湖南省永州零冷两区七校联考2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析

湖南省永州零冷两区七校联考2024年中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为g.小张这期间在该

超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（）

A.能中奖一次B,能中奖两次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

2.如图是抛物线yi=ax?+bx+c（a邦）图象的一部分，其顶点坐标为A（-1,-3）,与x轴的一个交点为B（-3,0）,

直线y2=mx+n（m#0）与抛物线交于A,B两点，下列结论：①abc>0；②不等式ax?+（b-m）x+c-nVO的解集为

-3<x<-1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）；④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根;其中正确的是（）

A.①③B.②③C.③④D.②④

xy=k

3.若关于x、y的方程组7）有实数解，则实数k的取值范围是（）

%+y=4

A.k>4B.k<4C.k<4D.k>4

4.下列各运算中，计算正确的是（）

A.a12-^-a3=a4B.（3"）=9a6

C.（〃+/?）=a2+b2D.=

5.设Xi,X2是一元二次方程A2-2x-5=0的两根，则的值为（）

A.6B.8C.14D.16

6.估计商的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

7.化简灰的结果是()

A.±4B.4C.2D.±2

8.下列运算不正确的是

536

A.a+a=2aB.(,2c^)=.2a

C.2a'a~1=2aD.(2a-a)^a=2a-l

9.下列四个命题中，真命题是()

A.相等的圆心角所对的两条弦相等

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形

C.平分弦的直径一定垂直于这条弦

D.相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和

10.将二次函数y=3的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是()

A.y=(x-l)2+2B.j=(x+l)2+2C.j=(x-l)2-2D.j=(x+l)2-2

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.点A到。。的最小距离为1,最大距离为3,则。。的半径长为.

12.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分

别以点B和点D为圆心，大于‘BD的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为

2

13.如图，函数y=&(x<0)的图像与直线y=-Y^x交于A点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°,交函数y=-(x<0)

x3x

的图像于B点，得到线段OB,若线段AB=3&-n，则1<=.

14.有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么

根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是.

12345678910

。小明A小林

15.已知：如图，△ABC内接于。O,且半径OC_LAB,点D在半径OB的延长线上，且NA=NBCD=30。，AC=2,

则由BC,线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为

16.若二次根式JIZ下有意义，则x的取值范围为.

4

17.已知A(-4,ji),B(-1,j2)是反比例函数产-一图象上的两个点，则以与力的大小关系为

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是

抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴为1,1与x轴的交点为D.在直线1上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若

存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,连接BC,PB,PC,设ZkPBC的面积为S.

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

19.（5分）如图，AB是。的直径，AF是0切线,CD是垂直于AB的弦，垂足为点E,过点C作DA的平行线

与AF相交于点F,已知CD=26，BE=1.

（1）求AD的长;

（2）求证：FC是。的切线.

20.（8分）已知：正方形ABC。绕点A顺时针旋转至正方形连接CE、。工如图，求证：CE=DF；如图,

延长CB交所于"，延长bG交CD于N,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的

每一个角的大小都等于旋转角.

21.（10分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点,

且AD_LBC.

（1）求sinB的值;

（2）现需要加装支架DE、EF,其中点E在AB上，BE=2AE,且EFLBC,垂足为点F,求支架DE的长.

23.（12分）如图，ZBCD=90°,且3c=OC,直线PQ经过点O.设NPZ>C=a（45°<a<135°）,5A_LPQ于点A,

将射线C4绕点C按逆时针方向旋转90。，与直线尸。交于点E.当a=125。时，ZABC=°；求证：AC=CE,

若△A5C的外心在其内部，直接写出a的取值范围.

24.（14分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生,

并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.

请结合以上信息解答下列问题：m=；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的

度数为;已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

由于中奖概率为:，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

【题目详解】

解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定•

故选D.

【题目点拨】

解答此题要明确概率和事件的关系：

@P(A)=O,为不可能事件；

②P(A)=1为必然事件；

③0<「(人)<1为随机事件.

