湖南省A佳教育2023-2024年高三年级下册5月模拟考试数学试题含答案

湖南省A佳教育2023-2024年高三下学期5月模拟考试

A佳教育-2024年5月高三模拟考试

数学

(本试卷共5页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.某台机器每天生产1060。个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数

依次为：8,12,9,18,16,17、15,9；18,20.13.11,则这组样本数据的中位

数与第60百分位数之和是

A.29B.30C.30.5D.31

2.双曲线C：4-，=1(。＞0)的上焦点后到双曲线一条渐近线的距离为巴，则双曲线

a2

两条渐近线的斜率之积为

A.-4B.4C.-2D.2

3.已知加，〃是两条不重合的直线.a,夕是两个不重合由平面，下列命题正确的是

•4

A.若mHa,〃〃仇a〃£,则加〃〃

B.若mua,nua,加〃£,n///3,则a〃6

C.若？n_La,m//n,a_L£,贝U

D.若加_La,nl.ft,mLn,贝！Ja_LQ

4.已知函数/(x)的导函数是/'(x),且/'(x)=x3,p=]n3,q=l0gH3,则下列命题正确

的是

Af(~p)<f(q)B.-(p)>fQq)

5,若5cos2c-sin2a=—----tan22a,贝！］tana=

cos2a

A.-B.—1C.1

3

数学试题卷第1页共5页

6.已知一个多边形的周长等于207cm,所有各边的长成等差数列，最大的边长为42cm.

公差为3cm,则这个多边形的边数为

A.4B.6C.23D6或23

7.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线,还

有两人差几分上线，这两名学生准备从A,B,C,D,E,F这6所大学中任选三所

大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大

学的概率为

A18口10「91

A.—B.—C.—D.—

19191919

8.已知尸2是椭圆C：4+4=1(。>6>0)的左、右焦点，O是坐标原点，过四

ab

作直线与C交于43两点，若⑷且△。"2的面积为邛火则椭圆。的

6

离心率为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知f(x)=4sin(t»x+/)(4>0,/>0，。<9(兀)是某个简谐运动的函数解析式,

其部分图象如图所示，则下列命题正确的是

A.3=2

B.这个简谐运动的初相为£或学

OO

C./(X)在—,3n上单调递减

2

D.将函数/(x)的图象向左平移?个单位长度得到的图象7寸应的函数是偶函数

6

数学试胭卷第2页共5页

10.如图，在棱长为2的正方体"CO/iBiGG中，点P是正方体的上底而A\B\C\D\

内(不含边界D的动点，点。是棱8C的中点，则以下命题正确的是

A.三棱锥0-PC。的体积是定值

B.存在点P,使得P0与所成的角为60。

C.直线PQ与平面AxADDx所成角的正弦值的取值范围为

若P*也则尸的轨迹的长度为警

D.

II,已知定义域为R的函数/(X),g(x),r(x)是/(x)的导函数，且满足：

八x)+g(x)=-/'(4-x)+g(x-l)=2,g(x)-2是奇函数，则下列判断正确的是

2024

A./(x)是奇函数B./'(3)=0C.g⑴+g⑵=2D,fg⑴=4048

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若定数zi,Z2是方程x2-2r+10=0的两根，贝Uz；++2z2=.

13.已知4B=4,点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点4的距离是

它与点8的距离的尤倍，则的取值范围为.

14.对集合A={-\,2,x,y},其中x>0,y>Q,定义向地集合C={0。=(州,〃)，加,

neA},若对任意qsC,存在。使得。则x+y=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背低、望城光明村彭家老屋、

浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三

所高级中学A.B.C组织学生去这四个兔区春游，已知A,B两所学校去每个兔区

春游的可能性都相同，c学校去岳笳区含泰社区春游的可能性为;，去其它三个兔

区春游的可能性相同.

(J)求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；

(2)长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.

数学幽卷第3页共5页

16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，

BC//AD,R4=AB=BC=1,3=2,PC=6,应J"平面

ABCD.

(1)求证：平面PBCJ■平面我8;

(2)在棱尸。上是否存在一点E,使得二面角E-AC-P的余弦值为y--若存在,

求出PE：EO的值；若不存在，请说明理由.

17.(15分)已知抛物线E：产=2.(p>0)的焦点为死过尸且斜率为2的直缪

E交于45两点，国|=10.

(1)求E的方程；

(2)直线/：x=-4,过/上一点尸作E的两条切线PMPN,切点分别为跖N.1

证：直线跖V过定点，并求出该定点坐标.

