2023-2024学年上海市宝山区九年级下学期期中考试数学试卷含详解

宝山区2023学年第二学期期中考试

九年级数学试卷

考生注意：

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无

效.

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的

主要步骤.

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项

是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.若二次根式有意义，则x应满足的条件是（）

A.x>0B.x>0C.X>1D.x>l

2.如果关于X的一元二次方程%—m=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是（

11

A.-1B.——C.——D.1

44

3.下列函数中，y值随x值的增大而减小的是（)

A.y=2x2+1B.y=-2x2+1

C.y=x+lD.y=-x+l

4.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）

5.上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQ/）

28,26,26,37,33,40,117,这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是

（）

A.平均数B.中位数c.众数D.方差

6.如图，_ABC中，ZC=90°,AB=5,tai^B=-f如果以点。为圆心，半径为R的:C与线段A5有两个

2

交点，那么cC的半径R的取值范围是（）

C

AB

A.2<R<^5B.2<R<45

C.45<R<2y/5D.Q<R<45

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.计算：a6^a2=.

8.因式分解：m2_3m=•

X—1

9.不等式—<0的解集是.

2

10.方程J2—x=—x的解

11.我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化

的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为H400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是

12.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28

只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为

只.

13.《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺.问木长几

何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长

尺.

14.如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设AB、

的中点分别为M、N,如果W=3米，那么AC=米.

15.如图，正六边形A3CDEE,连接OE、OD,如果OD=a,OE=b，那么AB=

16.为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半

圆形组成的活动场地（如图），矩形A3CD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆。的直径，弦EF与

CD平行.已知所长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳

17.如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②

的面积之比"的比值为

C、。重合），把△AOE沿着直线AE翻

折，如果点。落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

2

19.计算：“一

31

20.解方程：—+1

x+12x

如图，在平面直角坐标系xQy中，直线y=x+3与彳轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数y=&的图像

21.

X

交于点C（2,〃z）.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)过点C作x轴的平行线/,如果点。在直线/上，且CD=3,求△AB。的面积.

22.小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷(如图1),图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC=6米，与水平面的夹角

为17.5。，靠墙端A离地高度A3=5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角NCD产=36.9。，夏至正午太阳光

照入射角NC即=82.4。，因此，点。、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度。E

的长.(结果精确到01米)参考数据：sinl7.5°®0.3,cosl7.5°«0.95,tanl7.5°®0.32；

sin36.9°«0.6,cos36.9°«0.8,tan36.9°«0.75；sin82.4°®0.99,cos82.4°«0.13,tan82.4°®7.5.

图1图2

23.如图，在：。中，直径A5垂直于弦CD,垂足点、E,连接AC、DO,延长。。交AC于点?

(1)求证：AF2=OFDF-,

(2)如果CD=8,BE=2,求OP的长.

24.在平面直角坐标系中(如图)，已知开口向下的抛物线丁=。必一2%+4经过点P(0,4),顶点为A.

P(0.4)

Ox

(1)求直线Q4的表达式；

(2)如果将一PQ4绕点。逆时针旋转90。，点A落在抛物线上点。处，求抛物线的表达式；

(3)将(2)中得到的抛物线沿射线巴4平移，平移后抛物线的顶点为3,与y轴交于点C,如果PC=J5AB，

求tanNPBC的值.

25.已知A3是半圆。的直径，C是半圆O上不与A、8重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直

径AB于点。，E是点。关于直线AC的对称点.

备用图

(1)如图，点。恰好落点。处.

①用尺规作图在图中作出点E(保留作图痕迹)，连接AE、CE、CD,求证：四边形49CE是菱形;

FG

②连接BE,与AC、CD分别交于点尸、G,求——的值；

BE

(2)如果AB=10,00=1,求折痕AC的长.

宝山区2023学年第二学期期中考试

九年级数学试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项

是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.若二次根式K不有意义，则x应满足的条件是（）

A.x>0B.x>0C.x>1D.x>l

【答案】D

【分析】由题意知，x-l>0,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，%-1>0,

解得，x>l,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件.解题的关键在于对知识的熟练掌握.

