湖南省永州市江华县市级2024届十校联考最后数学试题含解析

湖南省永州市江华县市级名校2024学年十校联考最后数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元.已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（）

A.160元B.180元C.200元D.220元

2.不等式3x-5的最小整数解是（）

A.-3B.-2C.-1D.2

3.整数在数轴上对应点的位置如图，实数c在数轴上且满足a<c<b,如果数轴上有一实数d,始终满足c+d20,

则实数d应满足（）.

，——।——

-101

A.d<aB.a<d<bC.d<bD.d>b

4.当x=l时，代数式x3+x+m的值是7,则当x=-1时，这个代数式的值是（）

A.7B.3C.1D.-7

5.如图，在AABC中，ZACB=90°,CD^AB于点D,则图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

6.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）

B

ABCBADAB

A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABCC.——=——D.——=——

BDCDABAC

7.截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29,28,29,31,31,31,29,31,则由

年龄组成的这组数据的中位数是（）

A.28B.29C.30D.31

8.下列图形中，可以看作中心对称图形的是（)

c.D

9.如图，小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得NCAD=60。，ZBCA=30°,

C.10A/3mD.1273m

10.已知二次函数y=ax?+bx+c（awO）的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0；③当x<0时，y<0；

④2a+b=0,其中错误的结论有（)

A.②③B.②④C.①③D.①④

11.下列计算正确的是（）.

11

A.（x+y）2=x2+y2B.(-----xy2)3=—x3y6

26

2

C.X6vX3=X2D.7^27=

12.如图，以NAOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C、D为圆心,

大于‘CD的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是

2

A.射线OE是NAOB的平分线

B.△COD是等腰三角形

C.C、D两点关于OE所在直线对称

D.O、E两点关于CD所在直线对称

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知：如图，矩形中，AB=5,5c=3,E为AO上一点，把矩形A5CZ）沿BE折叠，若点A恰好落在CZ）

上点尸处，则AE的长为.

14.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数/=色和7=3的图象交于点A

和点3,若点C是x轴上任意一点，连接AGBC,则△A5c的面积为

15.如图，一根5机长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小

羊A在草地上的最大活动区域面积是平方米.

16.分解因式：x2y-2xy2+y3=

17.若关于x的一元二次方程侬；2一2%_i=o无实数根，则一次函数丁=如+”的图象不经过第象限.

18.如图，一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=8（k>0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C,若

x

tanZAOC=-,则k的值为.

3

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知NA=30。，ZABC=75°,AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离

（结果保留根号）.

20.(6分)如图，在AABC中，NACB=90。，ZABC=10°,ACDE是等边三角形，点D在边AB上.

(1)如图1,当点E在边BC上时，求证DE=EB；

(2)如图2,当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

(1)如图1,当点£在4ABC外部时，EHLAB于点H,过点E作GE〃AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,

BH=1.求CG的长.

21.(6分)如图，抛物线y=-A?+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,

已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；

如果不存在，请说明理由；

(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形

CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

22.(8分)由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200

元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50

台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.完成下

列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围;

售价（元/台）月销售量（台）

400200

250

X

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

23.（8分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一点，过点D作DELBC,

交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.求证：CE=AD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明理由；若D为AB中点，则当NA=时，四边形BECD是正方形.

MggN

7W

24.（10分）如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5百，求BD的长.

25.（10分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次

用字母A,B,C表示这三个材料），将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在

桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按

各自抽取的内容进行诵读比赛.小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）请用列表或画树状图的方法求

他俩诵读两个不同材料的概率.

26.（12分）问题提出

（1）.如图1,在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,NBAD=NBCD=90。，ZADC=60°,则四边形ABCD的

面积为_;

问题探究

（2）.如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZABC=135°,AB=22,BC=3,在AD、CD上分别找

一点E、F,使得ABEF的周长最小，作出图像即可.

27.（12分）某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一

项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级⑵班作为样本，对该班学生参

加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：

八年级⑵班参加球类活动人数情况统计表

项目篮球足球乒乓球排球羽毛球

人数a6576

八年级⑵班学生参加球类活动人数情况扇形统计图

根据图中提供的信息，解答下列问题：a=,b=.该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的

人数约人；该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A,B,。和2位女同学（D,E）,现准备从中选取

两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解题分析】

利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可.

【题目详解】

解：设原价为X元，根据题意可得：

80%x=140+20,

解得：x=l.

所以该商品的原价为1元；

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键.

2、B

【解题分析】

先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可.

