【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学

【高考真题】2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学一、选择题1．设z=2+i1+iA．1−2i B．1+2i C．2−i D．2+i2．设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1<x<2}，则{x|x≥2}=（）A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM 3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）​​A．24 B．26 C．28 D．304．已知f(x)A．−2 B．−1 C．1 D．25．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x，y)|1≤xA．18 B．16 C．146．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6A．−32 B．−12 C．7．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种8．已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于93A．π B．6π C．3π D．9．已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15 B．25 C．3510．已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cosaA．－1 B．−12 C．0 11．设A，B为双曲线x2A．(1，1) B．(−1，2) C．12．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PAA．1+22 B．1+222 C．二、填空题13．已知点A(1，5)在抛物线C：y14．若x，y满足约束条件x−3y≤−1x+2y≤93x+y≥7，则z=2x−y的最大值为15．已知{an}为等比数列，a2a416．设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+三、解答题17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（试验序号i12345678910伸缩率x545533551522575544541568596548伸缩率y536527543530560533522550576536记zi=xi−yi(i=1，2（1）求z，s2（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥218．在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.（1）求sin∠ABC（2）若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.19．如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5​​（1）证明：EF//平面ADO（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D−AO−C的正弦值.20．已知椭圆C：y2a2+x（1）求C的方程；（2）过点(−2，21．已知函数f(（1）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1，（2）是否存在a，b，使得曲线y=f(1x)（3）若f(x)在(0，四、选做题22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤π2)，曲线C（1）写出C1（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求23．已知f(x)=2|x|+|x−2|（1）求不等式f(x)≤6−x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组f(x)≤yx+y−6≤0

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】A13．【答案】914．【答案】815．【答案】−216．【答案】[17．【答案】（1）∵zi=xi−yi(i=1，（2）由(1)得z−=11，s2=61，

∴2s218．【答案】（1）根据题意，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB·AC（2）如下图所示，由(1)得，BC=7，sin∠ABC=2114，

又∵∠BAC=120°，∠BAD=90°

∴∠ABC∈(0，π3)，∠CAD=30°，

∴cos∠ABC=1−sin2∠ABC=5719．【答案】（1）如图，连接DE，OF，设AF→=mAC→，

则BF→=BA→+mAC→=BA→+m(AB→+BC⇀)=(m−1)AB→+mBC→，

又AO→=AB→+BO→=AB→+12BC→，

∵BF⊥AO且AB⊥BC，即AB→·BC→=0.

∴BF→·AO→=(m−1)AB→+mBC（2）由(1)得EF∥OD，EF=OD=12CP=62，

且在Rt△ABO中，AB=2，BO=12BC=2，

∴AO=AB2+BO2=6，

又∵AD=5DO，

∴AD=5×62=302，

∴AD2=15（3）如图，过点O作OM⊥AO交AC于点M，连接DM，NF，

由(2)得AO⊥DO，

∴二面角D−AO−C的平面角为∠DOM.

∵BF⊥AO，O为BC中点，

∴OM∥BF，且结合(1)AF→=12AC→，AB⊥BC，

∴，BF=AF=12AC=12×AB2+BC2=3，OM=12BF=32

∴FM=12AF=14AC=32

在平面ABP中，AD和BE分别是△ABP的两条中线，

∴N为△ABP的重心，

∴AN=2DN，

在△ABD和△ABP中，

AB=1，BD=12BP=62，AD=302，

根据余弦定理cos∠ABP=AB2+BD2−AD22AB·BD=AB2+BP2−A20．【答案】（1）将点A−2，0代入椭圆得，4b2=1，

又e=ca=53，a2=b2+c（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；

故PQ斜率存在，如图，由直线过点(−2，3)可设PQ：y=kx+2+3

其中Px1，y1，Qx2，y2，M0，yM，N0，yN

∴直线AP：yy1=x+2x1+2，令x=0得yM=2y121．【答案】（1）当a=−1时，fx=1x−1ln1+x，

∴f'x=−1x2ln1+x+1−x（2）由f(x)=(1x+a)ln(1+x)，

∴g(x)=f(1x)=(x+a)ln1x+1=(x+a)ln1+xx，

由1x+1>0，

∴g(x)的定义域为−∞，−1∪0，+∞，

若存在y=f(1x)关于直线x=b对称，

则定义域也对称，即b=−1+02=−12（3）由f(x)=(1x+a)ln(1+x)，

∴f'(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+a)11+x，

∵f(x)在(0，+∞)存在极值，

∴f'(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+a)ln(1+x)在(0，+∞)存在变号零点，

当f'(x)=0，即−1x2ln(1+x)+(1x+a)11+x=0，整理得−(1+x)ln(1+x)+x+ax2=0

令g(x)=−(1+x)ln(1+x)+x+ax2

则g'(x)=−ln(1+x)+2ax，g''(x)=−11+x+2a

∵x∈(0，+∞)，同时注意到g'(0)=0

∴11+x∈(0，1)

①若a≤0，则g''(x)<0，此时g'(x)在(0，+∞)上单调递减，结合g'(0)=0，

∴g(x)在(0，+∞)上单调递减，故此时不存在变号零点；

②若a>0，

i)a≥12，易得g''(x)>0，此时g'(x)在(0，+∞)上单调递增，结合g'(0)=0，

∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，故此时不存在变号零点；

ii)0<a<12，令g''(x)=0，即−11+x+2a=0，则x=−1+12a，

此时g'(x)在(0，22．【答案】（1）将C1：ρ=2sinθπ4≤θ≤π2左右同×ρ得：ρ2=2ρsinθ，（2）将C2：x=2cosα①y=2sinα②

由①2+②2得x2+y2=4，−2<x<0，0<y<2

∴C2方程表示圆心O0，0，半径为2且位于第二象限的圆弧；

由(1)C1：x2+y−12=1，0≤x≤1，1≤y≤2，

∴C1表示圆心为