浙江省江北区2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

浙江省江北区2024年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，机的值应是（）

2.要使式子近2有意义，〃的取值范围是（）

a

A.a^OB.〃>一2且C.a>-2.或D.a>-2且。。0

3.如图，在边长为6的菱形ABC。中,功钻=60。，以点。为圆心，菱形的高。尸为半径画弧，交AO于点E,交CO于

点G,则图中阴影部分的面积是（）

94

A.18-3^B.186一9万c.9y/3~—D.18w一3万

4.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋

转60口得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

C.---aD.-y/36?

5.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A-◎B-

，区DX

6.Vnvn的一个有理化因式是（）

A.+〃B.yjm—nC.yfm+yfnD.\[m—y[n

7.下列各式正确的是（）

A*±j0.36=±0.6B.也=±3

C・^37=3D.^^二一2

8.以x为自变量的二次函数y=x2・2（b・2）x+b2・l的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）

A.b>1.25B.21或bS-lC.b>2D.l<b<2

9.如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）

C.D.4石3

A,口。B.no

左视图俯视图左视图俯视图

10.如图所示的几何体的主视图是（）

正・

]，・口

11.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5nm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称为可入肺颗

粒物，将25微米用科学记数法可表示为（）米.

A.25x107B.2.5x106C.0.25x105D.2.5x105

12.下列各数中是无理数的是（）

A.cos60°B.]3C.半径为1cm的圆周长D.亚

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.计算：&-五=.

14.如图，AB/7CD,BE交CD于点D,CEJ_BE于点E,若NB=34。，则NC的大小为______度.

B

15.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图所示是一副七巧板，若已知SABIC=L据七巧板制作过

程的认识，求出平行四边形EFGH.

16.计算：V6x—+^==______.

3V3

17.计算：（元-3）°-2“=.

x+3y=5

18.方程组\:।的解是______.

[2x-3y=i

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。，吊臂

底部A距地面L5m.（计算结果精确到0.1m,参考数据§也64。之0.90,cos64°M）.44,tan64°~2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m.

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度

20.（6分）“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机

抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A,B,C,D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统

计图.（说明：A级：8分・10分，B级：7分・7.9分，C级：6分・6.9分，D级：1分・5.9分）

根据所给信息，解答以下问题：

（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是度；

（2）补全条形统计图;

（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在.等级;

（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?

扇形靛计图

21.（6分）如图，在直角坐标系xOy中，直线y与双曲线丁二乙相交于A（—La）、B两点，BC_Lx轴，垂足

x

为C,AAOC的面积是1.

m、n的值；求直线AC的解析式.

22.（8分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外完全相同.把这些卡片反面朝上

洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放叵洗匀，乙从中任意抽出一张，记下

卡片上的数字，然后将这两数相加.

（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为S的概率:

（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多

少分，才能使这个游戏对双方公平?

23.（8分）己知反比例函数_A的图象过点A（3,2）.

y=x

（1）试求该反比例函数的表达式;

（2）M（w,/＞）是反比例函数图象上的一动点，其中0VmV3,过点M作直线轴，交y轴于点8；过点A

作直线AC"），轴，交x轴于点C,交直线MB于点O.当四边形。40M的面积为6时，请判断线段叫M与。M的大

小关系，并说明理由.

24.(10分)在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在

全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A：结伴步行、B：自行乘车、C：家人接送、D：其他方式,

并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)本次抽查的学生人数是多少人？

(2)请补全条形统计图；请补全扇形统计图；

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数是一度；

(4)如果该校学生有2000人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？

25,(10分)如图，抛物线y=a，2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰

直角三角形，我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称

>0)对应的碟宽在x轴上，且AB=L

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yP),使得NAPB为锐角，若有，请求出yp的取值范围.若没有,

请说明理由.

26.(12分)“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁

路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小

时，比原铁路设计运行时间少用16小时.

（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？

（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%,以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海

的实际运行时间将增加与m%小时，求m的值.