18.(17分)已知函数/(力=四2'-(公+2-4%*+1炉

2

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

数学试题卷第4页共5页

19.(17分)角谷猜想，也称为“3〃+1”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是

偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1,如此反复运算,该数最

终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1"现象的猜想.假如对任意正整

数ao(aoN2),按照上述规则实施第1次运算后的结果记为内，实施第2次运算后的

结果记为以，…，实施第〃-1次运算后的结果记为(t，实施第〃次运算后得到数

I,停止运算,便可以得到有穷数列｛%｝：g,…，%,1,其递推关系式为：

34+1%为奇数

a(A=0,1,2,….n—\),ao叫做数列｛为｝的原始项.将

y4为偶数

n%+1|4为奇数

此递推关系式推广为：4川=〈4w座%(%=°，1，2,…，w-1;2GZ,

y/为偶数

且40),其它规则不变，得到的数列记作出叫数列，试解答以下问题:

(1)若。。=5,则数列｛3〜%｝的项数为;

(2)求｛-1〜即｝数列的原始项的的所有可能取值构成的集合；

(3)若对任意的“〜如数列，均有〃4210gz，+d,求d的最小值.

数学试题卷第5页共5页

A佳教育-2024年5月高三模拟考试

数学

(本试卷共19题，考试用时120分钟，全卷满分150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数

依次为：8,12,9,18,16,17,15,9,18,20,13,11,则这组样本数据的中位

数与第60百分位数之和是

A.29B.30C.30.5D.31

【答案】B

【解析】零件个数按从小到大排列为：8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,

18,20,所以中位数是"/=14；12x0.6=7.2,所以第60百分位数是第8个数

为16.故样本数据的中位数与第60百分位数之和14+16=30.故选：B.

2.双曲线C：的上焦点尸2到双曲线一条渐近线的距离为白，则双曲线

a2

两条渐近线的斜率之积为

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】A

【解析】尸2(0,c),设渐近线方程y=ox,由点到直线的距离公式可得：

C

-7—=1=^,：,a=2f两条渐近线的斜率为质=2,友=-2,kiki=-4.故选：A.

VI+a2

3.已知加，〃是两条不重合的直线，a,。是两个不重合的平面，下列命题正确的是

A.若加〃a,n〃B，a"B，J0!|m//n

B.若mua,naa,m//fi,〃〃£,则

数学试题卷第1页共16页

C.若mJLa,m//nta邛,则〃_L。

D.若胆J_a,nX.fi,mLn,则以_1_£

【答案】D

【解析】对于A,若力〃a，a//fit则〃〃以或〃ua,所以m,九相交、平行、异面

都有可能，JA错误；对于B,若加ua,"U«,小〃£,〃〃£,则ot与£相交或平

行，，B错误；对于C,若/M_La,m//n,则〃_La,又aJL。，所以〃〃6或〃q?,

・・・C错误；对于D,若加_La,n1fltm±w,则由面面垂直的判定定理得aJLQ,

，D正确.故选：D.

4.已知函数/(x)的导函数是/'(X),且/'(x)=7,p=ln3,q=logn3,则下列命题正确

的是

A.f(-p)<f(q)B./®>/(2q)

【答案】B

【解析】由题意知：/(x)=ix4+c,，(x)是偶函数，且在(0,+00)上单调递增,

4

又p=ln3>l,0<^=logu3<l,,*.0<g<l<p,"-p)=/(尸)>f⑷，：・A错

误；对于B,Vvp-2g=In3-2logi13=In3-logj19>Ine-logtj11=0,

：.p>2q>Qtf(p)>/(2q),正确；对于C,由0<q<l<p,

--11c

可得：—>—>o

qp\P)

对于D,—+1--=log3e+1—log311=log3YY<log31=0,,

fl

f上+l<f,・・・D错误.故选：B.

数学试题卷第2页共16页

2

5.若5cos2a-sin2a=——\----tan2at贝！)tana=

cos2a

A.-2B.-1C.1D.一1或2£

33

【答案】A

【解析】由5cos2a-sin2a=—\—-tan22a,可得

cos2a

5(cos2a-sin2a)-2sinacosa=——l——-=1=sin2a+cos24(cos2a#0),两边同

cos2acos22a

2

豺除以2cos2”，并整理可得：3tan2a+tana-2=0,解得：tana=§或tana=-1,当

2

tana=-l时，sina=-cosa,cos2a=0,不符合题意，舍去..*.tana=—.故选：A.

