云南省2023-2024学年高二年级下册质量检测（二）数学试题

云南省长水教育集团2023-2024学年高二下学期质量检测

（二）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

LC；+A：=（）

A.12B.18C.23D.30

2.下列求导运算结果正确的是（）

A卜+"=3+：B.皿2xT）］'=乙

C.（sinx）'=-cosxD.（xe*）'=（x+l）e*

3-设数列｛%｝和也｝都为等差数列,记它们的前”项和分别为S”和「,满足充=,'

则邑=()

4

4.美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若两种画都要参展，则不同的参

展方案种数为（）

A.200B.194C.70D.40

5.在二棱锥中，p4,PB，尸c两两垂直，且尸z4=］，PB—2,PC—3*二角形

/8C重心为G,则点P到直线NG的距离为（）

试卷第11页，共33页

6巫

A.B.C,D.V221

71717

6.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数

学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（）

BOtf

12i

嘉3行1331

«4tlI4«4I

«StfIsto10s1

161s201561

第7行I?213$217I

k京i82SM70M2881

I936M126126MJ691

«1<HTI10451202102s221012045101

Mlltlr1II5516S)304624623)0165$511I

A-i+c"c：+C=c；

B.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

C.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2：H

D.第2020行的第1010个数最大

7.已知a=ln（也6）/=出,。=也』+1,则“也'的大关系为（）

e5

AR

•c>a>b•b>a>c

C.,D.,

a>b>cb>c>a

8.己知双曲线C：1-g=l（a>0,b>0）的右焦点为尸，左、右顶点分别为4产”,X轴于

ab

点、F,且而=2丽.当N4Q4最大时，点P恰好在c上，则c的离心率为（）

A."B.8C,2D.百

2

试卷第21页，共33页

二、多选题

9.已知（1-2x）6=/+%x+gx?+...+gl，贝I（）

A.%=T60

B•（71+a2+a3+a4+a5+a6=1

C.此二项式展开式的二项式系数和为64

D.此二项式系数最大项为第4项

10.有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（）

A.6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240

B.6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法

种数为240

C.6名同学平均分成三组分别到人、8、c三个工厂参观，每名同学必须去，且每个

工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种

D.6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、

乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种

H.已知抛物线C/=4x＞焦点为尸，直线y=与抛物线C交于42两点，过4B

两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为尸，Q,且M为的中点，则（）

AD

A.M却=10B.PF1QF

C.梯形4P02的面积是16D.A/到V轴距离为3.

三、填空题

12.过原点作曲线y=e2*的切线，则切点的坐标为

13.小亮和他的同学一行五人决定去看电影院新上映的四部电影，则恰有两人看同一部影

片的选择共有种.

试卷第31页，共33页

14.公比为q的等比数列｛%｝的前"项和s“=2”-l，若“=log2%，记数列也｝的前〃项和

为北，若_1+,+…+-L<4恒成立.则"的最小值为.

四、解答题

15.已知二项式口一亍1的展开式中各项二项式系数的和为256,其中实数“2°.

⑴求〃的值；

(2)二项式的展开式中彳2的系数为的系数为3，若/=58，则求。的值.

16.已知数列m｝的前〃项和s“="2+i_q(〃eN)

(1)求｛g｝的通项公式；

(2)求数列｛2〃.凡｝的前〃项和7；

17.(1)求c；+6C；+2C；+5C；+3C；+4C；+7C；的值；

(2)若等式〃亡+田=4€：3成立，求正整数〃的值.

18.已知椭圆£：《+^=1(.>6>0)过点(°」)，且长轴长为4.

〃2b1

⑴求"的标准方程；

EJ

(2)过点S(I,O)作两条互相垂直的弦N8,CD,设弦4B,CO的中点分别为证明；直线

必过定点.

19.已知函数〃x)=31m:+ax2-4x(a>0)-

试卷第41页，共33页

⑴当4=1时，讨论/（尤）的单调性;

⑵当"加，若方程〃x）=6有三个不相等的实数根%,3,且…y,证明:

工3一再＜4.

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】根据排列数及组合数的计算公式计算即可.

【详解】C；+A；=3+5x4=23，

故选：C.

2.D

【分析】由导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可.

