广东省广州四中2023-2024学年高二年级下册期中数学试题（含答案解析）

广东省广州四中2023-2024学年高二下学期期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列导数运算正确的是()

/、，/IUIn2

A.(sinx)=-cosxB.(log2xj=-----

2.函数7⑺是定义在R上的可导函数，若lim"无。-2—）=1,则/，（,）=（）

-Ax

A.2B.3C.-D.-3

3

3.用5种不同的颜色对如图所示的A,B,C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一

种颜色，则共有（）种不同的着色方法.

ABC

A.60B.64C.80D.125

4.己知函数/⑺的图象如图所示，则不等式#'（“＜。的解集为（）

B.(-^0)uQ,2j

D.(一8,0)°|；,+8

5.若过点P（f,0）可以作曲线丁=（1-工）廿的两条切线，贝心的取值范围是（）

A.(-3,1)B.(l,+oo)

C.(-oo,-3)D.(^o,-3)u(l,+oo)

6.已知（x-2y）”的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系

数为（）

A.—4B.84C.—280D.560

7.若函数/（元）=丘-61nx-炉在区间口,+8）上单调递减，则实数上的取值范围为（）

A.卜―46）B.

C.（一8,8）D.（-OO,4A/3J

8.已知函数〃x）=Me"-lnx,当x>0时，/（九）>0恒成立，则加的取值范围为（）

A.（-,+<»jB.R,ejC.[1,+oo）D.（-<»,e）

二、多选题

9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，贝U（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

10.对于函数/（x）=/，下列说法正确的是（）

A.f（%）在尤=浜处取得极大值为：

3e

B./（另有两个不同的零点

C.f网</晌：）

12

D.若〃在区间（0,+8）上恒成立，则％冷

11.定义：设尸（X）是“X）的导函数，尸⑺是函数尸（X）的导数，若方程一（力=0有实数

解％,则称点&,〃％））为函数y=/（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有

“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数〃尤）=渥+法2+g（仍H0）的对称

中心为（1,1）.则下列说法中正确的有（）

c.函数〃元）只有唯一零点

试卷第2页，共4页

D.过可以作三条直线与y=〃x)图象相切

三、填空题

12.3名男生，4名女生，全体站成一排，男生不能站在一起的方法种数为一.

13.某个体户计划同时销售A,B两种商品，当投资额为尤(%>0)千元时，在销售A,8商

品中所获收益分别为“X)千元与g(x)千元，其中〃尤)=2无，g(x)=41n(2x+l),如果该

个体户准备共投入5千元销售A,B两种商品，为使总收益最大,则8商品需投千元.

14.己知函数/(x)的导函数为，⑶，对任意的实数x都1(x)=2(x-a)e*+/(x),且八0)

=1,若/(x)在(-1,3)上有极值点，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.已知数列｛q｝("©N*)是公比不为1的等比数列，其前〃项和为S”.已知3q,2g必成等

差数列，$3=26.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若£=(〃+；)%,求数列｛〃｝的前〃项和4.

16.己知函数〃x)=(Y—4x+l)e，.

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵当xe[-2,4]时，求函数y=/(x)的最值.

17.如图，三棱柱ABC-4与£所有棱长均为2,ZQCA=60°,侧面AC£4与底面9C垂

直，。、E分别是线段AC、CG的中点.

(1)求证：AC±BE；

⑵若点歹为棱BG上靠近用的三等分点，求点尸到平面8■的距离.

18.已知双曲线C：=一与=1(“>0力>0)的离心率为后，点(3,-1)在双曲线C上.过C的

左焦点F作直线/交C的左支于A、8两点.

⑴求双曲线C的方程；

⑵若加(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以A3为直径的圆上?请说明理由.

(3)点尸(<2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA、Q8的斜率分别发、k2,求证:

左-匕为定值.

19.已知函数/(x)=ln(x+l)-ax2-x.

⑴判断函数/(X)的单调性

(2)证明：①当时，/(%)<0;

②sin--——Fsin--——F—Fsin—<In2,neN'".

n+1n+22n

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.C

【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.

【详解】对于A：(sinxj=cos%，故A错误；

对于B：(log24=-^-,故B错误；

xln2

对于C：(6)'=［龙口=工尤一5=二=,故c正确;

(J22,x

对于D:H=卜一)=-X~2=——y>故D错误.

