山西省榆社中学2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

山西省榆社中学2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为()

A.24〃B.8而rC.生叵2D.12万

3

2.已知以"表示两条不同的直线，a,尸表示两个不同的平面，且〃2_1%”<=/?,贝!!“。_1，”是“加〃“”的()条

件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

z—i

3.设复数z满足—=z-2i(i为虚数单位)，则z=()

13.

---------1

22

4.7(x)=Acos(ft>x+0)(A>O,o>O)的图象如图所示，g(x)=—Asin(cox—0),若将y=/(x)的图象向左平移

a(a>0)个单位长度后所得图象与y=g(x)的图象重合，则。可取的值的是()

nIn

312

O

B.V2

已知等差数列｛4｝的前n项和为Sn,若q=12,工=90,则等差数列｛4｝公差d=(

已知条件P：a=-1,条件4：直线%—分+1=。与直线x+—1=0平行，则0是^的(

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

8.若双曲线上—t=1的离心率e=Y7,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()

4b22

A.2A/3B.2C.y/3D.1

9.函数一..、,=-之的定义域为()

A.尼，3)U(3,+oo)B.(-00,3)U(3,+oo)

C.[-,+oo)D.(3,+oo)

10.复数4在复平面内对应的点为(2,3)/2=—2+i,则无=()

Z2

18.18.,8.«8.

A.------1—lB.-----------1C.—1H—lD.-11

555555

11.设/(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+l)2—2'+L贝！⑴—g6=()

A.-1B.0C.1D.3

12.总体由编号为01,02,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表

(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()

6044664421

6606580562

6165543502

4235489632

1452415248

9266221586

7663754199

5842367224

A.23B.21C.35D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

B在。+内的二项展开式中，所有项的系数之和为3,则展开式常数项的值等于

14.执行右边的程序框图，输出的T的值为.

n=l.T»l

22

15.点P在双曲线2=1（。〉°，6〉°）的右支上，其左、右焦点分别为耳、耳，直线尸片与以坐标原点。为圆

心、。为半径的圆相切于点A,线段尸片的垂直平分线恰好过点招，则该双曲线的渐近线的斜率为.

23k

16.设〃=1—9OC；o+90C^-90C^+---+（-l/90金）+…+笫。C：：,则“除以88的余数是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A,

8两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本

为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若3工序出现故障，则生产成本增加3万元；若4,3两

道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a,万两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概

率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元;

若分工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a,%两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.

（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；

（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.

18.（12分）在直角坐标系中，直线/过点P（l,2）,且倾斜角为a,以直角坐标系的原点。为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22（3+sin2©）=12.

（1）求直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；

（2）设直线/与曲线C相交与M,N两点，当|。闸归叫=2,求戊的值.

19.（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC

中点，G为线段EC中点.

（I）求证：FG//平面PBD；

(II)求证：BD±FG.

20.（12分）如图所示的几何体中，面底面ABC。，四边形AD所为正方形，四边形ABC。为梯形,

JT

AB//CD,NBAD=—,AB=AD=2CD=4,G为BF中点.

2

（1）证明：CG〃面ADEF；

（2）求二面角A—跖―C的余弦值.

21.（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年

的相关数据如下表所示:

年份20112012201320142015201620172018

年生产台数（万台）2345671011

该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修台数（台）2122286580658488

18188

部分计算结果：x=-^Xi=6,£(%.—可-=72,

3i=ioi=ii=i

88

Z(X一》=18.045,Z(%-元)(­)=34.5

i=li=l

年返修台数

注:年返修率=

年生产台数

（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以自表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求J的分布列和

数学期望;

(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(百万元)关于年

生产台数X(万台)的线性回归方程(精确到0.01).

附：线性回归方程y=+6中，$=X),：/二邑广，「a=y-bx.

zLT(%一元厂2,=x,--n-x

22

22.(10分)已知椭圆C:=+：=l(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(一后，0)、F2(&,0).点M(1,0)

a"b"

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m/3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，

设直线AN、NP、BN的斜率分别为％、k2、k3,若ki+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，

•.•四面体所有棱长都是4,

.•.正方体的棱长为2应,

设球的半径为广，

则2厂=«2用+4?，解得厂二",

所以S=4万产=24万，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对

角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.

2、B

【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.

【详解】

对于充分性：若则私〃可以平行，相交，异面，故充分性不成立；

若相〃"，则〃_La,〃u/7,可得,必要性成立.

故选：B

【点睛】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条

件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

3、B

【解析】

易得Z=1^,分子分母同乘以分母的共朝复数即可.

【详解】

「人…2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

由已知，z-i=zi+2,所以z==--------------=-------=二+二八

1-12222

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

4、B

【解析】

根据图象求得函数y=/(x)的解析式，即可得出函数y=g(x)的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意

可得出关于。的等式，即可得出结果.