2、D

【解题分析】

①错误.由题意a>Lb>l,c<l,abc<l；

②正确.因为yi=ax?+bx+c(a/1)图象与直线y2=mx+n(mrl)交于A,B两点,当ax?+bx+cVmx+n时，-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-n<l的解集为故②正确；

③错误.抛物线与x轴的另一个交点是(1,1)；

④正确.抛物线yi=ax2+bx+c(a#l)图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax2+bx+c+3=l有两个相等的实数根，故④

正确.

【题目详解】

解：•••抛物线开口向上，

•.•抛物线交y轴于负半轴，.'.cVl,

b

•・•对称轴在y轴左边，——<1,

2a

Ab>l,

/.abc<l,故①错误.

Vyi=ax2+bx+c(arl)图象与直线y2=mx+n(mrl)交于A,B两点，

当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-nVl的解集为-3VxV-l；故②正确，

抛物线与x轴的另一个交点是(1,1),故③错误，

•・,抛物线yi=ax?+bx+c(arl)图象与直线y=-3只有一个交点，

，方程ax2+bx+c+3=l有两个相等的实数根，故④正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用数形结合的思想解决问题.

3、C

【解题分析】

利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x,y的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式泗来确定左的取

值范围.

【题目详解】

解：,:x»=k,x+y=4,

根据根与系数的关系可以构造一个关于机的新方程，设X,y为方程7*2—4m+左=0的实数根.

-4«C=16-4左20,

解不等式16-4左20得

k<4.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用和根与系数的关系.解题的关键是了解方程组有实数根的意义.

4、D

【解题分析】

利用同底数塞的除法法则、同底数幕的乘法法则、塞的乘方法则以及完全平方公式即可判断.

【题目详解】

A、该选项错误；

B、(3/丫=27^/9。6,该选项错误；

C>(^a+by=a~+2ab+b2+b2,该选项错误；

D、2a-3a=6a2,该选项正确；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了同底数募的乘法、除法法则，暴的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键.

5、C

【解题分析】

2

根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,XI・X2=-5,再变形X/+X22得到(Xl+X2)-2x^X2,然后利用代入计算即可.

【题目详解】

,一元二次方程x2-2x-5=0的两根是xi、X2,

...Xl+X2=2,Xl»X2=-5,

XI2+X22=(X1+X2)2-2XI»X2=22-2X(-5)=1.

故选c.

【题目点拨】

hr

考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与系数的关系：若方程的两根为xi,x,则xi+x2=-—,x『X2=—.

2aa

6、D

【解题分析】

寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.

【题目详解】

解：小于26的最大平方数为25,大于26的最小平方数为36,故后〈后<底,即：

5<726<6.故选择D.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的相关定义.

7、B

【解题分析】

根据算术平方根的意义求解即可.

【题目详解】

而=4,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a,即那么这个正数x叫做a的算术平方根,

正数。有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.

8、B

【解题分析】

(2a=&产B是错的，A、C、D运算是正确的，故选B

9、B

【解题分析】

试题解析：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故A项错误；

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确；

C.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故C选项错误；

D.外切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和，故选项D错误.

故选B.

10、A

【解题分析】

试题分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案.

解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-1）2+2,

故选A.

考点：二次函数图象与几何变换.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1或2

【解题分析】

分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案.

【题目详解】

点在圆内，圆的直径为1+3=4,圆的半径为2；

点在圆外，圆的直径为3-1=2,圆的半径为1,

故答案为1或2.

【题目点拨】

本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.

12、1；

【解题分析】

分析：根据辅助线做法得出CF1AB,然后根据含有30。角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度.

详解：•根据作图法则可得：CF1AB,VZACB=90°,NA=30。，BC=4,

1

/.AB=2BC=8,VZCFB=90°,ZB=10°,，BF=—BC=2,

2

:.AF=AB-BF=8-2=1.

点睛：本题主要考查的是含有30。角的直角三角形的性质，属于基础题型.解题的关键就是根据作图法则得出直角三

角形.

