A8的轴对称图形，求点。和点U的连结线段。U

的长度；

(2)将图1中的正方形EFGH绕点0旋转，如图3所示，求运动过程中点。和点G之间距离的最大值和最

小值.

26.(本小题10分)

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=一%2+6%+。与工轴交于八，B两点(点A在点B的左侧)，与y

轴交于点C,0B=0C=5,顶点为。，对称轴交x轴于点E.

(1)求勉物线的解析式、对称轴及顶点。的坐标；

(2)如图2,点。为抛物线对称轴上一动点，当。在什么位置时QR+QC最小，求出Q点的坐标，并求出

此时AQR。的周长；

(3)如图3,在对称轴左侧的抛物线上有一点在对称轴右侧的抛物线上有一点N,满足4M0N=90。.求

证：直线A/N恒过定点，并求出定点坐标.

答案和解析

1.【答案】。

【解析】解：0.33-3^9^3,0.333…无限多个3是分数，它们不是无理数；

C是无限不循环小数，它是无理数；

故选：D.

无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可.

本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：Q2-Q3=Q5,故选项4错误，不符合题意；

(。2)3=。6,故选项3错误,不符合题意；

a2-1=(a+l)(a-1),故选项。正确，符合题意；

(a—I)2=a2-2a+1,故选项。错误，不符合题意；

故选：C.

计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意.

本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

8、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误：

。、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：B.

根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

4.【答案】4

【解析】【分析】

此题考查了统计量的选择，弄清方差表示的意义是解本题的关键.

根据各自的定义判断即可.

【解答】

解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择统计量口的方差，

故选：A.

5.【答案】B

【解析】解：125.275=1252000=1.252x106.

故选:B.

学记数法的表示形式为QXion的形式，其中13同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成4

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，〃是正整数；当

原数的绝对值VI时，〃是负整数.

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定。与〃值是关键.

6.【答案】D

【解析】解：反比例函数图象上点的纵横坐标之积为定值16,

4、lx(-16)=-16^：16,点(1,一16)不在反比例函数图象上，不符合题意；

B、2x(-8)=-1616,点(2,-8)不在反比例函数图象上，不符合题意；

C、4x(-4)=-16*16,点(4,一4)不在反比例函数图象上，不符合题意；

。、8x2=16,点(8,2)在反比例函数图象上，符合题意.

故选：D.

根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的纵横坐标之积为定值是解答

本题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：产一2人焉①，

x-2y=k[2}

①+②得：3x-3y=3fc-3,

x-y=-1,

2022<x—y<2024,

:.2022<k-l<2024,

:.2023<k<2025,

.••整数々值为2024,

故选：C.

先利用加减消元法推出工一丫=女一1,再由2022<%-）/<2024推出2023<女<2025,据此可得答案.

木题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，掌握解不等式组的解集是关键.

8.【答案】A

【解析】解：由题意得：48=30x16=480（米），

在RtA4BC中，LA=35°,

"屈=而'

BC=AB-sin/l=480sin35°（米），

故选：A.

根据正弦的定义计算，得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

9【答案】C

【解析】解：过尸作FH14;于〃，

由作图得：AE平分乙BAC,人

乙B=90。，°

•••BF=FH,AC=^AB2+BC2=5，L

则能二世竺二竺二之，百却

S“CG^ACFHAC5'

故选：C.

根据角平分线的性质及三角形的面积公式求解.

本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：YOE〃/IB,^ABC=50%

乙D=LABC=50°,

；乙DEF=ZD4-Z.DCE,Z.DCE=70°,

乙DEF=120°,

故选：A.

根据“两直线平行，内错角相等"求出2D=50。，再根据三角形外角性质求解即可.

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键.

11.【答案】x>-6

【解析】解：•.•二次根式GT7有意义，

-，-x+6>0,

x>-6,

故答窠为：x>—6.

根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0,列式计算即可得到答案.

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.

12.【答案】(-4,6)

【解析】解：根据题意，点。的横坐标为：一1一3=-4,纵坐标为2+4=6,

•••点。的坐标是(-4,6),

故答案为：(一4,6).

让P的横坐标减3,纵坐标加4即可得到点。的坐标.

本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减：纵坐标上移加，下

移减.

13.【答案】2(x+3y)(x-3y)

【解析】解：2x2-18y2

=2a2-9y2)

=2(x+3y)(x-3y),

故答窠为：2(x+3y)(x-3y).

先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因

式.

14.【答案】:

【解析】解：••・DE//BC,

Z.ADE=乙ABC,Z.AED=乙4CB,

•••△ADE^hABC,

双丝=(空)2=小2=1,

SEC卬9'

S&ABC=»

,SAADE_S“DE__1

S四边形BCEDS^ABC-S^ADE9ShADE-S&ADE8

故答案为：

O

先结合平行线的性质证明△40ESA/1BC.再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，A8C=

9s“DE，进而即可求解.