2.如果关于龙的一元二次方程式―%—加=0有两个相等的实数根，那么实数机的值是（）

【答案】B

【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是数量掌握一元二次方程根与系数关系：一元二次方程有两

个相等的实数根时，=0；有两个不相等的实数根时，_>0；无实数根时，二<0.题中方程有两个相等实数根,

=0,列出式子，求解加的值即可.

【详解】解：根据题意可得：=0,

即：（—1）2—4x1x（—根）=0,

解得：m=-—,

4

故选：B.

3.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）

A.y=2x2+1B.y--2x2+1

C.y=x+\D.y=-x+l

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.根据二次函

数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.y=2x2+l,当x<0时，y的值随尤值的增大而减小；当尤>0时，y的值随尤值的增大而增

大，故该选项不符合题意;

B.>=—2炉+1,当％<0时，y值随尤值的增大而增大；当x>0时，y的值随尤值的增大而减小，故该选项不

符合题意；

C.y=x+l,y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；

D.y=-x+l,y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；

故选：D.

4.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）

1111

A.-B.—C.-D.-

6423

【答案】B

【分析】利用树状图法列出连续两次掷一枚质地均匀的硬币会出现的所有情况，看两次都正面朝上的情况占总情况

的多少即为所求.

【详解】解：画树状图如图所示：

正反

共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是

4

故答案选：B.

【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键.

5.上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQ/）

28,26,26,37,33,40,117,这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是

（）

A,平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差的意义，平均数可以反映一组数据的平均水平，但是容易受

极端值的影响，方差能反映一组数据的波动程度，众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据，中位数能反映一

组数据中处在最中间的数据，不受极端值影响，据此可得答案.

【详解】解：根据题意可得，平均数和中位数都能反映这一周空气质量平均水平，但是平均数容易受极端值影

响，中位数不受极端值影响，

•••能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，

故选：B.

6.如图，A5C中，ZC=90°,AB=5,tanB=-,如果以点C为圆心，半径为R的C与线段A3有两个

2

交点，那么C的半径R的取值范围是（）

A.2<R<45B.2<R<45

Cy/5<R<2y/5D.Q<R<45

【答案】A

【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系.根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点A时有两

个交点，再结合图形即可得出答案.

【详解】解：•••tanB='，

2

.AC_1

••一,

BC2

设AC=a,则3c=2a,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即4+（2a『=52,

解得a=占，

，AC=逐，BC=25

过点C作CDLA5于点

ACxBC75x275

~AB—-5

如果以点C为圆心，半径为R的；C与线段A3有两个交点，那么（C的半径R的取值范围是2<R〈君,

故选：A.

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7计算：々6+/=.

【答案】/

【分析】本题考查了同底数募相除，根据同底数基相除，底数不变，指数相减计算即可.

【详解】解：

故答案为：a4.

8.因式分解：m2—3m=.

【答案】m(m-3)

【分析】题中二项式中各项都含有公因式加，利用提公因式法因式分解即可得到答案.

【详解】解：m2—3m=m(m-3),

故答案为：制3).

【点睛】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键.

X—1

9.不等式—<0的解集是.

2

【答案】x<l

【分析】本题考查了解不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项可得.

X—1

【详解】解：<0

2

*,•%—1<0,

••%〈1,

故答案为：x<l.

10.方程,2—x=—x的解

【答案】x=-2

【分析】两边平方后解此无理方程可得.

【详解】解：两边同时平方可得：2-x=x2,

解得：Xl=-2,X2-1,

检验得x2=l不是方程的根，

故a=—1,

故答案为。=-1

【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需

验根.需要同学们仔细掌握.

11.我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化

的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是

【答案】1.14x10“

【分析】本题主要考查科学记数法，理解科学记数法中”的取值方法是解题的关键.科学记数法的表达形式是

ax10%l<a<10,"是小数点向左移动的位数或所有整数位数减1,由此即可求解.

【详解】解：11400亿=1140000000000=1.14x1012,

故答案为：1.14x1012.

12.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28

只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为

只.

【答案】560

【分析】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确.用

1000乘以抽查的灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡所占的比例即可.

【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为1000X京=560只，

故答案为：560.

13.《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺.问木长几

何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长

尺.

【答案】6.5

【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，

木条长度多一尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺，

x-y=4.5

依题意，得：\1

y——x=1

I2

故答案为：6.5.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

14.如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设AB、

的中点分别为M、N,如果MV=3米，那么AC=米.

