陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

陕西省西安市阎良区2023-2024学年九年级上学期期末数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是()

2.下列事件中，属于必然事件的是()

A.三角形的两边之和大于第三边B.玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”

C.明年的冬至会下雪D.从装满红球的袋子里摸出黄球

3.有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字1,223,4,6,从中随机抽一

张，抽出标有的数字是偶数的概率为()

1112

A-6B-3C-2D-I

4.如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，若=580,ZACD=40.则

的度数为()

5.抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度后的顶点坐标是()

A.(1,4)B.(2,4)C.(-1,4)D.(4,4)

6.如图，将绕点C按逆时针方向旋转至AZ)EC,使点。落在8c的延长线上已

知乙4=32。，/8=29。，则//CE的大小是()

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AE

DCB

A.68°B.61°C.58°D.54°

7.如图1,唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式

之先导，如图2,某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦Z8长为6m,轮子的吃

水深度CO（半径于点为1.5m,则该桨轮船的轮子直径为（）

8.已知二次函数尸-2x2+x-w图象上三点工㈠,必）、8（1,%）、~2,%）,则M,外，为

的大小关系为（）

A.必＜为＜%B.%＜必＜为C.乂＜%＜必D.y2＜yt＜y3

二、填空题

9.已知关于x的方程f-2x-4A=0的一个根为x=-2,则左的值为.

10.正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，则旋转角的度数

最小是。.

11.在一暗箱里放有“个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，

任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳

定在0.2,则估计a的值是.

12.如图，在平面直角坐标系中，点/在y轴上，点8的坐标为（4,0）,连接将“80

绕着点8顺时针旋转60。得到△OBC，则点C的坐标是.

13.如图，在矩形Z8CD中48=2,=3,动点E从点D出发向终点4运动，连接8E,

以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小

试卷第2页，共6页

为

三、解答题

14.解方程：3x(x+l)=6(x+l).

15.如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三

种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，(若指针指向两个扇形的交线时，当

作指向右边的扇形)，转动一次转盘，转盘停止后：

(1)求指针指向红色扇形的概率：

(2)指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？

16.如图，△8。内接于。。，N8是OO的直径，若/CZ)8=421求//5C的度数.

17.如图，己知△/8C,用直尺和圆规作△ABC的外接圆.(不写作法，保留作图痕迹)

18.已知关于x的方程/-2》+2册-1=0有实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)当〃?=；时，求方程的根.

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19.如图，在平面直角坐标系中，"8C各顶点的坐标分别为

71（-2,4）＞8（＜2）、C（-l,l）.

（1）画出与“8C关于原点。中心对称的图形△44G（点4、B、、G分别与力、B、C对

应）；

（2）在（1）的条件下，写出点4、G的坐标.

20.国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有4中

国京剧，B.中国武术，C.中国书画，D.中国医学，被世人称为中国的“四大国粹''.小

明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后

小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解.

（1）小明选择的是“中国书画''的概率为」

（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率.

21.如图，边长为2的正方形绕点Z逆时针旋转后得到正方形/8GR,且点8

的对应点片恰好在对角线/C上，点C的对应点G在/£＞的延长线上，点C的运动路

线为出，求图中阴影部分的面积.（结果保留力）

22.如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长

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25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车

棚垂直于墙的一边的长为多少米？

23.如图，已知抛物线y=加+fer+c与x轴交于、8(1,0)两点，与y轴交于点

C(O,3),其顶点为O,对称轴/与'轴交于点以

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸是该抛物线对称轴/上的一个动点，求尸8+PC的最小值.

24.如图，A/8C内接于是。。的直径，NC48的平分线交8c于点。，交。。

于点E,作EF〃BC,交的延长线于点兄

(1)求证：E尸是。。的切线；

(2)若8尸=9,EF=12,求。。的直径.

