2024年高考数学复习-解三角形压轴综合

解三角形星轴综合小题

目录

题型01边角互化求角

题型02判断三角型形状

题型03三角形几解判断

题型04正余弦应用:求面积

题型05正余弦应用：求长度

题型06正余弦应用：比值型求值

题型07最值型：角与对边互化面积型

题型08最值型:周长边长范围

题型09最值型：比值范围

题型10最值型:余弦定理齐次式

题型11最值型:正切

题型12三角形角平分线型

题型13三角形中线型

题型14三角形重心型

题型15三角形外接圆

高考练场

题型01边角互化求角

【解题攻略】

在解三角形中,选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：

(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；

(2)从式子结构来选择.

边角互化的方法

(1)边化角:利用正弦定理=2rs为△48。外接圆半径)得a=2rsinA,b=

smAsmBsmG

2rsinB,c=2rsinC；

(2)角化边:

①利用正弦定理：sinA=令，sinB=g,sinC=4-

2r2r2r

72_|_2_2

②利用余弦定理：cosA="替―a

2bc

辅助角公式

%2

asina+bcosa=va2+62—^sin«+—^cos«(J

；22=1

LVa2+62Va2+62」5+3Wa+6^

(1)正弦形式Va2+62sin(a+：sina•cos0±cosa-sin/?=sin(a±6)

其中：cos£=4F，sin==-y==.

Va2+fe2Va2+62

(2)余弦形式Va2+62cos((7—£)：cosa•cos0±sina•sin^=cos(a+/?)

其中：sin£=,cos^=~7==-

va2+62va2+62

蒯工（2022下•黑龙江哈尔滨・高三校联考）在△AB。中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,若;^

4=（）

si.n力a+0smB2

A.《B.4C.萼D.9或个

63333

网］2（2021下.内蒙古赤峰.高三校考阶段练习）在锐角△ABC中，角4B,。所对应的边分别为a,6,c,若b

=2asinB,则角A等于（）

A.30°B.45°C.60°D.30°或150°

【变式训练】

题目口（2023上•河南焦作•高三石家庄市第九中学校考）在△AB。中，/A/B,/C的对边分别为a,b,c,

若bcos（A+_B）=（c-2Q）COS/_B，则/_B=（）

、题目区（2023・湖南"校联考模拟预测）在LABC中，BC=3,sinB+sinC=手sinA,且4ABC的面积为

O

京14则人=（）

A-fB-fc-tD-t

题目叵〕（2023上•黑龙江佳木斯•高三佳木斯一中校考阶段练习）在△ABC中，a,b,c分别为角4B,C的对

边，已知6=遍，冬咤■=?£,则cosB等于（）

cosC2a—c

A.4B.4C.—D.-容

2222

题型02判断三角型形状

【解题攻略】

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化,统一成边或角的形式,还要注意三角形自身的特点

①sinA=sinB=A=B=△ABC为等腰三角形

②或必4=858=入+6=合或入-8=年=448。直角三角形或钝角三角形•••

③sin2A=sin2B=人=6或入+8=春=ZVIB。为等腰三角形或钝角三角形

④cos2A=cos2BnA=Bn△ABC为等腰三角形

⑤«2+b2=c2=>cosC=0n△ABC为直角三角形

⑥a2+62—c2<0ncos。V0

或a2+c2—b2v0=cos_BV0nA4BC为钝角三角形

或62+c2-a2<00cosA<0

⑦a+b2—c2>0ncosO0

且a2+c2—a>0ncos_B>0nAABC为锐角三角形

且62+c2—a2>0ncosA>0

题］在AABC中，a,b,c是三角形的三条边,若方程2,sinC+sin2A+sin2B=0有两个相等的实数根，则

△ABC是()

A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.以上都有可能.

刷2在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB>1,则ZkABC是()

A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形.

【变式训练】

题目E在△ABC中，l+cosA="g,则三角形的形状为()

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.正三角形D.等腰三角形

题目区记△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,若(a+b+c)(b+c—a)=2bc,那么△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

题目⑶在△ABC中，角4BQ的对边分别为a,b,c,若^则一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

题型03三角形几解判断

攻略】

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

③若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点,但只能算作一个解。•M

公式法:运用正弦定理进行求解。

①a=bsinA,△=(),则一个解；

②a>bsin/,Z\>0,则两个解;

③aVbsinA,△<(),则无解。

网］1在△4BC中，a=20,6=10,3=32°,则此三角形的解的情况是()

A.有两解B.有一解C.有无数个解D.无解

吼2在△ABC中，a,b,c分别为三个内角4。的对边，若a=2,b=1,B=29°,则此三角形解的情况是

一()

A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解

【变式训练】

题目■在△ABC中，a=80,6=100,4=45°,则此三角形解的情况是()

A.一解B.两解C.一解或两解D.无解

题目区在△ABC中，已知6=4方，c=3方，。=30°,则此三角形的解的情况是()

A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定

题目①在A4BC中，已知a=18,b=20,A=150°,这个三角形解的情况是

A.一解B.两解C.无解D.不确定

题型04正余弦应用：求面积

“¥题攻略】

三角形面积：

①S4ABe=2而sinC=-^-fecsinA=-^-acsinB=卑1~

2224rt

②S^ABC—y（a+6+c）-r（r是切圆的半径）

的］记4ABe的内角A,B。的对边分别为Q,b,c,若asinB=bsinC,则AABC的面积为（）

222222

Aasin2Cc&sin2A八csin2B「V3（a+b+c）

A----------rS---------（，---------I）-----------------

012已知△ABC的内角所对的边分别为a,b,c,a=2V17,6=5VxeosA=。则△ABC的面积为

()