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ADE^LABC.

15.【答案】35。

【解析】解：•••0A=OB,LOAB=55°,

:.Z.OAB=(OBA=55°,

Z.AOB=1800-Z.OAB-乙OBA=180°-55°-55°=70°,

由圆周角定理得“=^Z-AOB=1X70°=35\

故答案为：35。.

根据同圆的半径相等得到。力=。氏再根据等边对等角得到乙。力B=WBA=55°,根据三角形内角和定理

求出乙4OB的度数，最后根据圆周角定理即可求出NC的度数.

本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知：一条弧所对的圆周角等于它所对

的圆心角的一半是解题的关键.

16.【答案】|

【解析】解•：画树状图如图：

开始

5公。

/AAA

T0505T

共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，

.••该点在坐标轴上的概率为人反.

o3

故答案为：I

画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结具求出〃，再从中选出符合事

件A或8的结果数目也，然后根据概率公式求出事件A或8的概率.也考查了点的坐标特征.

17.【答案】y[2

【解析】vl<72<2,

1<3-72<2,

:.a=[3—y/-2]=1>b=[3—V-2}=3—V-2—1=2—V-2,

A(a+C)b=(1+72)(2-72)=2+272-71-2=V3.

故答案为：/2.

首先估算lv3-々V2,进而根据题目中的规定得a=[3-，^]=1,/J=[3-/2)=3-/2-1=2-

72,然后将a,b代入代数式(a+M)b之中进行计算即可得出答案.

此题主要考查了无理数大小的估算，实数的运算，熟练掌握无理数大小的估算，及实数的运算是解决问题

的关键.

18.【答案】当

【解析】解：,••在△/BC中，Z-C=90°tAC=l,BC=y[3,

tan^BAC=7/i7t=y/~3,

/.BAC=60°,

•••/B=―=2,

cosZ.BA9C

•.•将AABC绕点A按顺时针方向旋转到△481Q的位置，使得点C,A,比在同一条直线上，

:.NB4B1=120%

2

.••线段A8所“扫过”的面积为12°*X2=学,

故答案为：y.

先解直角三角形得到taMBAC=^=/3,则4B4C=60°,进而求出AB=2,则=120。，再根据

/1C

线段4B所“扫过”的面积即为扇形BAB1的面积进行求解即可.

本题主要考查了求图形扫过的扇形面积，解直角三角形，掌握扇形面积公式是关键.

19.【答案】解：原式=1+苧+2-苧=3.

【解析】利用零指数累，特殊锐角三角函数值，负整数指数幕及绝对值的性质计算即可.

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

20.【答案】证明：•四边形ABCZ)是平行四边形，

AB//CD,AD//BC,

:.乙CBE=Z■力，Z.CDF=Z.A,

•••Z-CBE=Z.CDF1

vCELABtCF1AD,

：•乙CEB=Z.CFD,

在ACBE与ACDF中,

“BE=乙CDF

乙CEB=乙CFD,

CE=CF

••△CBEGACDF,

...CB=CD,

•.四边形ABC。是菱形.

【解析】根据平行四边形的性质可得4CBE=NCD凡根据A4S可证△CBEZZiCD凡再根据全等三角形

的性质可得CB=CD,再根据菱形的判定即可求解.

此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组邻边相

等的平行四边形是菱形的知识点.

21.【答案】(1)解：把点4(2,5)代入y="々为常数，kHO)得：k=10,

・••反比例函数的解析式是、=?，

把B(m,-4)代入y=j得：m=

即8的坐标是(一看一4),

把A、B的坐标代入y=a%+b得：］5..

(―2。十。=­qt

解得：｛；：；，

即一次函数的解析式是y=2x+l；

(2)证明：由题意可知C(一米5)，。(2,-4),

设直线CD为y=px+q,

则就二；解蹴=-2

=0'

二直线CD为y=-2x,

.••直线CO过原点O,

:C0,。三点在同一条直线上.

【解析】(1)把点4(2,5)代入y=3利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出6的坐标，把

A、8的坐标代入一次函数的解析式求出即可;

(2)利用待定系数法求得直线CO是正比例函数即可得到结论.

木题是一次函数和反比例函数图象的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，

反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键.

22.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为是万元，则8型充电桩的单价是。+0.2)万元，

根据题意得：型=磊，

xx+0.2

解得：%=1,

经检验，X=1是所列方程的解，且符合题意，

:.x4-0.2=1+0.2=1.2.