【详解】

24

由图象可得A=l,函数y=f(x)的最小正周期为T=4x71(O-——=2,

T

7»7»

cos2xZ|+J=cos^+J=_b

~L212

7TC7CTC

则----\-(p=7i+lkji[kGZ),:.(p=-----b2^(^eZ),取夕=---

666

・••/(x)=cos2x----,贝(lg(x)=-sin[2x+?=c°s2x+也

I6I3

71

：・g(x)=/(x+a)=cosf2x+2a--\,2a--=—+2k7i,可得a='+左乃(左eZ),

I6；6312

当左=0时，a=—.

12

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.

5、A

【解析】

■2020

利用复数的乘方和除法法则将复数—化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-i

【详解】

；202011.•11

严的=口5。5=俨5j[=；+%,

,2020

因此,

1^7

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

6、C

【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出.

【详解】

Vai=12,S5=90,

5x4

.,.5x12+----d=90,

2

解得d=l.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7、C

【解析】

先根据直线x-ay+\=Q与直线x+/y_1=o平行确定a的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线x—ay+l=。与直线x+—1=0平行，

所以片+4=0，解得。=0或。=一1；即0a=0或。=一1；

所以由p能推出q；q不能推出

即p是q的充分不必要条件.

故选C

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

8、C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得“力,。的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线三—1=1的离心率6=立，

4b22

则a=2,e=±=W，解得c=J7,所以焦点坐标为（土行,0）,

所以b7c2—a?=47—4=6,

则双曲线渐近线方程为y=±#x，即、&±2y=0,

&币L

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d=_______=6,

y/3+41

故选：c.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

9、A

【解析】

根据塞函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】

因为函数二二\二二I一:-二'二i，

解得且二:5；

「■函数二（二）=厂7♦工的定义域为艮3）u（3,+x）,故选A.

【点睛】

定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际

意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数二二的定义域为二二:，则函数二二7的定义域由不

等式二<二（二）W二求出.

10、B

【解析】

z,

求得复数4,结合复数除法运算，求得」的值.

Z2

【详解】

z.2+3,(2+3以-2_，)(2+3。(-2，)-l-8z_18.

易知12+3，，则三=’7

(-2+z)(-2-z)55~^5~51

故选:B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

11、C

【解析】

先根据奇偶性，求出/（%）-g（x）的解析式，令x=l,即可求出。

【详解】

因为“X)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/(x)+g(x)=(x+l)2-2"1,用-X替换X,得

/(-x)+g(-x)=(-x+l)2-2-田，

化简得_/(x)+g(x)=(x—1)2-2-+1,即/(x)—g(x)=2-+1_(x_1)2

令x=l,所以/(I)—g(l)=2°—0=1,故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

12、B

【解析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.

【详解】

随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46,64,

42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…，39,40内

的有：16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、15

【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.

【详解】

的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,

故［W+6)的展开式的通项公式为Tr+产C'-35-r1i。,令^厂-10=0,解得r=4,可得常数项为T5=C、3=15,故填15.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

6

【解析】

初始条件〃=LT=L"<3成立方；

.r13

运行第一次：T=l+公=1+—=一,〃=2,〃<3成立；

I22

313111

运行第二次：T=—+[x1dx=—+—=一,n=3,n<3不成立;

2J236

输出T的值：?.结束

6

所以答案应填：

6

考点：1、程序框图；2、定积分.

15、4

【解析】

如图，A是切点，3是尸£的中点，因为|Q4|=a|所以忸闾=2a,又怩司=2c,所以忸耳|=2"忸闾=4b,

又忙闾=|耳闻=2c,根据双曲线的定义，有归国-归闾=2a,即4b-2c=2z,两边平方并化简得

c5h

3，—2改—5/=0,所以一二彳，因此2=4

a3a3

16、1

【解析】

利用二项式定理得到“=891°，将89写成1+88,然后再利用二项式定理展开即可.

【详解】

n=(l-9O)10=8910=(1+88)10=1+88C：。+882量+883C^+---+8810C*°,因展开式中

后面10项均有88这个因式，所以〃除以88的余数为L

故答案为：1

【点睛】

本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题

是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析

【解析】

(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；

(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.

【详解】

(1)若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为

(1-0.02)x0.03=0.0294.

(2)若选择生产线①，设增加的生产成本为々万元)，则J的可能取值为0,2,3,5.

p(^=0)=(l-0.02)x(l-0.03)=0.9506,

P(^=2)=0.02x(1-0.03)=0.0194,

尸伍=3)=(1-0.02)x0.03=0.0294,

尸伍=5)=0.02x0.02=0.0006,

所以E⑷=0x0.9506+2x0.0194+3x0.0294+5x0.0006=0.13万元；

故选生产线①的生产成本期望值为15+0.13=15.13(万元).