25.小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究：测

得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面

3.2m.建立如图所示的平面直角坐标系，其中x(m)是水柱距喷水头尸的水平距离，

y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求此抛物线的解析式:

试卷第5页，共6页

(2)若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小聪的同学小明站在水柱正下方，且

距喷水头尸的水平距离为3m,身高1.6m的小聪在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触

到水柱时，求他与同学小明的水平距离.

26.【基础巩固】

(1)已知等边“5C内接于。。，点P为标上的一个动点，连接以、PB、PC.

①如图1,当线段PC经过圆心0时，(填”或“<”)

②如图2,点P为标的任意一点(点尸不与点A、点8重合)，试探究线段PN,PB,

PC之间满足的等量关系，并说明理由；

【拓展提升】

(2)如图3,08c内接于。O,/C=15,点P是於上一点，连接尸/,作PEL/C于

点、E,在CE上截取EO=/E,连接PO并延长交。。于点G,连接CG,CG=5,求4E

的长.

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参考答案：

1.C

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180

度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

2.A

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事

件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断.

【详解】解：A、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；

B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；

C、明年的冬至会下雪，是随机事件，不符合题意；

D、从装满红球的袋子里摸出黄球，是不可能事件，不符合题意；

故选：A

3.D

【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大.利用概率公式求

解即可.

【详解】•••共6个数，有4个偶数，

二从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为:=

63

故选：D.

4.B

【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.连接00,OC,想办法求出NC4。，可得结论.

【详解】解：如图，连接OC.

答案第1页，共14页

A

4£>C=180°-58°=122°,

/.CAD=1800-NADC-ZJCD=180°-122°-40°=18°

故选：B

5.A

【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平移的性质，先根据题意求出抛物线的

顶点坐标是解答本题的关键.先求出y=--2x+3的顶点坐标，然后再按平移的规律求解

即可.

【详解】解：•.•y=f-2x+3=(x-11+2,

二顶点坐标为(1,2),

・•・向上平移2个单位长度后的顶点坐标是(1,4).

故选：A

6.C

【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质.先根据三角形外角的性质求出

乙4c0=61。，再由力8c绕点C按逆时针方向旋转至AOEC,得至ljZUBC当△£>£《，证明

NBCE=NACD,利用平角为180。即可解答.

【详解】解：；N/=32。，NB=29。,

Z.ZACD=ZA+ZB=320+29°=6\0,

绕点C按逆时针方向旋转至AOEC,

/.△ABCWADEC,

，ZACB=4DCE,

・・・/BCE=ZACD,

・・・/BCE=61。,

：.4CE=180。—/4。。一/8。£*=180。一61。-61。=580.

故选：C.

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7.D

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理

求出直径是解答本题的关键.连接03,构建Rt^OB。，利用勾股定理求出轮子的直径.

【详解】解：依题意，得AD=BD=3m,

则在RtZX08。中，OD2+BD2=OB2,

(y-1.5)2+32=(^-)2,

解得4=7.5,

所以该桨轮船的轮子直径为7.5m.

故选：D.

8.B

【分析】先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案;

【详解】解：由题意可得，

1

物=“

•••/点关于对称轴的对称点是：号3,乂)，

13

-2<0,-<1<-<2,

42

力>%>为，

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧.

9.2

【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的根满足方程是解答本题的关键.根据已

知条件，将一元二次方程的一个根x=-2直接代入方程中，求出左，选出答案.

答案第3页，共14页

【详解】解：依题意得，

方程，-2x-4%=0的一个根为x=-2,

(-2)2-2x(-2)-4^=0

:.k=2

故答案为：2

10.45

【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始

图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转

角.根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答.

【详解】解：：360°+8=45°,

.•.该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合.

故答案为：45

II.30

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位

置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势

来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.理解和掌握利用频率估计概率是解题

的关键.在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以

从比例关系入手，列出方程求解.

【详解】解：由题意可得，-=0.2,

a

解得〃=30.