【详解】对于A：r3+IY3X2__L，故A错误；

Vx)x1

i7

对于B：[ln(2x-1)了=^—x2=^^,故B错误；

172x-l2x-l

对于C：(sirtry=cosx，故c错误；

对于D,(xe*)'=eX+xe*=(x+l)eX,故D正确，

故选：D.

3.B

【分析】由等差数列前”项和公式及下标和定理计算即可.

【详解】数列｛%｝和低｝都为等差数列，且?=二，

bn2〃+1

5(4+%)

则邑=___2___=&+生=&.=』

Ts5色+&)bx+b5b37'

2

故选：B.

4.B

【分析】先得到只有油画参展，和只有国画参展时的情况数，再利用总数减去两者即可.

【详解】若只有油画参展，则共有c：种选择，若只有国画参展，则共有c：种选择，

答案第11页，共22页

若两种画都要参展，则有C：（）-C：-C：=194.

故选：B.

5.D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解.

【详解】如图所示：以尸4依,尸C为无，％z轴建立空间直角坐标系，

则P（0,0,0）,/（1,0,0）,*0,2,0）C（0,0,3）,则

2V17

17

故选：D.

6.D

【分析】对于ABC选项，都可以对照图表与二项式系数的关系，即可得到判断；对于D选

项，则需要找到二项式系数的规律分析即可或直接运用二项式系数的性质直接判断，如第

2020行的二项式系数是eg。,。，根据二项式系数的性质最大的是c；黑，从而判断是第IO"

项.

答案第21页，共22页

【详解】对于A：因为i+c；+C；+C：=l+5+生@+28=56,C；=W^=56,所以

5672x13x2x183x2x1

1+C：+C：+C；=C；，故A正确；

对于B：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1,7,28，其和为1+7+28=36;而

第9行第8个数字就是36,故B正确；

对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为c；,=12,第12行从左到右第3个数为

C,=66,所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:66=2:11，故C正确；

对于D：由图可知：第行有”+1个数字，如果是偶数，则第2+1(最中间的)个数字

2

最大；如果”是奇数，则第四和第四+1个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第

22

2020行的第1011个数最大，故D错误.

故选:D.

7.B

【分析】根据的特点，构造函数/(*)=叱，判断其单调性，得到

X

/(x)max=/(e)=-,故有/(e)>/(5)J(e)>/(2),再运用作差法比较了⑸，/⑵即得.

e

【详解】设/(*)=也，则八口=匕学，

XX

当0<x<e时,/'(x)>0,/(x)在(0,e)上递增;

当X>e时，f\x)<0，f(x)在(e,+oo)上递减，

答案第31页，共22页

故/(X)—(e)=：.

.1In51In2„b>c,b>a

则mi一>——,->——，即n

e5e2

25c<ab>a>c

由ln5ln221n5-51n21n我4°可知,故

52~1010

故选：B.

8.D

【分析】由而=2酬得°为比'中点，设纱|=〃，计算出tan/4%4q,得出时,

b

"OH最大，求出此时0点坐标，代入双曲线方程求解即可.

【详解】由题可得4（_凡0）,4（。,0），设尸（。,0）

因为尸F_Lx轴，且而=2万，所以。为尸尸中点，PF±AXF，

C

设|。可=〃，则附=2〃，p]-tan^QF=£±£,tanZA.QF=—^-

hh

所以tan=tan(Z40F-ZA.QF)

tan/A、QF-tanZA2QF

1+tan^AXQF•tan

c+ac-ahb

hh2a2a<2aa

22当且仅当时等号成立,

c+ac-ac-a2,"b，

1+h+

hhhhh

即力=力时，tan/4Q4取得最大值，即//©a最大，

答案第41页，共22页

此时可得P(c’26),代入双曲线方程得，£1_也=1，即/=5,则6=右,

/b2

9.ACD

【分析】A选项，写出通项公式，令,.=3得到答案；B选项，赋值法得到答案；C选项，

利用二项式系数和公式求出答案；D选项，利用二项式系数的对称性和单调性得到答案.

［详解】通项为=qx忏x(-2切=晨(-2),£，

A选项,当厂=3时，％=《(-2)3=-160，故A正确；

B选项,令元=1得a。+%+p?+%+%+%+。6=(1一2)6=1，

6

令x=0得，a0=I=1>

故%+出+%+。4+。5+。6=1—1=0，故B错误；

C选项，此二项式展开式的二项式系数和为26=64,故C正确；

D选项，因为二项式系数为a，所以当r=3时，C：最大，即第4项最大，故D正确.