6.已知一个多边形的周长等于207cm,所有各边的长成等差数冽，最大的边长为42cm,

公差为3cm,则这个多边形的边数为

A.4B.6C.23D.6或23

【答案】B

【解析】设多边形的边数为n,最长边长为为=42,最短边长为斯，则公差〃=-3,

且诙>0,由多边形的周长等于207cm,可得42〃+及匚»X(-3)=207,解得：n=6

2

或〃二23,当〃=6时，G6=42+5x(-3)=27,符合题意；当〃=23时，

a23=42+22x(-3)=-24<0,不符领意，舍去.综上可知：n=6.故选：B.

7.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还

有两人差几分上线，这两名学生准备从A,B,C,D,E,F这6所大学中任选三所

大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大

学的概率为

【答案】C

数学试题卷第3页共16页

【解析】由题意可知：这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数为：

C"CxC=180,这两名学生选择了相同大学的方法总数为：

CxCxC+CxCxC+C=380,工尸=鬻=4.故选：C.

22

8.已知乃，后是椭圆C：5+多=1(a>b>0)的左、右焦点，。是坐标原点，过B

alr

作直线与。交于4。两点，若M尸2|="|,且△。4%的面积为季氏则椭圆。的

6

离心率为

A.正B.@C.3D.迫

12632

【答案】C

【解析】设/为4%=&则以心=2x包反二加班”.•.6=3,由

L\UAr2623

ir

\AF^=\AB\,ZBAF2=-,可得△/研为正三角形，

・・・4«=幽+|典|+⑷=3|盟|,・・・|网卷，胸|哼=|明,••尸1是"的

22=

中点，••・ZB_LFIF2,・•.(竺)=4c+f—"I,Ae=4Le=^~.故选：C.

I3)I3)a133

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知，(x)=/sin3x+e)(2>0,t»>0,0<0<兀)是某个简谐运动的函数解析式,

其部分图象如图所示，则下列命题正确的是

A.a)=2

B.这个简谐运动的初相为£或令

66

数学试题卷第4页共16页

C./(x)在今,3兀上单调递减

D.将函数/(x)的图象向左平移m个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数

6

【答案】AD

【解析】由函数图象可知，幺=2,当x=0时，/(0)=2sinp=l,又0＜卬(冗,

.••9=3或9=学~,当3=多"时，XG0,—时，/(%)不单调递增，不符合题意，

666L6_

：.(p=~,AB由/(3]=2siii+二]=2,可得：a)=12k+2,R£Z),又

6⑷I66/

，冗7T9TT

。>0,周期T~—>4x———,，o<3,**k=Q,(0=2,«*•A正确；

o63

冗

/(x)=2sin2x-\■—,当xe时，5TI+—<2X+—<6TC+—,此时f(x)不单调

I6J2666

递减.，C错误；对于D,将函数/(x)的图象向左平移三个单位长度得到的图象对应

6

一，元、冗1

的函数解析式为：g(x)=2sin2x+—+—=2sin(2x+K)=2cos2x,

.V6J6」

・・・D正确.故选AD.

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，点尸是正方体的上底面AiBiCiDi

内(不含边界)的动点，点0是棱BC的中点，则以下命题正确的是

A.三棱锥0-尸8的体积是定值

B.存在点P,使得尸。与例所成的角为60。

C.直线P0与平面4血1所成角的正弦值的取值范围为

若PDi=PQ,则尸的轨迹的长度为半

D.

4

数学试题卷第5页共16页

［答案1ACD

ii4

【解析】对于A,0一尸8=/-℃0=上、上乂卜2、2=—(定值)，・・・人正确；以小为坐标

323

原点，43为x轴，出。1为y轴，441为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

0(2,1,1)，设P(x,九0)(0<x<2,0<y<2),则声=(%-2,y-l,2).

对于B,AA.=(0,0,2),P0与44i的夹角a满足:

居•羽|2x2

priQCf-J________L_____________________________e(|,1),

8S”网.网-2XJ(A2>+(…)2+4

・・.B错误；对于C,平面44DA的法向量为：w=(l,0,0),

・••直线PQ与平面A\ADD\所成的角p的正弦值为：

.0\x-2\/n队

sm尸二/；2五(°'丁)，，C正确；

V(X-2)2+(^-1)2+42

对于D,2)1(0,2,0),D^P=(x,y-2,0),由尸Zh=P0,

可得：2产=(%-2)2+(y-1)2+4,化简可得：4x-2y-5=0,在xAiy平面内,

35

令％=2,得尸-冷尸0,得％=彳，所以尸的轨迹的长度为:

・・.D正确.故选：ACD.