【答案】6

【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线定理求解即可.

【详解】解：N是AB、的中点，

/.AC=2MN,

,:MN=3米,

AC=6米，

故答案为：6.

15.如图，正六边形ABCDEE,连接OE、OD,如果OD=a,OE=b，那么AB=

【答案】d-b^—b+a

【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接

BD,先由正六边形的性质可得AB=DE=5C=CD,ZABC=ZC=ZCDE=120°,进而求出

ZABD=ZBDE=90°,则可证明得到A5=ED，则AB=ED=OQ—OE=a.

【详解】解：如图所示，连接BD，

6

由题意得，AB=DE=BC=CD,NA3C=NC=NCDE=⑻"(一夕=120°,

6

ZCBD=ZCDB=30°,

：.ZABD=ZBDE=90°,

AZABD+ZBDE=1SQ0,

/.AB//DE，

AB=ED，

•：OD=a,OE=b，

•••AB=ED=OD—OE=G—b，

故答案为：a-b-

16.为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半

圆形组成的活动场地（如图），矩形A3CD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆。的直径，弦EF与

CD平行.已知所长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳

【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过。作。G_LEF于G,交弧于X,连接

0E,利用垂径定理求出EG=4,设半圆的半径为广，在Rt^EOG中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形

ABCD的面积，即可求解.

【详解】解：过。作OG_LEF于G,交弧于H,连接

则"G=2,AB=CD,

VOG1EF,EF=8,

EG=-EF=4,

2

设半圆的半径为r,则OG=r—2,

在RtAEOG中，OE1=EG2+OG2,

r2=42+(r-2『，

解得厂=5,

/.CD=2r=10

正方形边长AB=10,

5c=10—5=5,

矩形ABCD的面积为5x10=50m2,

:每平方米最多可以坐3名观众,，

观演区可容纳50x3=150人，

故答案为：150.

17.如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②

的面积之比U的比值为.

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明

514

ABC^EDC,可求出AC=—AE,利用平行线分线段成比例可求出AG=—AE,AK=-AE,进而求出

725

33

CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,然后证明LCKHSQCG/,根据相似三角形的性质求解

即可.

【详解】解：如图,

根据题意，得AM=5,AN=8,AD=10,DE=2,AB//FG//KH//DE,

AB//DE，

：.ABCyEDC,

•AB_5

''EC~DE~1,

52

/.AC=-AE,CE=-AE,

77

•：MG//DE,

.AGAM_1

"AE~AD~2'

：.AG^-AE,

2

4

同理AK=gAE,

33

：.CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,

1435

.CGj4AE5

••CK3AE2,

35

FG//KH,

:.CKHsCGF,

S2{CGJ（5J25

4

故答案为：—.

4

18.如图，菱形ABC。的边长为5,cosB=-,E是边CD上一点（不与点C、。重合），把△AOE沿着直线AE

翻折，如果点。落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为.

40

【答案】百

【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得Ab=AD=A3,过点A作AH，5C

CG4

于点H,过点E作石G_LC»于点G,得5H=〃R=4,Cb=3,由菱形的性质得=可得——=—，设

CE5

CG=4y,则CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折叠得EF=DE^5-5y,而FG^FC-CG=3-4y,在

RtAEFG中由勾股定理得（3—4yf+（3y）2=（5-5y）\解方程求出》的值即可解决问题

【详解】解：过点A作AHL3C于点H,过点E作石G_LCE于点G,点。与点E重合，如图，

丸-----------力

由折叠得，AF=AD=AB-5,

/.BH=AH,

,0BH4

•cosNB---——,

AB5

:.BH=4,

：.BF=2BH=8,

FC=AF-AC=8-5=3,

•.•四边形A3CD是菱形，

CD//AB,

：.NDCF=ZB,

4cG

cosNDCF=cosNB=—=—

5C

设CG=4y,则CE-5y,FG=CF-CG^3-4y,

由折叠得，EF=DE=5-5y,

在中，由勾股定理得,EG=JCE2-CG2=3y,

在RNFEG中,由勾股定理得，EG2+FG2=EF2,

••（3y）2+（3-4y）2=（5-5y）2.