若选生产线②，设增加的生产成本为〃(万元)，则〃的可能取值为0,8,5,13.

p(?7=0)=(l-0.04)x(1-0.01)=0.9504,

尸=8)=0.04x(1-0.01)=0.0396,

P(T7=5)=(1-0.04)x0.01=0.0096,

P(T7=13)=0.04x0.01=0.0004,

所以石(〃)=0x0.9504+8x0.0396+5x0.0096+13x0.0004=0.37,

故选生产线②的生产成本期望值为14+0.37=14.37(万元)，

故应选生产线②.

【点睛】

本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.

JT

18、（I）曲线（是焦点在轴上的椭圆；（II）一.

4

【解析】

x=\+tcosa（万、

试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为c.,（/为参数），0,-；曲线I的直角坐标方程为

y=2+Zsin«I2）

22

%--Q--1=1,椭圆；（2）将直线代入椭圆得到（3cos2a+4sin2a）产+（6cosa+16sina"+7=0,所以

4---3

7TC

\PM\-\PN\=tt=-^——^=2,解得

c23coso+4sma4

试题解析：

lx=14-rcosa,“―(n

（I）直线的参数方程为

曲线I的直角坐标方程为-4I.',即'

43

所以曲线I是焦点在，轴上的椭圆.

（II）将/的参数方程f=，*/CWa,（f^#ftXa代入曲线C的直角坐标方程为3?+4/=12

|y=2+，3inaI2）

得(3cos'a+4sin*a)t:+(6cos<z+16sinaV+7=0»

7

:.\PM\-\PN\=tx-t2=——-----------丁=2,

1111123cos2«+4sin2tz

得sin2«=一，

2

19、（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

分析：（1）先证明FG//PE,再证明FG〃平面尸皮）.（2）先证明BD,平面PAC,再证明30上尸G.

详解：证明：（1）连结PE,因为G.、F为EC和PC的中点，

.^.FG//PE,FGa平面PBD,PEcz5P^PBD,/.FG||PE,

又FGa平面PBD,PEu平面PBD,所以FG||平面PBD

(ID因为菱形ABCD,所以BDLAC,

又PAL面ABCD,BDu平面ABCD,所以BDLPA,

因为PAu平面PAC,ACu平面PAC,且PAcAC=A,

.•.BDL平面PAC,

•.*FGu平面PAC,.^.BD，FG.

点睛：(D本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明

空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.

20、(1)见解析；(2)-

3

【解析】

⑴取AE的中点结合三角形中位线和长度关系，CD7/G为平行四边形，进而得到CG〃m)，根据线面平行判定

定理可证得结论；

⑵以AB,AD,AF为x,y,工轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据

二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

【详解】

(1)取AF的中点"，连结GH,HD

因为G为3歹中点，AB//CD,AB=2CD,

所以GHHCD,G7/=C£),二CDHG为平行四边形，

所以CG//HD,

又因为〃Du面ADEN,CG(T:\SADEF

所以CGAD"；

(2)由题及(1)易知AB,AD,AF两两垂直，

所以以AB,AD,AE为％,V,z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),5(4,0,0),0(0,4,0),F(0,0,4),C(2,4,0),丽二(T,0,4),FC=(2,4,^)

易知面AB厂的法向量为勺=(0,1,0)

设面ABF的法向量为为=(x,y,z)

%•BF=-4x+42=0

则2

n2•FC=2%+4y-42=0

可得"2=l,g,l

1

如图可知二面角A-防-C为锐角，所以余弦值为g

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.

21、(1)见解析；(2)y=0.48x+1.27

【解析】

(1)先判断得到随机变量J的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分

布列和期望.(2)由于去掉2015年的数据后不影响B的值，可根据表中数据求出然后再根据去掉2015年的数据

后所剩数据求出a即可得到回归直线方程.

【详解】

(1)由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀.

由题意4的所有可能取值为。，1,2,3,

1

p(^=0)=-^=—

I7Cl56

o

5)=岩15

56

龌=2)罕丁15

c8DO28

C3coin

。t=3)="="5

\7Cl5628

o

故J的分布列为:

0123

115155

P

56562828

所以+l义"+2义竺+3x9="

565628288

（2）因为毛=元=6,所以去掉2015年的数据后不影响B的值,

Z：=1（%一元）（%—9）_34.5

所以B=”0.48.

72

4x8-329

又去掉2015年的数据之后x=6牛6=6,y=

77

八29345

所以&=歹一版=---------x6«1.27,

"