27.（12分）如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4a,0）.正方形AOBC的边长为,点A的

坐标是•将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45。，点A,B,C旋转后的对应点为A。BSC,求点/V的坐

标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀

速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它

们相遇时同时停止运动，当AOPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1>B

【解题分析】

根据排列规律，10下面的数是12,10右面的数是14,

78=2x4-0,22=4x6-2,44=6x8-4,

.,.^=12x14-10=158.

故选C.

2、D

【解题分析】

根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.

【题目详解】

解：・.•必亘有意义，

a

，a+2K）且时0,

解得a>-2且a和.

故本题答案为：D.

【题目点拨】

二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分

母不为0.

3、B

【解题分析】

由菱形的性质得出AD=AB=6,ZADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积二菱形ABCD的面

积.扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可.

【题目详解】

V四边形ABCD是菱形，ZDAB=60°,

AAD=AB=6,ZADC=180°-60°=120°,

VDF是菱形的高，

/.DF±AB,

:.DF=AD«sin60°=6x叵=3yfj,

2

・•・阴影部分的面积=菱形ABCD的面积一扇形DEFG的面积=6x36一产叱仔同勺86・93

360

故选B.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

4、A

【解题分析】

取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出NHBN=NMBG,根据旋转的性质可得

MB=NB,然后利用“边角边”证明•••△MBGg2kNBH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段

最短可得MG±CH时最短，再根据NBCH=30。求解即可.

【题目详解】

如图，取BC的中点G,连接MG,

.\ZMBH+ZHBN=60°,

又,:ZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

/.ZHBN=ZGBM,

VCH是等边△ABC的对称轴，

1

AHB=-AB,

2

/.HB=BG,

又TMB旋转到BN,

ABM=BN,

在4MBG和ANBH中，

BG=BH

<4MBG=ZNBH,

MB=NB

AAMBG^ANBH(SAS),

AMG=NH,

根据垂线段最短，MG1.CH时，MG最短，即HN最短，

此时VZBCH=-x60°=30°,CG=-AB=-x2a=a,

222

.11a

AMG=-CG=-xa=-,

222

AHN=-,

2

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三

角形是解题的关键，也是本题的难点.

5、B

【解题分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

【题目详解】

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心

对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

6、B

【解题分析】

找出原式的一个有理化因式即可.

【题目详解】

Vm-n的一个有理化因式是Jm-n»

故选B.

【题目点拨】

此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键.

7、A

【解题分析】

":也=3,则B错；1(_3)3=_3,则C；而3=2,则D错，故选A.

8、A

【解题分析】

:二次函数)，=/一2e-2)工+62—1的图象不经过第三象限，。=1>0,・・・AW0或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于

等于0.

当AW0时，[-2(5—2)]2—4(加一1长0,

解得〃耳.

当抛物线与X轴的交点的横坐标均大于等于0时，

设抛物线与X轴的交点的横坐标分别为力，X2,

则1+4=2俗一2)>0,J=[-2(ft-2)]2-4(ft2-l)>0,无解，

・•・此种情况不存在.

,,尾

9、D

【解题分析】

试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故

答案选D.

考点：D.

10、A

【解题分析】

找到从正面看所得到的图形即可.

【题目详解】

解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

11、B

【解题分析】

由科学计数法的概念表示出0.0000025即可.

【题目详解】

0.0000025=2.5x106.

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查科学计数法，熟记相关概念是解题关键.

12、C

【解题分析】

分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.

详解:

A选项中，因为COS60=!，所以A选项中的数是有理数，不能选A;

B选项中，因为］3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选$

C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是2"cm,2）是个无理数，所以可以选G

D选项中，因为我=2,2是有理数，所以不能选D.

故选.C・

点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、V2

【解题分析】

先把我化简为2及，再合并同类二次根式即可得解.

【题目详解】

瓜-叵=2啦•叵=&,

故答案为拉.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键.

14、56

【解题分析】

解：•:AB〃CD,/B=34,

工NCDE=NB=34,

又,：CE1BE,

ARtACOE中，NC=90-34=56,

故答案为56.

