2024广西高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学及答案

2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学注意事项：1.本卷共150120卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．131．为了得到函数yx的图象，只需将正弦函数ysinx图象上各点（）1A．横坐标向右平移B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变个单位长度，纵坐标不变23123C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变6D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变621x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i,ja3，a6的坐标为（）图133333333D．,A．,B．,C．,222222223．某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为cm3，则该器皿的高为（）A．5cmB．12cmC．15cmD．20cmy2ax绕其顶点顺时针旋转90之后，得到的图象正好对应抛物线y2x2，则a（）4．抛物线14141212A．B．C．D．5．已知有限集X，Y，定义集合XY且，X表示集合X中的元素个数．若x|xX,xYX2,3,4，Y4,5，则（XYYX）A．3B．4C．5D．6n1x6．“n6”是“x2的二项展开式中存在常数项”的（）A．充分非必要条件C．充要条件B．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件7．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）39121934A．B．C．D．1013在点x,y的附近有定义，当y固定在y而x在x处有改变量时，x00008．定义：设二元函数zfx,yzx有改变量zfxx,yfx,y相应的二元函数zfx,y0000x0在点x,y处对x的偏导数，记作fx,y．若zfx,y在区域D内每一00x00为二元函数zfx,y个点x,y对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数zfx,y对自变量x的偏导函数，记作fxx,y．已知Fx,yx2y，若Fx,y1，则2Fx,yFx,y的取值范围为（）xyB．2,2C．0,2D．A．,2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b克盐水中含有a克盐（ba0），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于ab．2D一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠。Zx,y10zxi（x,yRi）A．若z1z1，则点Z在圆上B．若z1z14，则点Z在椭圆上D．若x1z1，则点Z在抛物线上C．若z1z12，则点Z在双曲线上1，b011ab满足an12ann，n1nn1）nn1A．4B．abn2nn5C．i58D．若ab为等比数列，则1nni1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12．已知函数fxx，则曲线yfx在x处的切线方程为______．x2y2152A53,0，B0,5P到AB两点的距离分别为l与ml2m213P为圆的最大值为______．x2y21，其左右焦点分别为F，F，已知点P坐标为2，双曲线C14．已知双曲线C的方程为12169FF内切圆半径为，则r上的点Qx,y（00，y00）满足11211，设QF1F2r00FF211______，△1△2△12______．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）sinAsinBsinC．2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinBsinC（1）求A；（2）若a3，BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．16．（本小题满分15分）在长方体ABCDABCD中，点E，F分别在BB，DD上，且AFAD，AABD．11111111图2（1）求证：平面CD平面AEF；（2）当AD3，4，求平面DBBD与平面ACD的夹角的余弦值．11117．（本题满分15分）X累积分布函数为FxPXx．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．图3（1XVN4X的积累分布函数为FxF42F36；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）t0表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为Gt．11,t0t4设tt0，证明：PT1|TPT；ttt12212附：若随机变量Y服从正态分布N,2，则PY0.6827，PY0.9545，PY0.9973．18．（本小题满分17分）x22y221已知椭圆C:1ab0的离心率为，A，B，O分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，ab2点D为椭圆C上异于A，B的一动点，△面积的最大值为23．图4（1）求椭圆C的方程；（2F的直线交椭圆C于MNl:x4交x轴于PMN分别作ll于S、T两点，H为l上除点P的任一点．S24△△；（ⅰ）证明：△1k（ⅱ）设直线HM、HN、HF的斜率分别为k、k、k，求2的值．123k319．（本小题满分17分）x2x3xn英国数学家泰勒发现了如下公式：ex1x以上公式成为泰勒公式．设2!2!n!exexexexfx，gx，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．22（1）证明：ex1x；（2）设x，证明：fxx；2x，若x0是Fx的极小值点，求实数a的取值范围．（3）设Fxgxa122024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学参考答案1．B（把ysinxx上的所有点向左平移213个单位长度，213ycosx得到函数的图象．故应选B．）36632．A（由题意得，a3i3sinj,．故应选A．）2213．B（由题意得，)h，解得h12．故应选B．）312y2x2即x2y的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转90，4．D（抛物线xx12y2，所以a，则a，故应选D．）得到的抛物线开口向左，其方程为x225．A（∵X2,3,4，Y4,5∴XY2，YX，∴XYYX2,5，∴XYYX3故应选A．）nr1x1nrx2n3r(0rn,rN)；6．A（x2展开式的通项为：r1Crnx2xCrn当n6时，取r4，则TC546x015，故充分性成立；nn12r81x当2nr0时，x展开式中存在常数项，如，故必要性不成立；n1所以“n6”是“x的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故应选A．）x7．C（记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，P(E)0.30.2)0.20.38，P(EF)0.30.2)0.24则P(EF)0.2412由条件概率公式可得PF|E．