故选：C

2.C

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解即得，

［详解］依题意，f'(x0)=lim/(%+——2AX)=1Hm"xf-2Ax)=1

1->03z\x3At—。Ax3

故选：C

3.C

【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.

【详解】依题意，对A,B,C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，

用2种颜色，则A,C必同色，不同着色方法有5义4=20(种)，

用3种颜色，不同着色方法有5x4x3=60(种)，

所以不同着色方法共有20+60=80(种).

故选：C

4.B

【分析】利用〃x)的图象分析尸(x)的正负情况，从而分类讨论即可得解.

【详解】由图象可知在(2,+功上单调递增，在(9［上单调递减,

所以当或x>2时，r(x)>0；当;<x<2时，r(x)<0；

x<0_龙>0

而灯等价于c①，或ra)<o②

于(X)>0

答案第1页，共13页

…\x<0

由①得<1或｛贝Ijxvo,

x<—\x>2

[2i

x>0

由②得hc,贝匚<X<2,

-<x<22

12

综上，xe(-oo,0)uQ,2^.

故选：B.

5.D

【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定/«%)=」、，化简可得

%-X

V-(/+l)xo+l=o,结合题意有(r+l『-4>0,解不等式即可求出r的取值范围.

【详解】令/(x)=(lr)e“，则有用x)=-x?e"设过点尸(r,0)作曲线的切线,

切点为伍,为)，根据题意有用工。)=气，即-%?*+，

.VQ—I'o一1

又为可得-X。？*(If)?'",因为人>0,所以上式可化为

x0-t

整理有：飞2_(/+1产。+1=0,因为过点尸(f,0)可以作曲线

y=(lT)e，的两条切线，所以方程有两解，所以A>0,BP(/+l)2-4>0,

产+2/—3>0解得/<-3或f>l.

故选：D

6.B

【分析】根据二项式系数的性质求得九=7,再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系

数.

【详解】因为(x-2y)"的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C：=C：.则”=7

又因为(尤-2>)7的展开式的通项公式为却|=禺『-，(_2月,，

令r=2,所以展开式中的Vy2项的系数为c；(一2)2=84.

故选：B.

7.D

答案第2页，共13页

【分析】由/(x)40在口,内)上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围.

【详解】由题意，得尸(x)=左-2-2x,因为在［1,+⑹上单调递减，

所以尸(x)W0在［1,+8)上恒成立，即左Vg+2x,

令g(x)=?+2x,则g，⑺=_餐+2」卜一一卜+⑹,

令g［x)=O,得X=5当xe［l,道)时，g'(x)<O,g(x)单调递减；

当("+<»)时,g<x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)的最小值为g(g)=4g,所以k三4括，即左的取值范围为上℃,4\回］.

故选：D.

8.A

【分析】分析可得机>0,显然,ne'm-In尤>0在(0,1］上恒成立，只需讨论x>1时的情况即可，

/(X)>0o旌尔>Inx=好处>Inx,然后构造函数g(x)=xex(x>0),结合g(x)的单调

性,不等式等价于twolnx，进而求得m的取值范围即可.

【详解】由题意，若〃/V0,显然f。)不是恒大于零，故m>0.

机>0,则，花皿―In尤>0在(。』上恒成立；

当X>1时,，(x)>。等价于memx>lnx,

因为无>1,所以〃zxe如>elnAInx.

设g(x)=xe*(x>0),由g'(x)=e*(l+x),显然g(x)在(0,+co)上单调递增，

InY

因为7nx>0,lnx>0,所以蛆>6瓜'1!1尤等价于g(〃a)>g(lnx),即〃a>lnx,则加〉——.

X

设h(x)=—(x>0)，则/z(x)=匕磬(尤>0).

无X"

令〃(x)=0,解得X=e,易得h{x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

从而〃(无)皿"=h(Q)=~,故〃2>L

ee

故选:A.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键，考查了学生的推

理能力，属于基础题.

答案第3页，共13页

9.AC

【分析】利用分步计数原理判断A,先分组，再分配，即可判断B,先选出4个球，再选出

1个盒子，即可判断C,分（1,1,3）和（1,2,2）两种情况讨论，利用分组分配法判断D.