【题目详解】

•3x>x-

,,3x-x>-5,

A、5,

•••不等式>x-5的最小整数解是x=-2.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如

果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变.

3、D

【解题分析】

根据“土立，可得c的最小值是-1,根据有理数的加法，可得答案.

【题目详解】

由aScWA,得：c最小值是-1,当c=-l时，c+d=-1+d,-1+6>0,解得：d>l,.\d>b.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了实数与数轴，利用a<c<b得出c的最小值是-1是解题的关键.

4、B

【解题分析】

因为当x=l时，代数式-「的值是7,所以l+l+m=7,所以m=5,当x=-l时，=-1-1+5=3,

故选B.

5、C

【解题分析】

；NACB=90。，CD±AB,

/.△ABC^AACD,

△ACDsCBD,

△ABCsCBD,

所以有三对相似三角形.

故选C.

6、C

【解题分析】

由NA是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等

的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.

【题目详解】

•••NA是公共角，

.•.当/ABD=NC或NADB=NABC时，△ADBs^ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合

题意要求；

当AB：AD=AC：AB时，△ADBs/\ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，

不符合题意要求；

AB：BD=CB：AC时，NA不是夹角，故不能判定AADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，

故选C.

7、C

【解题分析】

根据中位数的定义即可解答.

【题目详解】

解：把这些数从小到大排列为：28,29,29,29,31,31,31,31,

最中间的两个数的平均数是：上29+工31~=30,

2

则这组数据的中位数是30;

故本题答案为：C.

【题目点拨】

此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平

均数），叫做这组数据的中位数.

8、B

【解题分析】

根据中心对称图形的概念求解.

【题目详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、A

【解题分析】

过C作CE_LAB,

RtAACE中，

VZCAD=60°,AC=15m,

；.NACE=30。，AE=-AC=-xl5=7.5m,CE=AC・cos30°=15x3=身叵，

2222

VZBAC=30°,ZACE=30°,

ZBCE=60°,

:.BE=CE«tan60°=^^xJ3=22.5m,

2.

.\AB=BE-AE=22.5-7.5=15m,

故选A.

【题目点拨】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案.

10、C

【解题分析】

①根据图象的开口方向，可得a的范围，根据图象与y轴的交点，可得c的范围，根据有理数的乘法，可得答案;

②根据自变量为-1时函数值，可得答案；

③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；

④根据对称轴，整理可得答案.

【题目详解】

图象开口向下，得aVO,

图象与y轴的交点在x轴的上方，得c>0,ac<,故①错误；

②由图象，得x=-l时，y<0,即a-b+c<0,故②正确；

③由图象，得

图象与y轴的交点在x轴的上方，即当xVO时，y有大于零的部分，故③错误；

b

④由对称轴，得x=--=1,解得b=-2a,

2a

2a+b=0

故④正确；

故选D.

【题目点拨】

考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线向上开口；当a

<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左;

当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点

个数由判别式确定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac

<0时，抛物线与x轴没有交点.

11,D

【解题分析】

分析：根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数塞的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可.

详解：(x+y)2=x2+2xy+y2,A错误；

(-^-xy2)3=-1-x3y6,B错误；

28

X6*3=x3,C错误；

2)2=4=2,D正确；

故选D.

点睛：本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数塞的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘

方法则、同底数塞的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键.

12、D

【解题分析】

试题分析：A、连接CE、DE,根据作图得至UOC=OD,CE=DE.

•.•在△EOC与△EOD中，OC=OD,CE=DE,OE=OE,

/.△EOC^AEOD(SSS).

/.ZAOE=ZBOE,即射线OE是NAOB的平分线，正确，不符合题意.

B、根据作图得到OC=OD,

.••△COD是等腰三角形，正确，不符合题意.

C、根据作图得到OC=OD,

又•射线OE平分NAOB,.'OE是CD的垂直平分线.

.•・C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意.

D、根据作图不能得出CD平分OE,，CD不是OE的平分线，

...€>、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意.

故选D.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

5

13、一

3

【解题分析】

根据矩形的性质得到CD=AB=5,AD=BC=3,ND=NC=90。，根据折叠得到3尸=AB=5,EF=EA,根据勾股定理求

出CF,由此得到DF的长，再根据勾股定理即可求出AE.

【题目详解】

•矩形中，AB=5,BC=3,

；.CD=AB=5,AD=BC=3,ND=NC=90。，

由折叠的性质可知，BF=AB=5,EF=EA,

在RtABCF中，CF=y]BF2-BC2=%

:.DF=DC-CF=1,

设AE=x,贝！jEF=x,DE=3>-x,

在RtAOEF中，EF^^DE^DF2,即3=(3-x)2+12,

解得，x=-,

3

故答案为：—.