答：4型充电桩的单价为1万元，B型充电桩的单价为1.2万元；

(2)设购买A型充电桩机个，则购买B型充电桩(26-m)个，

(m+1.2(26—m)<28

根据题意得：“、2,

(26—m>-m

解得：16WmWl吟

•••加为整数，

m=16,17,18.

.•.该停车场有3种购买充电桩方案：

①购买16个4型充电桩，10个8型充电於；

②购买17个A型充电桩，9个B型充电桩；

③购买18个A型充电桩，8个8型充电桩.

••・4型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，

.••方案③总费用最少，最少费用=16x1-10x1.2=28(万元)，

答：购买18个4型充电桩，8个8型充电桩可使购买总费用最少.

【解析】(1)设人型充电桩的单价为是万元，则8型充电桩的单价是(％+0.2)万元，根据用20万元购买4

型充电桩与用24万元购买8型充电桩的数量相等.列出分式方程，解方程即可；

(2)设购买A型充电桩机个，则购买B型充电桩(26-m)个，根据购买总费比不超过28万元，且8型充电

桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的看.列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题.

本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式

方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式组.

23.【答案】解：(1)①25%；15%；

②36。；

③18人；

(2)1600x25%=400(人)，

••・全校最喜欢“数学史话”的学生人数约400人.

【解析】解：(1)①由题意得，抽取的学生人数为12・20%=60(人)，

•••m=15+60x100%=25%,n=9+60x100%=15%.

故答案为：25%；15%；

②“E.思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是360。x/=36。，

□U

故答案为：36。；

③对选择“D.牛活应用”有意向的学生人数是60X30%=18(人)，

故答案为：18人；

(2)见答案.

(1)①用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中4的百分比可得抽取的学生人数，再分别求出8,C的百

分比即可.

②用360。乘以本次调查中选择E的学生所占的百分比，即可得出答案.

③用抽取的学生人数乘以。的百分比即可.

(2)根据用样本估计总体，用1600乘以样本中B的百分比，即可得出答案.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题

的关键.

24.【答案】(1)解：•・•=BC,AD=CD,

:.Z.BCA=Z.BAC,Z.DCA=Z.DACf

•••/-BCA+Z-DCA=Z-BAC+Z.DACt

•••乙BCD=z.BADt

••・四边形48CD是圆内接四边形，

Z.BCD+Z.BAD=180°,

2Z.BCD=180°,

乙BCD=90°,

・•・4BCD的度数是90。.

(2)证明：设四边形ABC。的外接圆的圆心为0,连接OC,则0C=A

•••8D是。。的直径，pzQX/

***AB=BC,

:.AB=BC»

・••BD垂直平分AC,

v/-ABC=120°,

/.Z.CBF=180°-/.ABC=60°,WBC=Z.OBA=^ABC=60°,

・•.△BOC是等边三角形，

:.乙OCR=600=Z.CRF,

:.OC//AF,

•••CF//AD,Z.BCD=LEAD=90°,

ZF=180°-/.BAD=90°,

Z.OCF=180°-ZF=90°,

•••OC是00的半径，且CF1OC,

•••CF是。。的切线.

【解析】(1)由AB=BC,AD=CD,得4BCA=KBAC,Z.DCA=^.DAC,可证明/BCD=iBAD,而

乙BCD+LBAD=180°,所以4BCD=90*；

(2)设圆心为O,连接OC,由4BCO=90。，证明3。是。。的直径，则3。垂直平分AC,由乙48C=

120°,求得4C8F=60°,Z.OBC=Z.OBA=60°,则A80C是等边三角形，所以N0C8=60。=4C8尸，贝U

OC//AF,由CF〃4D,Z.BCD=/.BAD=90°,得乙尸=90",所以NOC尸=90°,即可证明C尸是。0的切

线.

此题重点考查等腰三角形的性质、圆内接四边形的对角互补、垂径定理、等边三角形的判定与性质、切线

的判定定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

25.【答案】解：（1）延长尸G交CO于点P,如图1,

图1

AGFR=，/?="=90°.

•••四边形是矩形，

:.PF=BC=4,

PC=BF=OB-OF=1,

：.DP=CD-PC=3,

•••DU=7DP2+Pl]?=J32+(4+2/=3/5;

(2)连接OG,

•••FG=2,OF=1,OG=Vl2+22=

.••点G在以点O为圆心，OG长为半径的圆上，

・•・当点G在线段OD上时，OG取得最小值；当点G在力O延长线上时，OG取得最大值;

vOA=2,AD—4,

•••0D='22+42=2/5;

如图2,

DG最小值为2V3—V_5=V~5;

图3

DG取得最大值为2A/34->/~5=3>/~5.

综上，OG最小值为门