故选：ACD.

10.ACD

【分析】用捆绑法即可判断A,用倍缩法即可判断B,用平均分组公式即可判断C,用分

类加法分步乘法即可判断D.

【详解】对于A,6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数

答案第51页，共22页

为A；xA；=2x120=240，故A正确；

对于B,6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即

AL理=120种，故B错误；

A；6

对于C,6名同学平均分成三组分别到人、8、c三个工厂参观，每名同学必须去，且每个

工厂都有人参观，则有底生代=90种，故C正确；

A；

对于D,6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们

一组，共有c；=3种分法；

若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组,

有C；C；=3种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有6A；=36种，D正确.

故选：ACD.

11.BD

【分析】先判断得直线y=经过点尸，再联立直线与抛物线方程，得到必+%,%%，进

而得到为+々，从而判断AD,利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为-1可判断B,分别

求得|/尸|+1201,|尸01，结合梯形的面积公式可判断C.

【详解】对于A,由题意得尸(1,0),则直线＞=xT经过点尸，

答案第61页，共22页

y=x-l

设Z(Xi,必),8(%,%)'则%+%=4,必%=T，

贝1］占+工2=%+1+%+1=6，所以|/2|=再+%+2=8，故A错误;

对于B,由题意得「（_1,必）,0（_1,%）,

必一°>2_0_^^2_1所以尸尸1。尸，故B正确;

所以女尸尸•kQF行力二「一1

对于C,由题意可得|NP|+|BQ|=X1+X2+2=8,

|尸。|=|乂-闾=h+%)2-4%%=J16+16=472,

所以梯形APQB的面积是：（|NP|+1801>|尸01=；x8x4收=16/，故C错误;

1

对于D,因为X”=夕M再+起y）=3,所以至IJ轴距离为3,故D正确.

故选：BD.

⑵（吴）

【分析】设切点坐标为（看,e2'。），利用导数及两点间斜率公式即可求解.

答案第71页，共22页

【详解】设切点坐标为（x°,e2'。）

Qy=e2x,

/=2e2x,

k=2e2x°?

所以左=2瞪。=J

%

解得/=；，

所以切点为（；,e）.

故答案为：（；,e）

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，直线的斜率公式，属于容易题.

13.360

【分析】从5人中选择2人看同一部影片，剩余的3人分3人看3部影片或者3人看一部影

片两种情况，列式求解即可.

【详解】从5人中选择2人看同一部影片，再从4部影片中选择一部安排给这两人观看，

剩余的3人，可分为3人看3部影片或者3人看一部影片两种情况，

故共有C；C：（A；+C；）=360种情况.

故答案为：360.

14.2

【分析】先利用氏与5“之间的关系求得凡，再求数列｛»｝的通项公式，进而求看，从而利

答案第81页，共22页

11〃A

用裂项相消法求［「J_,N2）的前项和，从而可得的最小值・

【详解】由S“=2"-1，当"=1时,q=Sj=1；

当“22时，a„=Sn-S“_|=2"-2"T=2"i，

检验：当〃=1时，3=1满足凡=2"、

于是为=2"-L

所以2=kg?。”=log21=n-l>

故北=b、+b2T----卜b”=0+1H=—，

当""2时,

=2--2-<2

n+\

又J+J+…<4恒成立，所以"―？，即"的最小值为2.

AA4+1

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：在本题中，使满足工+工+…+'<4恒成立，”要大于或等于数列

T2T3Tn+i

［工］的前”项和的最大值，需要熟练应用%与S”之间的关系和数列求和的裂项相消法・

⑹（1）〃=8

Q）a=丘或a=-抗

答案第91页，共22页

【分析】(1)根据二项式系数和为2“，可求”的值.

(2)利用二项展开式的通项公式表示出力,8,再根据48的关系求参数的值.