11.已知定义域为R的函数/Q),g(x),/'(X)是，a)的导函数，且满足：

f\x)+g(x)=-ff(4-x)+g(x-l)=2,g(x)-2是奇函数，则下列判断正确的是

2024

A.7'(")是奇函数B.八3)=0C.g(l)+g⑵=2D.£g(z)=4048

/=1

［答案】ABD

［解析1・・"‘a)+g(x)=2,・•.r(r)+g(-x)=2,

:./'(%)+g(x)+f'(.-x)+g(-x)=4,又g(x)-2是奇函数，

数学试题卷第6页共16页

:.g(-x)-2=4g(x)-2],从而氟一%)+氟x)=4;，/'(x)+/'(一x)=0,

即/'(T)=-/'(%),・・・/'(乃是奇函数，，A正确；对于B,在虱-力+的)=4

中，令x=0,可得：狼0)=2,在-/'(4r)+g(x-l)=2中，令x=l,可得：

-/'(3)+g(0)=2,从而/'(3)=0,，B正确；对于C,在-/'(4-x)+g(x-l)=2

中，以4一%代”,可得：一/'(x)+g(3—汾=2,与/'Q)+g(x)=2求和，可得：

以3-力+虱X)=4,令x=2,可得式1)+式2)=4,，C错误；对于D,

由虱一%)+虱%)=4以及或3_/+虱力=4,可得：g(-x)=g(3-x),

从而虱3+%)=虱%),，或x)是周期为3周期函数，g(3)=g(0)=2,

2024

£g(0=674x榜(1)+g(2)+虱3)]+虱1)+式2)=674x6+4=4048.

；.D正确；故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数Zi,Z2是方程3-2«+10=0的两根，则z；+z/2+2z2=.

【答案】4

【解析】法一：由f-2x+10=0,可得：a-lpn-9,；・X-I=±3i,不妨令

2

zi=l+3i,z2=l-3i,/.+ziz2+2z2=(1+3i)+(1+3i)-(1-3i)+2(1-3i)=4.

法二：由韦达定理可得：Zl+Z2=2,Z122=10,

:.42+z\zi+2Z2=—10+2zi+ziZ2+%=—10+2(zi+22)+2121=-10+4+10=4.

13.已知48=4,点尸是以线段相为直径的圆上任意一点，动点M与点4的距离是

它与点B的距离的也倍，则|PM的取值范围为.

【答案】[0,8+4^]

【解析】以48的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标

数学试题卷第7页共16页

+2222

系，设4（一2,0）,5（2,0）,M（xty）,则：7（*）+/=>/2yl（x-2）+y,化简

得:炉+炉一121：+4=0,即（％-6）2+「=32,所以点M的轨迹是以0（6,0）为圆

心，45历为半径的一个圆，。。与。。的位置关系是相交，所以04PMi48+4>历.

14.对集合A={-lt2,x,y}t其中x>0,y>Qt定义向量集合G={。|。=伽,篦），m,

neA}t若对任意.GQ,存在使得娱则x+片.

【答案】5或1+近

【解析】取"1=（2,2）,。2=（5,。，由。可得：。1。。2=0,从而：s+f=0,

:.s,t一定是一正一负，不妨令s<f,则s=-1,t—1,»»t=1^A,

••A={_1,2,1,m}（m>0）,取。1=伽，2）,由01，畋=0,可知：畋=（一1,6）或

畋=©,-l）（Z>>0）,当收=（一1,b）时,由（小，2）-（-1,协=0可得：m=2b,

又8£{-1,2,1,m）,・・・5=1或2,从而m=2或4.若m=2,此时集合Z不满

足集合中元素的互异性，・・・m=4.当。2=@,-1）时，由伽，2）•（瓦-1）=0,可得：

加1=2,此时8=1,m=2（不满足题意，舍去）；或m=1,6=2（不满足题意，舍

去）；或方=冽=&.综上可知：x+y=4+l=5,或x+y=l+>/^.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、

浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三

所高级中学A,B,C组织学生去这四个景区春游，已知A,B两所学校去每个景区

春游的可能性都相同，c学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为;，去其它三个景

区春游的可能性相同.