故答案为：30

12.(2,273)

【分析】本题考查了坐标与图形变化？旋转，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是关键.直角

三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半，求出。/、CM的长度是解题的关键.作CM_Lx

轴于再利用旋转的性质求出8c=。8=4,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜

边的一半求出利用勾股定理列式求出CN,然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐

标即可.

【详解】解：作轴于

答案第4页，共14页

/.BC=OB=4,

・・•ZOSC=60°,

NMCB=30°,

BM=-BC=2,CM=ylB(^—MB?=116—4=2存

:.OM=OB—BM=4—2=2,

•••C(2,2®

故答案为：(2,2百)

15

13-7

【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确

表示出阴影部分的面积是解题的关键.设/E=x,矩形为BCD中/8=2,AD=3,可得

0<x<3,ZBAE=90°,由勾股定理可得8E?=/夕+NE?=2?+Y=Y+4,再由

疝=&WFC-S”列出二次函数求解即可.

【详解】解：设花=x,

•••在矩形488中/18=2,AD=3,

.■.0<x<3,ZBAE=90°,

BE2=AB2+AE2=22+X2=X2+4,

22

S|fl=SJE方形BEFG-S^ABE=BE-^ABAE=x+4-^x2x=^x-^+*

*/a=1>0,0<X<3,

・••当x时，S阴有最小值，为?，

故答案为：

4

答案第5页，共14页

14.x,=2,x2=-1

【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用因式分解法求解方程即可.

【详解】解：3x(x+l)=6(x+l),

3x(x+l)-6(x+l)=0,

(3x-6)(x+l)=0,

3x-6=0或x+1=0,

x,=2,x2=-1.

15.⑴；

(2)指针指向绿色扇形的概率大，见解析

【分析】此题考查了概率的计算公式，

(1)根据概率公式直接得到答案；

(2)分别求出指针指向红色和绿色扇形的概率，比较大小即可.

【详解】(1)8个全等的扇形中，红色扇形有2个，指针指向红色扇形的概率为;=1；

84

17

(2)指针指向红色扇形的概率为:，指针指向绿色扇形的概率为、

4o

..3\

♦—>一，

84

二指针指向绿色扇形的概率大.

16.48。

【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心

角度数的一半是解题的关键.如图所示，连接OC,由圆周角定理得到N3OC=2ZCDB=84°,

由平角的定义可得N/OC=180O-N8CO=96。，则由圆周角定理可得

ZABC^-ZAOC=4S°.

2

【详解】解：如图所示，连接OC,

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D

AB

C

:是。。的直径，ZCDB=42°,

/.BOC=2NCDB=84°,

AAOC=180°-NBCO=96°,

ZABC=-ZAOC=4S°.

2

17.见解析

【分析】分别作8C和4C的垂直平分线a、b,a与b的交点为O,然后以。点为圆心，OA

为半径作圆即可.

【详解】解：如图，。0为所作.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形的外接圆.

18.(1)«£1

(2)X[=0,刍=2

【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可；

（2）将加的值代入，求解方程即可.

【详解】（1）解：（1）♦.•关于X的方程/-2x+2m-l=0有实数根,

A=b2-4ac=4-4（2/n-1）>0.解得用£1.

（2）解：（2）当〃z=［时，原方程为工2一2%=0.

2

即%(%-2)=0,X]=0,刍=2,

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•••方程的根为0,2；

【点睛】本题考查了一元二次方程的跟的判别式，一元二次方程的解法，是考试中常考的考

点.

19.(1)见解析

(2)4(2,Tc(L-1)

【分析】此题考查了中心对称作图，确定中心对称图形的点坐标,

(1)分别确定点4、B,、G，顺次连线即可得到△48G；

(2)根据点4、G的位置确定坐标.

【详解】(1)如图，△4^6即为所求，

(2)由坐标系中的图形可得：4(2,-4),c,(l,-l)

20.⑴；

⑵3

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)直接利用概率公式求解即可；

(2)根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据

答案第8页，共14页

概率公式求解即可.