故应选C．）P(E)0.3819z(xx)2y2(xx)yxx2y28．B（依题意，F(x,y)xxx00x(2xyx)2xyx0同理可求得F(x,y)2yx，所以F(x,y)F(x,y)xy，yxy设zxy，则yxz，由F(x,y)x2y1，2x2(xz)2x(xz)10，3x23zxz210，得4，2z2．故应选B．）9z212z213z120，z22此方程有解，所以2ll29．AB对于选项A：设周长为l0，则圆的面积为圆，2ll211l2l2正方形的面积为S正方形，l20圆SA正方形416anbnanbnabnba)bbn)a对于选项B：原盐水的浓度为，加入n0克盐，盐水的浓度为，则，b因为ba0，n0，可得ba0，bn0，anbnabnba)bbn)anbnab所以0，即，故B正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x，则ab)x)2，可得xab)1，ab)abab因为x1ab)1，即x，222ab当且仅当1a1b，即ab时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1元/kg，购nkg，，故C错误；2pnpn12第二次购物时的价格为2元/kg，购nkg，两次购物的平均价格为12；2n2m若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购kg物品，1m2m2第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为．mm1121212221p221p221p21p41p1p2220，11221221p21p2212当且仅当pp时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，12因而用第二种策略比较经济，故D错误；故应选AB．）|z1|(x2y2表示点(x,y)与(0)之间的距离，10．BD（|z1|(x2y2表示点(x,y)与0)之间的距离，记F(1,0)，F0)，12对于A，|z1||z1|，表示点y2，整理得x0，所以点Z在x0，故A错误；对于B，由|z1||z1|4ZFZFFF2Z(x,y)到F、F距离相等，则点在线段的中垂线上，故AZFF1212(x2y2(x2或由得，这符合椭圆定义，故B正确；1212对于C，若|z1||z1|2ZFZFFF2，，这不符合双曲线定义，故C错误；1212对于D，若|x1||z1|，则(x2(x2y2，整理得2y4x，为抛物线，故D正确．故应选BD．）11．ACD（依题意，n12ab,bba，则an13ab，nnnnn1nnn1而ab1，因此数列aba是首项为1，公比为3的等比数列，nn3n1，B错误．11nn3n11n11又n1n1ab，因此abab1，于是a，n，nnnn11n22313对于A，414，A正确；25对于C，i014134058，C正确；i1对于D，ab1，ab2，ab54，112233b为等比数列，得n54，解得1或1，由n(2)2当1时，ann3，显然数列ab是等比数列，nnn1b是等比数列，n当1时，ab1，显然数列annnb1或1，D正确．故应选ACD．）是等比数列时，因此当数列nnsinx1yx12．（由已知f(x)，xx21则f)1，又f)tan0,0)，即切点为，2yf(x)在x处的切线方程为yxyx．故答案为：．）所以曲线13．850（3,0)，B(0,P,15sin),R，设，则lm53)222sin)2)2sin232252100150(3cossin)550300sin，故最大值为850．）14．218（设QFF内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，12则|QD|QG|,FDFE|,|FE|F，1122Q2a8在双曲线右支上，由双曲线定义得，12则||||EFEF2a，121212又2c，故EFac，121即E点横坐标为a，即QFF内切圆的圆心横坐标为a，12PFcosPFQFFPFcosPFFFF1111211211211由，得，FFFF121121即PFQF，即PF为QFF的角平分线，112112由于点P坐标为，QF1Fa4内切圆的圆心横坐标为，2|2则P即为QFF内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为；12111S△2△PF12rFF2(2a2c)281018△112122222；18．）15．（1）由题设及正弦边角关系可得：bc)2a2bc，则b2c2abc，2b2c2a21而A，且A(0,)，则A．bc23（2）因为a3,A，所以由余弦定理得a2b2c2bcA，即3b2c2bc，3所以3b2cbcbcbcbc，即bc1（当且仅当bc1时，等号成立），2111因为△ABC△ABD△ACD，所以cbsincADsinbADsin，232323bcbc解得AD，因为bc2bc（当且仅当bc1时，等号成立），bcbc121所以ADbc（当且仅当bc1时，等号成立），所以AD长度的最大值为bc2bc21．216．（1ABCDABCD为长方体CD平面AADD111111平面AADD∴AFAD，且CDADD∴AF平面ACD111CDAF11平面AEF平面AEF平面CD（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，DD分别为x，y，z轴的空直角坐标系，AABD511则0),B0),C(0,0),AD(0,，11则(0,0),AC(3,4,AD(3,0,111nAC03x4y5z01设平面ACD的法向量为n．则，即1nAD03x5z01令x5，则z3n．mDB3x4y0设平面DBBD的法向量为m(x,y,z)，则，11mDD5z01令x4，则yz0，所以平面DBBD的法向量为m(4,0)，11设平面ACD与平面DBBD的夹角为，111mn则cos|cos,n2023417，|m||n|34523417所以平面ACD与平面DBBD的夹角的余弦值为111PX42)0.6827,PX44)0.954517．（1）由题设得，F(42)FP(X42)P(X36)P(40X42)PX40)所以1(0.68270.9545)0.81862（2）由题设得：PTt1PTt1GtPTt1Tt2PT1Tt1112PTt1PTt1Gt222PTt211114141tt214114t2114t2tt，PT1PTttt1t1Gtt42112212所以PT1TPT．tt1t222bc22ac1x2y218．（1）由题意知，解得a2，b3，所以C的方程为1；a24312ab232（2）ⅰ解：易知点P(4,0)、F0)，若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则MPN不存在，不合乎题意，设直线MN的方程为x1，设点Mx,y、Nx,y，1122xmy1可得m24y6my90，2联立3x24y12210，36m2364m2144m26m9yyyy12由韦达定理可得所以，，，12m2m244212112△23y4△△NPT1y24y4x11y4x222922yy41y41yyy332122121492yyyymyymyy912212121242369m(6m)9m2936m9222224m4m4m4m424m936m23627m23618m29m20．m2421ty2t1k2142431ty2tH(4,t)，其中t0ⅱ解：设点，则tt3my23k3133332y(yt3ytmy2y2t1y1121232t13my2tmyymyy912124tm22m(9)(6m)(3m249mm4m24m244t9m22m(6m)2m24m2472m22318m18m6mt