【详解】(1)由题知，二项式系数和c：+C：+C：+…+C：=2"=256，故〃=8

(2)二项式为□一亍

由二项式定理通项公式得加=(2炉(-亍:=(-“c/号,(厂=0,1,…8)，

令8-①=2,得'=4,所以，=/《=7004,

2

令8号=5,得"2,所以8=/《=28/,

又A=5B，解得。=0(舍去)或a=6■或a=-近，

所以"0或。=_行・

16.(1)0“=2〃-1

出r=2"+1(2〃一3)+6

【分析】(1)利用凡与S“之间的关系即可求解；

(2)先写出数列"J%｝的前〃项和7；，进而利用错位相减法即可求解・

【详解】(1)5“=”2+1-4中,令”=1得％=l+1-q,解得q=1，

则S”=〃2,%=5〃一S,T=w2-(n-l)2=2n-l(«>2)-

答案第101页，共22页

检验：当〃=1时，4]=2x1-1=1辆足上式,

故a”=2〃-1•

（2）2%=（21）x2〃，

i^T；,-2+3x22+5x23+7x24+---+（2n-l）-2"®>

贝|J27；=2?+3x23+5x2"+7x2$+…+（2”-l）-2"+i②

①-②得一]=2+23+24+25+---+2"+1-（2«-1）-2"+1

=2+8^-^^-（2H-1）-21,+I

=2-8+2n+2-（2«-l）-2"+1=-6-（2«-3）-2"+1,

故（=2"+I（2〃-3）+6・

17・⑴448；（2）〃=4

【分析】（1）利用组合数的性质计算化简即可•

（2）利用给定式子建立方程，求解即可.

【详解】（1）原式=C；+6C；+2C；+5C；+3C；+4C；+7C；

=7（C；+C；+C；+C；）=7x64=448.

（2）由〃C：+A：=4C"展开得〃J（〃-1）（"214（〃+1）〃（〃T）,因

3!（八）3!

W>3,WGN，

故可化间得：〃（几—2）+6（〃—2）=4（〃+1），

解得〃=4或〃=-胃（舍）'故〃=4。

答案第111页，共22页

2

18.⑴土+/=i

4

(2)证明见解析

【分析】(1)由椭圆的性质结合题意可解；

(2)当直线不垂直于坐标轴时，设直线/A的方程为，由两直线垂直斜率关系得到直

AbAD

线。的方程，联立曲线方程用韦达定理表示出点坐标和直线儿W方程即可；当直线

之一垂直于x轴时，另一条必垂直于了，直接得到定点即可.

【详解】⑴依题意，2a=4,故q=2,而6=1，

2

所以椭圆的方程为土+y2=l.

4■

(2)当直线不垂直于坐标轴时，设直线N8的方程为尤=/y+i(xwO),

A(xi,yl),B(x2,y2)，

,CDJ_AB4曰七办CD钻士工口411

由，得直线的方程为x=y+l，

m

22

由[x=my+l消去x得：(m+4)y+2my-3=0；

[x2+4y2=4

—2^/78

则AWm2480>必+%=-2，故石+%=加(必+%)+2=~-----，

Im

于是M(■),由-工代替，得N(.

+4’加2+4m1+4加之'1+4加

答案第121页，共22页

当44加2即疗=1时，直线加，x=：,过点K(}o),

m2+41+4冽2

44m2加2。1MNm-m

-?0------7

m+41+4加1+4加2加之+45m

当即时，直线的斜率为1#;4(m2-1)

1+4/m2+4

5m4

直线y+：―"'令

m+44(m2-l)

-4(m2—1)44m2+164

y=0,x=^^-+-z---=---------=一，

5(川+4)(加2+4)5(/+4)5

因此直线"N恒过点K(g,O),

xx

当直线AB'C之D一垂直于轴，另一条必垂直于y轴，直线MN为轴，过点Kq,40),

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：

即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理,

特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，

再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为

所求点.

19.(1)单调递增

答案第131页，共22页

(2)证明见解析

【分析】(1)求定义域，求导，结合a=l得至！J2X2-4X+3>0，即/在(0,+8)内

恒成立，所以/(x)在(0,+8)内单调递增;

(2)/(x)=31nx+|x2-4x,求导，得到函数单调性，得到°<西<1<工2<3<苫3,构造

g(x)=/(x)-/(2-x),0<x<P求导得到函数单调性,得到再+x?>2,再构造

A(X)=/(X)-/(6-X),1<X<3,求导得到函数单调性，得到迎+工3<6,两式结合得到答

案.

【详解】(1)由题意可知：/(x)的定义域为(0,+8)，