【详解】对于A：由分步计数原理，

五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，故A正确；

对于B：由排列数公式，

五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C；A：=240种放法，故B错误;

对于C：将其中的4个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有C；C；=20种放法，故C

正确;

对于D：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒,

共有C；A；+卡A；=150种不同的放法，故D错误.

A2

故选：AC

10.ACD

【分析】先利用导数分析讨论函数=%]n的Y单调性和极值情况，即得A项；解方程即

可判断B项;利用/（x）=与的单调性可判断C项;将/（尤）<左-二等价转化成k>电耍,

求得Mx）="宇在（0,+8）上的最大值，即可判断D.

【详解】由""=与知其定义域为（。,+8）,广（同=匕半竺，

XX

则当x"o,五）时,r（x）>0,即/⑺在（0,⑹上单调递增;

当X£）时,r（无）<0,即/（X）在（我，+动上单调递减；

对于A：由上分析知，/（X）在工=况时取得极大值浜）=（,故A正确；

]nY

对于B：令y（x）=7=o,解得x=l,故函数/（X）只有一个零点，故B错误；

In次In2ln^/4（

对于C因为西=工=阿，即H网=了（啊，

又4>7i>3>e,故揖>A/K>君>温,

答案第4页，共13页

因为在(泥,+可上单调递减，则啊</(网<f呵,

即吩)</(如)</(%),故C正确；

1InY_|_1

对于D：由"x)<七—二可得左,——,

XX

人7/、lnx+1mu“、一2一31nx,、八一r/日2

令h(x)=-^―,则/?(%)=---7——，由一7Z(/%)=。可得丫_JW，

XXx~e

<2A(二、

3

则当0,e3时，hf(x)>0,/z(x)在0,e上单调递增；

V)I7

<_2A(_2、

当e3,+8时，”(%)<0,力⑶在e3,+00上单调递减.

\)\)

'_2\22

故飘了)诙=/，”=可，故得左>J,故D正确.

IJ§3

故选：ACD.

11.ABC

h

【分析】求出函数的一阶导数尸(x)，二阶导数/⑺，令/(尤)=0,依题意可得-热=1且

"1)=1,即可求出。、6的值，从而判断A,根据对称性得到/(x)+〃2r)=2,利用倒

序相加法判断B,利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断

C,分切点是11,£|和不是［1,£|两种情况讨论，利用导数的几何意义求出切线方程，即

可判断D.

【详解】由/(%)=依3+力%2+；,所以/'(x)=3以2+2",f\x)=6ax+2b,

A5

令广(无)=0,得x=-(,由函数仆)=加+小+］的对称中心为(1,1),

A51

所以一?=1且/(1)=。+6+==1,解得。=；力=-1,故A正确；

3a33

因为“同=卜3一尤2+g的对称中心为(I/)，

即小)+〃2-力=2,

答案第5页，共13页

所以S=199,

因为,贝1]-(尤)=/-2》=宜尤一2),

所以当尤<0或x>2时，f'(x)>0,当0<x<2时，f'M<0,

所以函数〃x)在(-%0),(2,+8)上单调递增，在(0⑵上单调递减，

因此函数“X)的极大值为了⑼=|，极小值为/(2)=1；

又〃一2)=-5,gp/(-2)f(0)<0,所以/(元)在(-2,0)上存在唯一零点,

所以函数/(X)有且仅有一个零点，故C正确；

显然〃T)=g，若是切点，则/(-1)=3,切线方程为y-g=3(x+l)；

若lt,.不是切点，设过点的直线与y=/(x)图象相切于点、，卜7+北,

(xo。1),

由((厮)=焉-2%=2_°)3,解得维=2,即切点12,飞切线方程为y=g,

x0~(-1)、。

过只可以作两条直线与y=/(x)图象相切，故D错误.

故选：ABC

12.1440

【分析】利用分步计数乘法原理，结合不相邻问题列式计算即得.

【详解】安排女生共有A：种排法，把3名男生插入4个女生每个排列形成的5个间隔中的

三个，有A；种排法,

所以不同排法种数是A：A；=1440(种).

故答案为：1440

答案第6页，共13页

3

13.-/1.5

2

【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的

最大值及对应的x的值.