Q

解得，y=­，

13

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

2

19.计算：83_-1

【答案】企

【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分数指数幕，负整数指数基，先计算分数指数幕，再计算负整数指

数累，然后分母有理化和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案.

2

【详解】解：85_-1

=4--——(3-

V2-1、

A/2+I

=4--3+2A/2

(72-1)(72+1)

=4—鲁—3+20

=4-&-1-3+20

=\/2•

31

20.解方程：--=—+1

x+12x

【答案】x=1或%=工

2

【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后

检验即可.

31

【详解】解：--=—+1

x+12x

去分母得：6x=x+1+2x(x+1),

去括号得：6%=%+1+2%2+2%，

移项得：——2%2=1,

合并同类项得：3x-2x2=1.

2x2-3x+l=0>

解得1=1或%=’,

2

经检验，％=1和％=工都是原方程的解.

2

21.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数y=人的图像

X

交于点C（2,m）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点C作了轴的平行线/,如果点Z）在直线/上，且CD=3,求△A5D的面积.

【答案】（1）y=—

x

9

⑵-

2

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：

（1）先利用一次函数解析式求出点C坐标，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可;

1

（2）先求出A、B坐标，再根据S^BAD=5AAs-SmcD进行求解即可.

【小问1详解】

解：在y=x+3中，当尤=2时，y=x+3=2+3=5,

AC（2,5）,

把C（2,5）代入丁=月中得：5=-,

x2

左=10,

...反比例函数解析式为y=3

x

【小问2详解】

解：..•直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,

.♦.4(-3,0),6(0,3),

S/\BAD

CD

—x3x5—x3x(5-3)

22

9

2

22.小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1）,图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC=6米，与水平面的夹角

为17.5。，靠墙端A离地高度A3=5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角NCD9=36.9。，夏至正午太阳光

照入射角NCM=82.4。，因此，点。、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度OE

的长.（结果精确到01米）参考数据：sin17.5°«0.3,cosl7.5°«0.95,tan17.5°«0.32；

sin36.9°®0.6,cos36.9°«0.8,tan36.9°«0.75；sin82.4°«0.99,cos82.4°«0.13,tan82.4°«7.5.

图1图2

【答案】3.8米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.过C作于G,CH_LDE于H,在Rt_ACG中，利用正弦

函数的定义求得AG的长，在RtZkCE"中，在RtaCDH中，再利用正切函数的定义求出EH,的长，即

可求解.

【详解】解：过C作。GJ_AB于G,CHLOE于H,

四边形CGB”是矩形,

CH=BG,

在Rt_ACG中，AG=AC-sinZACG=6xsinl7.5«6x0.3=1.8,

又AB=5,

：.CH=BG=AB-AG=3.2,

CH3.23.2八c

在Rt^CE"中，EH=........------X——X0.43,

tanACEHtan82.4°7.5

CH3.2~3.2

在RtZkCDH中,DH=土4.27

tanZCDHtan36.9。~访

DE=DH-EH=4.27-0.43«3.8,

答：该区域深度OE的长为3.8米

23.如图，在。中，直径A5垂直于弦CD,垂足为点E,连接AC、DO,延长。。交AC于点?

(1)求证：AF2=OFDF;

(2)如果CD=8,BE=2,求O尸的长.

【答案】（1）见解析⑵fl

【分析】（1）利用垂径定理得出CE=O£,利用线段垂直平分线定理得出AC=4）,利用等腰三角形三线合一性

质得出NE4O=NZMO,利用等边对等角得出4MO=NOZM,等量代换得出=,可证

_AFO^_DFA,再利用相似三角形的性质即可得证；

（2）在RtAJ）EO中，利用勾股定理求出半径，在中，利用勾股定理求出A。，然后利用（1）中相似

三角形性质求解即可.

【小问1详解】

解：连接AD,

:直径A3垂直于弦CD,

/.CE=DE=-CD,

2

AELCD,

：.AC=AD,

：.ZFAO=ZDAO,

,:AO=DO,

：.ZDAO=ZODA,

：.ZFAO=ZODA,

又NAFO=NDE4,

A..AFO^,DFA,

.AFDF

**OF-AF，

・・・AF2=OFDF

【小问2详解】

解：:CE-DE——CD,CD=8,

2

CE=DE=4，

设半径为r,

'：BE=2,

OE=r—2>

在中，OE+DE2=DO°，

.,.(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

：.OE=3,AE=AO+OE=8,

AD=ylAE2+DE2=4A/5>

^AFO^^DFA,

.AL_O^_AO上乙="=工

DFAFAD'OF+5AF4^/5

4小OF=5AF

整理得《

5OF+25=4A/5AF

解得。尸=一

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加

合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键.