15、1

【解题分析】

根据七巧板的性质可得BI=IC=CH=HE,因为SABIC=LZBIC=90°,可求得BI=IC=近，BC=1,在求得点G到EF

的距离为&sin450,根据平行四边形的面积即可求解.

【题目详解】

由七巧板性质可知，BI=IC=CH=HE.

又・・・SABIC=1,ZBIC=90°,

1

2

・・・BI=IC=、5，

・・・BC=JB「+/C2=I,

VEF=BC=1,FG=EH=BI=42，

・•・点G到EF的距离为：g包,

2

，平行四边形EFGH的面积=EF-JJx之

2

=1上x也=1.

2

故答案为1

【题目点拨】

本题考查了七巧板的性质、等腰直角三角形的性质及平行四边形的面积公式，熟知七巧板的性质是解决问题的关键.

16、73

【解题分析】

1

根据二次根式的运算法则先算乘法，再将

?3分母有理化，然后相加即可.

【题目详解】

解：原式=述+且

33

=6

【题目点拨】

本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

17、，

2

【解题分析】

分别利用零指数嘉aJl(a#)),负指数暮a-P=A(a¥0)化简计算即可.

【题目详解】

解：(九・3)0・2/=1"=，.

22

故答案为：4

2

【题目点拨】

本题考查了零指数骞和负整数指数骞的运算，掌握运算法则是解题关键.

x=2

、

18\y=[

【解题分析】

利用加减消元法进行消元求解即可

【题目详解】

卜+3)，=5①

解：出一3丁=1②

由①+©,得

3x=6

x=2

把x=2代入①，得

2+3y=5

y=i

x=2

所以原方程组的解为：,

(x=2

故答案为：

[y=l

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的解法，用适当的方法解二元一次方程组是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)11.4；(2)19.5m.

【解题分析】

(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

(2)过点D作DH_L地面于H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.

【题目详解】

解：(1)在RSABC中，

VZBAC=64°,AC=5m,

AC

5+0.44*11.4(m)；

故答案为：11.4；

(2)过点D作DH_L地面于H,交水平线于点E,

在RtAADE中，

VAD=20m,ZDAE=64°,EH=1.5m,

.\DE=sin64°xAD^0x0.9-18(m),

即DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.

【题目点拨】

本题考查解直角二角形、锐角二角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角二角形.

20、(1)117(2)见解析(3)B(4)30

【解题分析】

(D先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360。乘以C等级

人数所占比例即可得；

(2)根据以上所求结果即可补全图形；

(3)根据中位数的定义求解可得；

(4)总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得.

【题目详解】

解：(1)・・•总人数为18・45%=40人，

・・・C等级人数为40・(4+18+5)=13人，

13

则。对应的扇形的圆心角是36(Fx£=117。,

40

故答案为117；

(2)补全条形图如下:

(3)因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级,

所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，

故答案为B.

4

(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300x二=30人.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21、(1)m=­1,n=-1；(2)y=——x+—

22

【解题分析】

Yl

(1)由直线=与双曲线V=一相交于A(-l,a)、B两点可得B点横坐标为1,点C的坐标为(1,0),再根据△AOC

X

的面积为1可求得点A的坐标，从而求得结果；

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,由图象过点A(-1,1)、C(1,0)根据待定系数法即可求的结果.

【题目详解】

n、

(1)•・•直线y二，砍与双曲线》=一相交于A(-La)、B两点，

x

・・・B点横坐标为1,即C(L0)

,・•△人。(：的面积为1,

AA(-1,1)

将A(—1,1)代入y"小，y="可得m=—1,n=—1；

x

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b

•・・y=kx+b经过点A(-1,1)、C(1,0)

-m£1

解得k=-b=—.

k+b=O,22

，直线AC的解析式为y=—；x+；.

【题目点拨】

本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，此类问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，熟练掌握待定

系数法是解题关键.

22、(1)详见解析；(2)4分.

【解题分析】

(1)根据题意用列表法求出答案;

(2)算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.