【详解】(1)小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为

故答案为：?

(2)列表如下:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,m(B,c)(B,D)

C(C,A)(C,5)(C,。)

D(D,A)(D,B)(AC)

••・一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况，

，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术'’的概率：

21.万—2

【分析】本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键.利用扇形的

面积减去三角形的面积解题即可.

【详解】解：在正方形中，乙40C=9O。，

AC=y)AD2+DC2=-V22+22=2近，

S阴影=5扇形4^一5&11？

45^x(2^)21

3602

=4一2

22.车棚垂直于墙的一边的长为8米

【分析】设垂直于墙的一边的长为X米，则平行于墙的一边的长为(25+1-2X)米，根据电

动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15

米，即可得出结论.

【详解】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(25+1-2X)米，

依题意得：x(25+l-2x)=80,

答案第9页，共14页

整理得f-i3x+40=0,

解得：阳=5,x2=8.

当x=5时，25+l-2x=25+l-2x5=16>15,不符合题意，舍去：

当x=8时，25+l-2x=25+l-2x8=10<15,符合题意.

答：车棚垂直于墙的一边的长为8米.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

23.(l)y=-x2-2x+3

⑵P8+PC的最小值为34

【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题

的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长.

(1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

(2)先求出对称轴，得出点”(-3,0)、8(1,0)关于对称轴/对称，连接/C交对称轴/于点P,

连接8尸，此时尸8+PC的值最小，即为/C的长求出即可.

【详解】(1)解：将点”(一3,0)、8(1,0)、C(0,3)代入+得：

9。一36+。=0a=-\

解得：卜=-2,

<。+力+c=0

c=3c=3

・•・抛物线的解析式为V=-X2_2X+3；

(2).・.抛物线歹=一/一2工+3的对称轴为/=一1,

・••点/(-3,0)、8(1,0)关于对称轴/对称，

•・•连接/C交对称轴/于点尸，连接BP,此时PB+PC的值最小,

答案第10页，共14页

•••AP=BP,

.,.28+尸。的最小值是/。，

■.■A(-3,0).C(0,3),

:.AC^^(-3)2+(-3)2=372，

.,.P8+PC的最小值为34.

24.⑴见解析

(2)。。的直径为7

【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，勾股

定理，掌握切线的判定定理是解题的关键.

(1)连接OE,OC,根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得

根据切线的判定定理可得结论；

(2)在RtZXOEF中，由勾股定理得+E尸2=0尸，OE=OB,进行替换即可求出半径

的长，从而得到结果.

【详解】(1)证明：如图，连接OE,OC,

•.•ZE平分NC/8,

NCAE=ZBAE,

:.CE=BE

NCOE=ZBOE,

QOC=OB,

OELBC,

■：BC//EF,

OE1EF,

•••0E是。。的半径,

答案第11页，共14页

尸是。。的切线；

(2)在Rt^OE尸中，由勾股定理得：OE2+EF2=OF2,

■：OE=OB,

OE1+EF2={OE+BF)2即OE2+122=(OE+9)2,

解得：OE=3-,

2

。。的直径=31x2=7.

2

25.(1)抛物线的表达式为5

(2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是2m或6m

【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题.

(1)由抛物线顶点(5,3.2),设抛物线的表达式为y=a(x-5y+3.2,用待定系数法可得抛物

线的表达式为"-#+x+(;

(2)当V=L6时，-《/+乂+5=1.6,解得X=1或X=9,即得他与小明的水平距离为2加或

6m・

【详解】(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2),

设抛物线的表达式为y=a(x-5>+3.2,将(007)代入得：

0.7=25。+3.2,

解得a=——,

答：抛物线的表达式为蚱-奈+工+《；

17

(2)当y=L6时，-历x?+x+历=1.6,

解得x=l或x=9,

・•.他与小明的水平距离为3-l=2(m)或