13、-3g

【解题分析】

作AC，x轴于C,BDLx轴于D,AELBD于E点，设A点坐标为（3a,则OC=-3a,AC=-J^a,利用勾

股定理计算出OA=-2j§"a,得到NAOC=30。，再根据旋转的性质得到OA=OB,ZBOD=60°,易证得

RtAOAC^RtABOD,OD=AC=V3a,BD=OC=-3a,于是有AE=OC-OD=-3a+7§"a,BE=BD-AC=-3a+73a,即

AE=BE,则△ABE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到30=0（-3a+白a）,求出a=L确

k

定A点坐标为（3,-布）,然后把A（3,-百）代入函数丫=—即可得到k的值.

X

【题目详解】

作ACLx轴与C,BD，x轴于D,AELBD于E点，如图，

点A在直线y=-、2x上，可设A点坐标为（3a,-百a）,

3

在RtAOAC中，OC=-3a,AC=-^a,

**,OA=sjAC2+0C~=-2乖）a,

.,.ZAOC=30°,

•.•直线OA绕O点顺时针旋转30。得到OB,

/.OA=OB,NBOD=60°,

.,.ZOBD=30°,

；.RtAOACRtABOD,

:.OD=AC=-y/3a,BD=OC=-3a,

•.•四边形ACDE为矩形，

.\AE=OC-OD=-3a+73a,BE=BD-AC=-3a+J^a,

；.AE=BE,

/.△ABE为等腰直角三角形,

-,.AB=V2AE,即3旧屈=应(-3a+V3a),

解得a=l,

...A点坐标为(3,-上),

k

而点A在函数y=一的图象上，

x

；.k=3x(-73)=-373.

故答案为-3君.

【题目点拨】

本题是反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用勾股定理、旋转的性质以及

等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算.

14、小林

【解题分析】

观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手.

故答案是：小林.

15、26-彳兀.

【解题分析】

试题分析：根据题意可得：ZO=2ZA=60°,则AOBC为等边三角形，根据NBCD=30。可得：ZOCD=90°,OC=AC=2,

则CD=2g,SOCD=2X2V3X1=2V3,S扇形.=*，则S阴影=26—%.

236033

1

16、x>-----.

2

【解题分析】

考点：二次根式有意义的条件.

根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解.

解：根据题意得：1+2x20,

解得X」.

2

故答案为

2

17、yi<yi

【解题分析】

分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断yi与yi的大小，从而可以解答本题.

4

详解：・・•反比例函数y二・一，-4V0,

x

・••在每个象限内，y随x的增大而增大，

4

VA(-4,yi),B(-1,yi)是反比例函数y=--图象上的两个点，

x

；・yiVyi,

故答案为：yi<yi.

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)y=-X2+2X+1.(2)当t=2时，点M的坐标为(1,6)；当#2时，不存在，理由见解析；(1)y=-x+1；P

点到直线BC的距离的最大值为逆，此时点P的坐标为(之，—

824

【解题分析】

【分析】(1)由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

(2)连接PC,交抛物线对称轴1于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴1为直线x=l,分t=2和#2两种情况考虑:

当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行

四边形的性质可求出点P、M的坐标；当#2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEWPE可得出此时

不存在符合题意的点M；

(1)①过点P作PF〃y轴，交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的

坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的

距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论.

【题目详解】(1)将A(-1,0)、B(1,0)代入y=-x2+bx+c,

-l+Z?+c=0[b=2

得cO,7解得：c，

-9+3b+c=0[c=3

抛物线的表达式为y=-X2+2X+1；

(2)在图1中，连接PC,交抛物线对称轴1于点E,

1,抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点，

.••抛物线的对称轴为直线x=l,

当t=2时，点C、P关于直线1对称，此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形，

2

•.•抛物线的表达式为y=-X+2X+1,

二点C的坐标为(0,1),点P的坐标为(2,1),

...点M的坐标为(1,6)；

当厚2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE,

1•点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,

二点P的横坐标t=lx2-0=2,

又二#2,

*,•不存在；

(1)①在图2中，过点P作PF〃y轴，交BC于点F.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m#0),