【详解】设投入经销B商品x千元(OWxW5),则投入经销A商品的资金为(5-%)千元，所

获得的收益S(x)千元，

贝I]S(x)=2(5—x)+41n(2x+l)=41n(2x+l)-2x+10(0<x<5),

可得'⑺=4x^——2=6-4X

172x+l2x+l

当时，可得S(x)>0,函数S(x)单调递增；

当\<xV5时，可得S'(x)<0,函数S(x)单调递减；

所以当x=T时，函数S(x)取得最大值，最大值为]|).

3

故答案为：—

2

14.(0,2)

【分析】通过变形，可知詈=尤2-2K+C进而可得八无)=(d—2or+c)e"然后根据极

值点的转化为导函数有不同的零点即可求解.

【详解】由r(x)=2(x—a)e*+/(x)可知：[整[=2(x-a)，=x2-2ax+c,其中

c为常数.

因此/Xx)=(x?-2“x+c)e*,又/(0)=l=c=l,因止匕/(x)=(x?-2av+l)e”,

f\x)=(2x—2a+%2—2cix+1)e、=[x?—2(a—l)x+l—2C]e",

设g(_r)=x?-2(a—l)x+l-2a=(尤+l)(x+l-2a)

因为/(x)在(-1,3)上有极值点，则/'(x)在(-1,3)上有变号的零点，即g(x)在(-1,3)上有

变号的零点，因为g(-l)=0,g(2a—l)=0

所以-1<2。-1<3解得:0<a<2

故答案为：(0,2)

答案第7页，共13页

15.⑴4=2.3"、

⑵小小3".

【分析】（1）应用等比数列的基本量运算及等差中项即可；

（2）应用错位相减法即可.

【详解】（1）设等比数列｛4｝的公比为q,由题意得：

2

3a；+a3=4a2,即3a｛+atq=4atq,

。产。，得3+g?=4q,解得q=1或q=3.

由于4=1不符合题意，因此4=3.

由邑=26得，%+%+%=26,即13%=26,%=2.所以a“=2・3"”.

1

（2）由题意得，bn=（2n+l）3"-,

22B-1

则Tn=3x3°+5x3*+7x3++（2n-l）3^+（2n+l）3,

贝U3Tn=3x3+5x3。+7x33++（2"-1）3"—+（2〃+l）3”,

则—27；=3x3°+2x（3i+32++3"^）-（2«+1）3"=3+2^^-J-（2«+l）3">

贝I］-27；=3+3（3'i-1）-（2〃+1）3"=-2n-3",

T„=n-y.

16.（1）单调递增区间为（Y>,-I）,（3,+8）,单调递减区间为（-1,3）

（2）最大值为e3最小值为-2d.

【分析】（1）求出函数了（尤）的定义域和导数，利用函数单调性与导数的关系可得出函数f（x）

的增区间和减区间；

（2）求出函数〃x）在区间［-2,4］上的极大值和极小值，与/（-2）、”4）进行大小比较，

可得出函数在区间［-2,4］上的最大值和最小值.

答案第8页，共13页

【详解】（1）解：函数”元）=（尤2-4x+l）e，定义域为R,

贝!J/'（尤）=（Y—2x—3）e*=（尤+1）（尤一3）e”,

令/<x）>0,解得x<-l或x>3,令尸（x）<0,解得一l<x<3.

所以，函数/（X）的单调递增区间为（3,+8）,单调递减区间为（-1,3）.

（2）解：由（1）可得函数在区间上单调递增，在（-1,3）上单调递减，在（3,4]

上单调递增.

可得：x=—l时，函数取得极大值；当x=3时，函数〃x）取得极小值.

又/（T）=。/（3）=-2e3,/（-2）=||,/（4）=e4,贝ij—>2>!|>W,

所以，当x=4时，函数/■（%）取得最大值为不；当x=3时，函数/（x）取得最小值为一2e3.