24.在平面直角坐标系xQy中（如图），已知开口向下的抛物线y=a%2—21+4经过点P（0,4）,顶点为A.

AO,4)

（1）求直线Q4的表达式；

（2）如果将,PQ4绕点。逆时针旋转90。，点A落在抛物线上的点。处，求抛物线的表达式；

（3）将（2）中得到的抛物线沿射线K4平移，平移后抛物线的顶点为8,与y轴交于点C,如果尸。=«46，

求tanNPBC的值.

【答案】（1）y=-x+4

⑵」

2

⑶-

3

【分析】（1）把抛物线解析式转化为顶点式，然后设直线Q4的表达式为丫=履+方，把A、尸坐标代入求解即可；

（2）先判断顶点A在第二象限，设旋转后A的对应点为。证明.AMO咨&ONQ,可求出。的坐标，然后把。的

坐标代入y^ax2-2x+4求解即可；

（3）设平移后抛物线表达式为y=—^"-根了+4-zn,求出8（机,4一加），C^0,-1-m2-m+4^,利用两点

间距离公式求出AB=J（/n+2『+（冽+2『=V2|m+2|,PC=--m2-m+4-4=—m2+m,

PC=®AB，结合=J5xJ1W+2],求出川的值，根据平移可得力<—2,从而求出B（T,8）,

C（0,0）,过C作CDLB4于£>,求出PD=CD=2jLBD=6®，然后在RtBCD中，根据正切定义求

解即可.

【小问1详解】

解：,•*y=ax2-2x+4=a+4—,

4

—,4——

aa

设直线己4的表达式为y=履+3,

k=—l

解得《

b=4

•••直线PA的表达式为y=-x+4；

【小问2详解】

解：由抛物线开口向下，且过P（0,4）,

...A在第二象限，

设.PO4绕点。逆时针旋转90°,A的对应点0,如图所示，过点A、。分别作AA/Ly轴，QV_Ly轴，垂足

：.OA=OQ,ZAOQ=90°,

：.ZAOM=ZOQN=90°-NQON,

又ZAMO=ZONQ,

：._AMO^ONQ,

：.AM=ON,OM=QN,

VA|-54--|,

vaa)

：.AM=ON=QN=OM=4--,

a

.,.el--4,-1，

\aa)

代入,=奴2一2X+4,得a仕一4]-2|--4j+4=—,

\aJya)a

整理得8a2+2a-l=0，

解得。]=一万，=—(舍去)

经检验，。］二是原方程的解，

2

・•・〃的值为一—；

2

【小问3详解】

解：由（2）知：y=—2x?—2x+4=—+2）+6,A（—2,6）,

17

设平移后抛物线表达式为y=-］（%-冽）+4-m,

2

19-m+4,cf0,-^-m-m+4j,

当％=0时，y=--m2

・•・AB=

PC=--m2-zn+4-4=-n^+m,

22

PC=42AB，

-m2+m=5/2xy/2|m+2|,

2

I.g加2+机=2（加+2）或g冽2+m=—2（机+2）,

解得g=4,?=-2,砥=一4,砥=一2,

・・,抛物线沿射线平移，

・・・8在A左上方，

m<-2,

m=-4,

.•.6（-4,8）,C（0,0）,

•••BP=胪+岱_4/=,

过C作CDLB4于D,

B

40.4)

\D

在RtZkC。尸中，ZDPC=45°,PC=4,

PD=CD=272，

BD=DP+PB=6母，

DB603

【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，勾股定理，正切的定义等知识，明确题意，正确添加辅助线、运用

数形结合思想是解题的关键.

25.已知A3是半圆。的直径，C是半圆。上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直

径A5于点。，E是点。关于直线AC的对称点.

备用图

（1）如图，点。恰好落在点。处.

①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接AE、CE、CD,求证：四边形AZXE是菱形;

FG

②连接跖，与AC、CD分别交于点尸、