（1）求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；

（2）长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.

数学试题卷第8页共16页

io

【答案】（1）白（2）分布列见解析；数学期望：1

963

【解析】（1）由题意知：A,B两所学校去每个景区春游的概率都是……2分

C学校去岳麓区含泰社区春游的概率为工，去其它三个景区春游的概率为L…4分

26

所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为：P=丫X2.=J_；…6分

⑷696

（2）由题意可得：长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0,1,2,3,

3

PCX=0)=仆Yx-=—；p(jr=i)=|-8分

632'“(416244632

…小CY5-13111…八f1Y11

P(X=2)=_x—f-Cx_x_x_=—;P(X=3)=_Ix_=—.10分

71^4J62744696(4J696

所以长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列为:

X0123

1513111

P■,一

32329696

1513111?

W^^)=0x-+1x-+2x-+3x-=................................................13分

16.（15分）如图，四棱锥P-4BCD的底面QCD是梯形，

BC//AD,PA=AB=BC=\,AD=2,PC=百，平面

ABCD.

（1）求证：平面尸3CJL平面EIS；

（2）在棱加上是否存在一点E,使得二面角E-AC-P的余弦值为主.若存在,

求出的值；若不存在，请说明理由.

1

【答案】（1）见解析2)2-

【解析】（1）:久，平面48cD,：,P4±AC,P4±BC,2分

数学试题卷第9页共16页

-AC=>IPC2-P^=A/T4=^»..........................................................................3分

丸•：AB=BC=1,:.AB2+BC=Ae,：.AB±BC,..............................................5分

・,.BC_L平面E45,工平面尸3C_L平面9;..........................................................6分

⑵由(1)知：BC1AB,又〃皿,3_1平面痴，..............7分

以4为坐标原点，45为入轴，40为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，…

8分

如图，贝1C(l,1,0),?(0,0,1),。(0,2,0),

PD=(0,2,-1),

设丽=丸的=(0,24,_；1),(0<2<1),

则AE=AP+PE=(QfQ,^)+(0,22,-2)=(0,22,1-2),

就=(1,1,0),设平面E4C的法向量为〃=(沏，yi,zi),

,,ulAEe24%+(1-2)z=0

则由〈可得:1

ulAC%+必=0

取：》=1,则沏=-1,zi=---,«=(-1,1,---),...........................9分

4—1A—1

同理可求得：平面E4C的法向量为丫=(-1,1,0),.......................................11分

•・•二面角E-AC-P的余弦值为近,

3

C1+1V6

cos0=-------1=,解得：

31=g,13分

,01+1+1卫T

：.PE=-PD,PE：ED=~.T5分

32

17.(15分)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过尸且斜率为2的直线与

数学试题卷第10页共16页

E交于4,3两点，即|=10.

（1）求E的方程；

（2）直线/：x=-4,过/上一点P作E的两条切线RH,PN,切点分别为M,N.求

证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.

【答案】(1)/=8x(2)(4,0)

【解析】⑴设㈤5的方程为与，Zgji）,B（X2,jz）,.....................1分

y=2px

由＜1p，可得：，-砂―/=°，，乂+%=。，........................................3分

x=­y+—

I22

・・・|典=石+巧+0=；%+介12+介0=2尸+齐学=10,5分

，p=4,抛物线E的方程为：3=8x;................................................................6分

（2）设的方程为％=叩+篦，Af（天,%），〃（%4，y4），

由”-8x,可得：j2=8my+8n,即/-8叩-8〃=0,

x=my+n

：■必+为=8m，y3y4=-3n，..............................................8分

-万

不妨令户＞0,当丁＞0时，炉=8x可以化为：y=2j2x,y'=子，

J2,\

:.以〃为切点的抛物线的切线PM■的方程为：y-y3=-j=（x-x3）,

a

必

9^y=­x+10分

2，

y3

4yA

同理可得：直线的方程为：y=-x+^-f...................................................12分

为2

联立9与刖的方程，解得：与="=~,，％”=-32=—8”，n=4,…14分

8

数学试题卷第11页共16页

直线肱V的方程为：％=如+4,，直线过定点(4,0).15分

18.(17分)已知函数/(%)=。02*-(0^+2-4)片+；，.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点,求a的取值范围.

【答案】见解析

［解析1(1)由于f(x)=aQ2x-(ax+2-a)ex+^x2，

itf(x)=2ae2x-(ax+2)ex+x=(ae1-l)(2ex-x),.............................................2分

Ve^x+1,・・・2ex-m+l>0.