17.（1）证明见解析

（2）市

6

【分析】（1）先证明ACJ_平面再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答案;

【详解】（1）连接AC-因为三棱柱ABC-A瓦G所有棱长均为2,则9C为等边三角形，

因为。为AC中点，则

因为平面ACC14J■平面ABC,平面ACGA：平面ABC=AC,BDu平面ABC,

所以加二平面44CC，又ACU平面441cC，可得2D，AC,

由题设知四边形AAGC为菱形，则ACLAG，

因为D,E分别为AC,CG中点，则r>E〃AC1,可得ACLOE,

又BDcDE=D，BD,OEu平面3£>E,所以AC,平面台。£,

又BEu平面RDE,所以A。J_BE；

（2）连接G。，因为CA=CG，ZQCA=60,所以△ACC1为正三角形，所以CQLAC,

答案第9页，共13页

又侧面ACC］A与底面ABC垂直，GOu平面ACC1A，侧面ACC|A】底面ABC=AC,

所以平面ABC,所以。B,DA,0G两两垂直.

以。为坐标原点，DB，DA，OG所在直线为龙，九z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则0(0,0,0),3(后0,0),c(o,—1,0),G(0,0,E0,一孚,耳(国,⑹,A(O,2,@,

点b为棱4c上靠近用的三等分点，故［乎［,若］,

可得£>2=(若,0,0),DE=\0「；,当,£>尸=j¥，|,有

m.DB=^3x=0

设平面的一个法向量为m=(x,y,z),贝卜m-DE=-—y+^-z=O

22

也

~6~,

18.⑴工一工=1；

88

(2)不存在，理由见解析;

(3)证明见解析

【分析】(1)根据题意列式求。，瓦。，进而可得双曲线方程；

⑵设/：X=7冲-4,A&,%3(尤2,%),联立方程，利用韦达定理判断M4.是否为零即可;

答案第10页，共13页

（3）用A,8两点坐标表示出直线期，得点。坐标，表示出《,白，结合韦达定理，证明匕-《

为定值.

22

【详解】（1）由双曲线C：4=1的离心率为四，且“（3,-1）在双曲线C上,

ab

[91J

可得e=£=&,解得片=86=8,.•.双曲线的方程为=

a88

c2=a2+b2

（2）双曲线C的左焦点为/（-4,0）,

当直线/的斜率为0时，此时直线为y=0,与双曲线C左支只有一个交点，舍去;

当直线/的斜率不为。时，设/：了=切-4,

联立方程组消x得（疗一1）丁-8阳+8=0,易得△＞（）,

设,则%+%=,,,必%=2,＜。，可得T＜根＜1，

m—1m—1

*.*M4=（玉+2,y）,Affi=（无2+2,%），

则MA.MB=伍+2）（石+2）+%%=（次Vi-2）（my2-2）+%%

8(m2+l)i62

=(w2+1)X%-2ml%+%)+4=m+4=T，

m2-1m2—1

即可得M4与MB不垂直，

•••不存在直线/,使得点”在以A3为直径的圆上.

(3)由直线AP:y-2=勺(x+4),得Q(-2,2+2匕)，

.卜=为一2_2匕=%―2_2(,=,=X-2=%-2

21PA

x2+2my2-2+4myx'

.k_J-2必一2_2/=5_2)(吵_2)_m(%_2_2幻

myxmy2—2myl(my2—2)

—2my2-2y1+4+2my{+2mkxyx

机X(rny2-2)'

y.—2

k\=-------,•*.kg\=%-2,且%+为=〃%为，

答案第11页，共13页

含兴=2即『与为定值.

myx[my2-l)

19.(1)答案见解析；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，分类讨论，即讨论a的取值范围，确定导数正负，从而判断

函数的单调性；

(2)①利用(1)的结论，即可证明结论；②由(1)可得liuWx-1,利用变量代换推出

-<Inf-In(f-1),(f>1),结合sinx<x(x>0),可得

sin^—<^—<ln(n+^)-ln(n+^-l),^G{l,2,3,---,n},从而采用累加法，即可证明不等式.

YI।K〃十K

【详解】⑴由于/(x)=ln(x+l)-ax2_x,定义域为(—[内),

„,，/、1-x(2ax+2a+l]

贝|f(x]=--------2ax-l=—----------------L,

V7x+1x+1

①当a=0时，尸(x)=U，令r(x)>°，得一l<x<0,令r(x)<0,得x>0,

所以/(X)在(-1,0)上单调递增，在(0,+力)上单调递减；

②当〃>0时，%£(—1,0)时，//(x)>0；当X£(0,