3

【题目点拨】

此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由折叠得到BF的长度是解题的关键.

14、1.

【解题分析】

设P(0,b),

,直线APB〃x轴，

/•A,B两点的纵坐标都为b,

4

而点A在反比例函数y=-一的图象上，

X

44

，当y=b,x=--,即A点坐标为,b),

bb

2

又・・•点B在反比例函数y=一的图象上，

x

2.2

，当y=b,x=-,即B点坐标为(7，b),

bb

.AR-2(46

••A15-----k--)——

bbb9

・116

••SAABC=-•AB*OP=—•—*b=l.

22b

77.

15、一jtm2

12

【解题分析】

试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5,圆心角度数为90。的扇形和半径为1,圆心角为60。的扇

,90xx2560XTTX177

形，则ntc$=-----------+----------=—7t.

36036012

点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型.本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇

形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键.在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计

算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算.

16、y(x-y)2

【解题分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可

【题目详解】

x2y-2xy?+y3=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2.

【题目点拨】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17、一

【解题分析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到mWO且△=(-2)2一4mx(-1)<0,所以m<-L然后根据一次函数的性

质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可.

【题目详解】

•••关于x的一元二次方程mx2-2x-l=0无实数根，

.,.111邦且4=(-2)2-4mx(-1)<0,

...一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.

故答案为一.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与△=b?-4ac有如下关系：当时，方程有两个不

相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当AVO时，方程无实数根.也考查了一次函数的性质.

18、1

【解题分析】

【分析】如图，过点A作AD_Lx轴，垂足为D,根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x-2的图象与反比

例函数y=8(k>0)的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值即可.

X

【题目详解】如图，过点A作ADJ_x轴，垂足为D,

AZ)1

VtanZAOC=-----=—,.二设点A的坐标为(la,a),

OD3

•.•一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=K(k>0)的图象相交于A、B两点，

X

.*.a=la-2,得a=L

/.1=—,得k=l,

3

故答案为：L

【题目点拨】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、C点到地面AD的距离为：（272+2）m.

【解题分析】

直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE,CF的长，进而得出答案.

【题目详解】

过点B作BE_LAD于E,作BF〃AD,过C作CF_LBF于F,

在RtAABE中，,:ZA=30°,AB=4m,

.\BE=2m,

由题意可得：BF/7AD,

则NFBA=NA=30。，

在RtACBF中，

VZABC=75°,

.,.ZCBF=45°,」

；BC=4m,

.,.CF=sin45°«BC=2V2m,

AC点到地面AD的距离为：（20+2）%.

【题目点拨】

考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

20、(1)证明见解析；(2)ED=EB,证明见解析；(1)CG=2.

【解题分析】

⑴、根据等边三角形的性质得出NCED=60。，从而得出NEDB=10。，从而得出DE=BE；

(2)、取AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后

得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，

设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

【题目详解】

⑴•••△CDE是等边三角形，

/.ZCED=60°,

，NEDB=60°-NB=10°,

.,.ZEDB=ZB,

/.DE=EB；

⑵ED=EB,理由如下：

取AB的中点O,连接CO、EO,

VZACB=90°,ZABC=10°,

AZA=60°,OC=OA,

.,.△ACO为等边三角形，

.*.CA=CO,

,,,△CDE是等边三角形，

ZACD=ZOCE,

.,.△ACD之△OCE,

/.ZCOE=ZA=60o,

/.ZBOE=60°,

.'.△COE也△BOE,

.\EC=EB,

/.ED=EB；

(1)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,由(2)ACD^AOCE,

AZCOE=ZA=60°,

AZBOE=60°,ACOE^ABOE,

.\EC=EB,

/.ED=EB,

VEH±AB,

ADH=BH=1,

VGE/7AB,

.*.ZG=180°-ZA=120°,

/.△CEG^ADCO,

ACG=OD,

设CG=a,则AG=5a,OD=a,

/.AC=OC=4a,

VOC=OB,

:.4a=a+l+l,

解得，a=2,

即CG=2.

⑴存在，Pl（二，2）,Pl（三，二），P3（二，-二）

⑶当点E运动到（1,1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=一・

【解题分析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（1）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于

Pi;以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点Pi,P3；作CH垂直于对称轴与点H,由等腰三角形的性质及勾股定

理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F

的坐标，由四边形CDBF的面积=SABCD+SACEF+SABEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

试题解析：(1)•••抛物线y=-gxi+mx+n经过A(-1,0),C(0,1).