①当a这。时，ae-l<Q,从而/'(x)<0恒成立，/(x)在R上单调递减；……3分

②当a>0时，令：/'(x)=0,从而口^一1=0,得x=-Ina.

X(-00,-Ina)-Ina(―lna,+oo)

f'(x)—0+

/W单调递减极小值单调递增

综上，当aWO时，/(x)在R上单调递减；

当Q>0时，/(%)在(-8,-Ina)上单调递减,在(-Ina,+a?)上单调递增......6分

(2)由(1)知，当aWO时，/(%)在R上单调递减，/(%)在R上至多一个零点,

不满足条件.......................................................7分

当a>0时，/(x)min=/(-lna)=l--+lna+^5-^-,令g(a)=1-+Ina+,

a2a2

用“、11Ina1<1.,If1,,1L】Y|2八

贝4g(a)=丁"I1------=——i-l+lna=——Fl-In—2——F1+1—=—>0,

••.鼠4)在R上单调递增,9分

数学试题卷第12页共16页

而米1)=0,

故当0<a<l时，虱a)<0;当0=1时，g(a)=0;当a>l时，g(a)>0........10分

⑴若Q1,则/(项血=冢。)>0,故/。)>0恒成立，八力无零点；……11分

|

(ii)若a=l,J3J/(x)mjn=g(a)=0,

故/(x)=0仅有一个实根x=-lna=0,/(%)无两个零点，不满足条件；……12分

(iii)若则“%温=g@<0,

注意到一lna>0,/(-2)=4+^T^+2=-^4^-a+2—^->0,

e4e2e4e2

故/Xx)在(-2,-Ina)上有一个实根，

(3y1

而又In—1>In-=-Ina,

Ja

3

=(3-a)--In14分

33x-4

令3)=x-ln(3厂1)(21),^^)=1--=—,

(f.4、}{4}/4、4

所以他0在Lg单调递减，在小4+«单调递增，h(x)^h-=--ln3>0,

Ck33J/1133)V133y3

-

>0,-5L0<1,•*•3-a>0,(3^)L-ln——1>0

((3Yi>0,故/(x)在-Ina,In--1^1

即fIn--1上有一个实根.

I\aJ)[I。J)

又/(x)在(-oo,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增,

故/1(X)在R上至多两个实根.16分

数学试题卷第13页共16页

又一(%)在(-2,-Ina)及—Ina,In^--IJ上均至少有一个实根，

故/(力在R上恰有两个实根.

综上，0＜。＜1时，f(x)在R上恰有两个实根........................17分

19.(17分)角谷猜想，也称为“3〃+1”猜想.其内容是：任取T正整数，如果是

偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1,如此反复运算，该数最

终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归P现象的猜想.假如对任意正整

数ao(ao'2),按照上述规则实施第1次运算后的结果记为oi,实施第2次运算后的

结果记为。2,…，实施第〃-1次运算后的结果记为/_】，实施第〃次运算后得到数

1,停止运算，便可以得到有穷数列｛%｝:ai,6,…，j1,其递推关系式为:

3/+1%为奇数

(无如叫做数列佃｝的原始项.将

.|见为偶数=0,1,2,n-1),

|2at+l|4为奇数

此递推关系式推广为:生出为偶数(左=0，1，2，.、〃一】；一

2

且4/0),其它规则不变，得到的数列记作｛"%数列，试解答以下问题:

(1)若的=5,则数列｛3~小｝的项数为

(2)求｛-1〜跖｝数列的原始项ao的所有可能取值构成的集合;

(3)若对任意的｛1~3数列，均有〃4210g2%+d,求d的最小值.

【答案】(1)5(2)｛x|x^2,xeN｝(3)d的最小值为2

【解析】(1)刖=5,ai=3x5+l=16,。2=16+2=8,。3=8子2=4,04=4+2=2,

的=2+2=1,所以数列｛3~诙｝的项数为5;.....................................................4分

(直接写出结果，不需要提供运算过程)

数学试题卷第14页共16页

\ak-1,为奇数

（2）aai=｛见心屈有（无=°，1，2,…，n-1）;

Iy应为偶数

下面证明对于任意的正整数之2,当oo=f时，均存在数列｛斯｝为｛-1~G“｝数列，

ao=2时，6=1,〃=1符合题意,................................