将B(1,0)、C(0,1)代入y=mx+n,

3m+n=0\m=-l

得<c，解得：1c，

n=3[n=3

直线BC的解析式为y=-x+1,

1,点P的坐标为(t,-t2+2t+l),

.•.点F的坐标为(t,-t+1),

；.PF=-t2+2t+l-(-t+1)=-t2+lt,

13,93,3、，27

.,.S=-PF«OB=--t2+-t=--(t--)2+—；

222228

3

②：--<0,

2

.•.当t=32时，s取最大值，最大值为2二7.

28

•••点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,1),

线段BC=yJoB2+OC2=372，

.•・P点到直线BC的距离的最大值为W义2—9匹,

3c-8

此时点P的坐标为(!■,

24

【题目点拨】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次(二

次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：(1)由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表

达式；(2)分t=2和毋2两种情况考虑；(1)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数

的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.

19、(1)AD=2代；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)首先连接OD,由垂径定理，可求得DE的长，又由勾股定理，可求得半径OD的长，然后由勾股定理求得AD

的长；

(2)连接OF、OC,先证明四边形AFCD是菱形，易证得△AFOg△CFO,继而可证得FC是。。的切线.

【题目详解】

证明：(1)连接OD,

AB是。的直径，CD±AB,

.•.CE=DE=-CD=-X273=A/3,

22

设OD=x,

BE=1,

/.OE=x-L

在Rt二ODE中，OD2=C)E2+DE2,

.•.X2=(X-1)2+(A^)2,

解得：x=2,

...OA=OD=2,OE=1,

AE=39

在Rt.AED中，AD=VAE2+DE2=个3?+(后=；

(2)连接OF、OC,

AF是O切线，

.-.AF±AB,

CD±AB,

.-.AF//CD,

CF//AD,

二四边形FADC是平行四边形，

AB±CD

AC=M)

.-.AD=CD,

,平行四边形FADC是菱形

二.FA=FC,

，4AC=4CA,

AO=CO,

../OAC=/OCA,

4AC+ZOAC=4cA+/OCA,

即NOCF=NOAF=90，

即OCLFC,

点C在。上，

.•.FC是。的切线.

【题目点拨】

此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意数形结合思想的应用.

20、(1)证明见解析；(2)NDAG,NBAE,NCNF,NFMC.

【解题分析】

(1)连接AF、AC,易证NEAC=NDAF,再证明AEACmADAF,根据全等三角形的性质即可得CE=DF；(2)由旋

转的性质可得NDAG、NBAE都是旋转角，在四边形AEMB中，ZBAE+ZEMB=180°,ZFMC+ZEMB=180°,可

得NFMC=NBAE,同理可得NDAG=NCNF,由此即可解答.

【题目详解】

(1)证明：连接

,/正方形ABC。旋转至正方形AEFG

:.NDAG二NBAE,ZBAC=ZGAF=45°

：.ZBAE+ZBAC=ZDAG+ZGAF

:.NEAC=NDAF

在AE4c和AZM/中，

AE=AD

<ZEAC=ZFAD,

AC=AF

：.NEAC=ADAF

:.CE=DF

(2).ZDAG,NBAE、ZFMC,ZCNF；

由旋转的性质可得NDAG、NBAE都是旋转角，在四边形AEMB中，ZBAE+ZEMB=180°,ZFMC+ZEMB=180°,

可得NFMC=NBAE,同理可得NDAG=NCNF,

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，证明AEAC三ADAF是解决问题的关键.

21、(1)sinB=Ml；(2)DE=1.

13

【解题分析】

(1)在R3ABD中，利用勾股定理求出AB,再根据sinB=——计算即可；

AB

FFBFBF2

(2)由EF〃AD,BE=2AE,可得——=—=—=一，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题