■

解得：卜V,

I愉-2

二抛物线的解析式为：y=-xi+±x+l；

,y>>

।a

(1)Vy=--x】+二x+1,

/.OC=1.

在RtAOCD中，由勾股定理，得

CD=-.

■

VACDP是以CD为腰的等腰三角形，

/.CPI=CPI=CP3=CD.

作CHLx轴于H,

.\HPi=HD=l,

ADPi=2.

/.Pl(f,2),Pl(二，二)，P3(二,——)；

1a

(3)当y=0时，0=-:x】+：x+1

xi=-lfxi=2,

AB(2,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象，得

卜1=二冬4•勒

••I

解得：！w

二直线BC的解析式为:y=--x+1.

11;

如图1,过点C作CMJ_EF于M,设E(a,-a+1),F(a,--ax+-a+l),

[;1]

/.EF=--ax+a+1-(-a+1)=-ax+la(0<x<2).

e

S四边形CDBF=SABCD+SACEF+SABEF=—BD*OC+一EF*CM+-EFBN,

=--二+a(-ax+la)+(2-a)(-a1+la),

・))，/)/)/)/?

<

=-a1+2a+(0<x<2).

(a-1)1+二

1*

/.a=l时，S四边形CDBF的面积最大=—,

考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值

22、(l)390,L5x,y=-5x+l(300WxS2);(2)售价定位320元时，利润最大，为3元.

【解题分析】

(1)根据题中条件可得390,l-5x,若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根

据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.

(2)用x表示y,然后再用x来表示出w,根据函数关系式，即可求出最大w.

【题目详解】

(1)依题意得:

400-x

y=200+50x

10

化简得：y=Tx+L

⑵依题意有:

eJx>300

,[-5%+2200>450)

解得300<x<2.

(3)由(1)得：w=(-5x+l)(x-200)

=-5x2+3200X-440000=-5(x-320)2+3.

；x=320在300SXW2内，.•.当x=320时，w最大=3.

即售价定为320元/台时，可获得最大利润为3元.

【题目点拨】

本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解

法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键.

23、(1)详见解析；(2)菱形；(3)当NA=45。，四边形BECD是正方形.

【解题分析】

⑴先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

⑵求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可；

⑶求出NCDB=90。，再根据正方形的判定推出即可.

【题目详解】

(1)VDE±BC,

ZDFP=90°,

；NACB=90。，

.\ZDFB=ZACB,

ADE//AC,

VMN//AB,

...四边形ADEC为平行四边形,

.\CE=AD；

(2)菱形，理由如下：

在直角三角形ABC中，

；D为AB中点，

，BD=AD,

VCE=AD,

/.BD=CE,

/.MN//AB,

.,.BECD是平行四边形，

VZACB=90°,D是AB中点，

/.BD=CD,(斜边中线等于斜边一半)

二四边形BECD是菱形；

(3)若D为AB中点，则当NA=45。时，四边形BECD是正方形，

理由：；/A=45°,NACB=90。，

.,.ZABC=45°,

•••四边形BECD是菱形，

/.DC=DB,

.,.ZDBC=ZDCB=45°,

/.ZCDB=90°,

•••四边形BECD是菱形，

二四边形BECD是正方形，

故答案为45°.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟

练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

24、BD=2^/41.

【解题分析】

作DM_LBC,交BC延长线于M,连接AC,由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25,求出AC2+CD2=AD2,由勾股定理

的逆定理得出△ACD是直角三角形，ZACD=90°,证出NACB=NCDM,得出AABCs/\CMD,由相似三角形的对

应边成比例求出CM=2AB=6,DM=2BC=8,得出BM=BC+CM=10,再由勾股定理求出BD即可.

【题目详解】

作DMLBC,交BC延长线于M,连接AC,如图所示：

则NM=90。，

:.ZDCM+ZCDM=90°,

；NABC=90。，AB=3,BC=4,

/.AC2=AB2+BC2=25,

VCD=10,AD=5A/5，

/.AC2+CD2=AD2,

.♦.△ACD是直角三角形，ZACD=90°,

ZACB+ZDCM=90°,

/.ZACB=ZCDM,

；NABC=NM=90。，

/.△ABC^ACMD,

AB1

------=—，

CM2

，CM=2AB=6,DM=2BC=8,

.,.BM=BC+CM=10,

；•BD=^BM-+DM-=V102+82=2