【题目详解】

1234

1(1,1)(1,2)(1.3)(1,4)

(1)列表如下：2(2,1)(2,2)(2.3)(2.4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3.4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

由列表可得」(数字之和为5)=；,

I3

(2)因为P(甲胜)=-,尸(乙胜)=一,・・•甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为:

44

12+3=4分.

【题目点拨】

本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.

23、(1)6.(2)MB=MD.

y二;

【解题分析】

(1)将43,2)分别代入尸大,产or中，得a、A的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；

X

⑵有SAOMB=ShQ4C=,x|d=3,可得矩形OBDC的面积为12；即OC^OB=12；进而可得m.n的值，故可得BM

2

与。M的大小；比较可得其大小关系.

【题目详解】

(1)将A(3,2)代入中，得2_*,・,・后6,

，反比例函数的表达式为6.

y-x

(2)BM=DM,理由：••・SAOM8=5A04c=，x|d=3,

2

••S矩形OADC=S四边形。A/)M+SAOMB+SA(MC=3+3+6=12,

即OCOB=\2t

・；OC=3,：.0B=4,BPn=4,:._6_3,

m-输=3

・・・M3=3,MD=,33,：.MB=MD.

23-2=2

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练

掌握待定系数法是解(1)的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解(2)的关键.

24、(1)本次抽查的学生人数是120人；(2)见解析；(3)126；(4)该校“家人接送”上学的学生约有500人.

【解题分析】

(1)本次抽查的学生人数：18・15%=120(人)；

(2)A：结伴步行人数120-42-30-18=30(人)，据此补全条形统计图；

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360°X-^=126°；

(4)估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000x25%=500(人).

【题目详解】

解：(1)本次抽查的学生人数：18・15%=120(人)，

答：本次抽查的学生人数是120人；

(2)A：结伴步行人数120-42-30-18=30(人)，

补全条形统计图如下：

“结伴步行”所占的百分比为叁xl00%=25%；“自行乘车”所占的百分比为名xl00%=35%,

“自行乘车”在扇形统计图中占的度数为360,35%=126。，补全扇形统计图，如图所示;

学生上学方式扇形统计图

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360°x—-=126°,

故答案为126；

(4)估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000x25%=500(人，

答：该校“家人接送”上学的学生约有500人.

【题目点拨】

本题主要考查条形统计图及扇形统计图及相关计算，用样本估计总体.解题的关键是读懂统计图，从条形统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键.

25、(1)MN与AB的关系是：MN±AB,MN=-AB,(2)2,4；(2)①y='x2・2；②在此抛物线的对称轴上有

23

这样的点P，使得NAPB为锐角，yp的取值范围是ypV-2或yp>2.

【解题分析】

(1)直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；

(2)利用已知点为B(m,m),代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；

(2)①根据题意得出抛物线必过(2,0),进而代入求出答案；

②根据y=；x2・2的对称轴上P(0,2),P(0,-2)时，ZAPB为直角，进而得出答案.

【题目详解】

(1)MN与AB的关系是：MN±AB,MN=-AB,

2

如图1,是等腰直角三角形，且N为AB的中点，

AMN±AB,MN=-AB,

2

故答案为MN_LAB,MN=-AB；

2

y

By=w

单\oX

图1

・

(2)••抛物线丫=3%2对应的准蝶形必经过B(m,m),

.1.

・・m=—nF,

2

解得：m=2或m=0(不合题意舍去)，

当m=2则，2=—x2,

2

解得：x=±2,

贝！JAB=2+2=4；

故答案为2,4；

(2)①由已知，抛物线对称轴为：y轴，

•抛物线y=ax?-4a・1(a>0)对应的碟宽在x轴上，且AB=1.

・••抛物线必过(2,0),代入y=ax2-4a-g(a>0),

得，9a-4a--=0,

3

解得：a=—,

，抛物线的解析式是：y=1x2-2；

②由①知，如图2,>=；、2-2的对称轴上「(0,2),P(0,-2)时，ZAPB为直角，

・•・在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得NAPB为锐角，yp的取值范围是ypV-2或yp>2.

图2

【题目点拨】

此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键.

26、(1)1600千米;(2)1

【解题分析】

试题分析：(1)利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行

时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8