3.2.2 奇偶性-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性目录1

学习目标2

新课讲解3

课本例题4

课本练习5

题型分类讲解6随堂检测7

课后作业学习目标1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象，例如，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影等等.【探究1】上述提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分对称”？【提示】整个图形对称.【探究2】哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？【提示】①是中心对称图形，②是轴对称图形.新课引入在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数和的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3图象关于y轴对称f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x.f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)=任意一点1.偶函数的概念和性质x-3-2-10123f(x)=x2g(x)=2-|x|不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.9410149-101210-1

观类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？）函数f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函数吗？函数g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗？是偶函数不是偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

观察函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？图象关于原点对称

这两个函数的图像都关于原点成中心对称.2.奇函数的概念和性质x-3-2-10123f(x)=x

为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：

可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.-3-2-10123函数f(x)=x,x∈[-2,2]是奇函数吗？是奇函数函数g(x)=x,x∈[-1,3]是奇函数吗？不是奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例6.判断下列函数的奇偶性.

3.判断函数的奇偶性

求定义域并判断是否关于原点对称

下结论例6.判断下列函数的奇偶性.

【探究】（1）如何判断函数的奇偶性？【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数

的定义域为R，且有

所以此

函数是奇函数.

（2）已知函数图像的一部分，如何画出剩余部分？

(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的图像如图所示.

4.奇偶性的性质与应用【拓展】（1）奇偶函数的单调性：①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果

奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就

是单调增函数.②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果

偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就

是单调减函数.【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：

设，的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：【注】上表中不考虑和的情况；

中需，.偶偶偶偶奇

奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇

1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.课本练习2.判断下列函数的奇偶性.解：为偶函数.

常用结论：函数解析式为多项式时，奇偶性与奇次项和偶次项的系数有关.如，，若为奇函数，则a=c=e=0，若为偶函数，则b=d=0

为奇函数.练习3.（1）从偶函数的定义出发，证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.解：（1）充分性：若y=f(x)的图象关于y轴对称，设为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点仍在该图象上，即，所以y=f(x)为偶函数；必要性：若y=f(x)为偶函数，设为f（x）图象上任意一点，M关于y轴的对称点为.由于f（x）为偶函数，所以所以在函数的图象上，所以f（x）的图象关于y轴对称.练习3.（1）从偶函数的定义出发，证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.解：（2）充分性：若y=f(x)的图象关于原点对称，设为图象上任意一点，则M关于原点的对称点仍在该图象上，即

，所以y=f(x)为奇函数；必要性：若y=f(x)为奇函数，设为f（x）图象上任意一点，则M关于原点的对称点为，由于f（x）为奇函数，所以

，所以在函数y=f(x)的图象上，所以f（x）的图象关于原点对称.

题型一：利用函数奇偶性求参数题型分类讲解

题型二：利用函数奇偶性求分段函数的解析式

题型三：比较大小（奇偶性与单调性的综合）

题型四：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）

BCC随堂检测00

课堂小结：函数的奇偶性是函数的整体性质，体现图象的对称性偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)有的定义域为I,如果x∈I,都有-x∈I,即定义域关于原点对称f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数函数的定义域关于原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件.几何特征偶函数的图象关于y轴对称，即如果点(x,y)在函数的图象上，那么点(-x,y)也在函数的图像上.奇函数的图象关