A.36V2B.18V3C.27D.36

【变式训练】

题目口(2022春・河南许昌•高三统考期末)如图,在平面四边形ABCD中，=/ADC=45°,NACD

105°,/B=60°,AB+BO=4,则三角形ABC的面积为（）

7D.手

题目区（2023春•辽宁沈阳•高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形

面积的“三斜求积”公式.设△48。的三个内角A,B,。所对的边分别为a,6,c,面积为S,“三斜求积”公

式表示为S=J坏2c在&ABC中，若a2sinC=6sinA,（a+c>=16+*,则用“三斜求

积”公式求得△ABC的面积为

:题目①（2019•陕西宝鸡・统考二模）已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=2,b2—c2=

6,则角A最大时，三角形ABC的面积等于

题型05正余弦应用：求长度

【解题攻略】

.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关

系,从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：

第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；

第二步:定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的转换；

第三步:求结果.

网]1（2023下•江西萍乡・高三统考）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,。的对边，若6=4+22-c,

cosB=g,tanC=-贝!|a=.

4------

曲2（2023下・江苏盐城•高三校联考）△ABC中，A=与，。在BC上，AO，AC,AD=2,则-^―+磊=

JAC/AU

【变式训练】

题目[TJ（2023下•广西钦州•高三统考）在△ABC中，角4B、。所对的边分别为a、b、c,且bcosC+ccosB

=],贝!]a=.若cos?=,c=2,则6=.

题目团（2022下•高三校考单元测试）在AABC中，4B、。所对的边分别为a、b、c,又a=2.c=瓜C=

卷，则b=

O

题目叵（2023上•山东日照•高三统考开学考试）在△ABC中，AB=2,。为AB中点，CD=2•，乙良M4。=

2乙BCD，则边AC的长为.

题型06正余弦应用：比值型求值

0¥题攻略】

最值范围:分式比值型

化边为角型

1.通过正余弦定理，把边转化为角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度,转化为分母角度的单变量函数形式

3.对单变量（单角）求最值。

题工（2022上.四川成都.高三成都七中校考阶段练习）在a△ABC中，斜边为AB,点。在边BC上，若

tan/BAD=4，sin/ADC•sinB=■，则噌+皖=

43AB-AD--------------------------------------

吼2（2023下•福建泉州•高三校联考阶段练习）记△48。的内角的对边分别为a,b,c,cosA=1■，若

△AB。的面积为3,则当的周长取到最小值时，乎=

0----------

【变式训练】

题目曰（2022上•江苏南通・高三统考）在△ABC中（角A为最大内角，a,b,c为/A、ZB,/C所对的边）和

△AjBiCi中，若sinA=cosAi，sinB—cosBr,sin。=cosG，贝!）.

a--b--c----------

蜃目囱（2020.四川成都.高三双流中学校考阶段练习）在AABC中,2sin2^=V3sinA,tanB=3tanC,则

AC_

AB~-----------

遮目①已知△48。中，设角A、B、C所对的边分别为a、6、c,△ABC的面积为S,若35而3+2$好。=

sinA（sinA+2sinBsinC）,则左的值为（）

A.4-B.4C.1D.2

42

题型07最值型：角与对边互化面积型

【解题攻略】

注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,b,c的齐次式或关于角的正弦sinA,sin8,

sinC的齐次式,齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题,通常是把量表示为三角形某个角

的三角函数形式,利用此角的范围求得结论.

幽山（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，角4B、。所对的边分别为a、b、c,已知B=60°,b=4,则

△AB。面积的最大值为（）•M

A.3V3B.4A/3C.5V3D.6

血12（2022秋•黑龙江•高三哈尔滨三中校考）在△ABC中，角A3。的对边分别为a,b,c,若asin"C=

bsinA,6=1,则△ABC面积的最大值为（）

A遍瓜小瓜p.1

RB.丁C-TDT

【变式训练】

题目口（2023秋•辽宁铁岭•高三校考开学考试）在AABC中，内角4B,C的对边分别为％6,以若02=（a-

行+ab,且c=血，则△ABC面积的最大值为.

题目区（2023秋・广东珠海•高三校考开学考试）已知a,6,c分别为△ABC的三个内角A,B,。的对边，a=

4,且（4+b）（sinA—sinB）=（c—6）sinC,则△ABC面积的最大值为.

题目回（2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在△A8C中，角48。的对边分

别为Q,b,c,若乙4=a=2,则△ABC面积的最大值为.

题型08最值型:周长、边长范围

【解题攻略】

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长,周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题,或与角度有关

的范围问题，

常用处理思路:①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通

常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角,进而转化为正弦或余弦函数求出最值

血]1（2021上•河南濮阳•高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角△ABC中，内角的对边分

别为a,b,c,且满足（a—b）（sinA+sinB）=（c—b）sin。,若Q=则b+c的取值范围是（）

A.（3,4]B.（3,2V3]C.（3,373]D.（3,6]

题2（2023上•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角△ABO的内角ABC所对的边分别

为Q,b,C,若4=看,则匕2+。2+儿的取值范围为（）

O

A.（1,9]B.（3,9]C.（5,9]D.（7,9]

【变式训练】

题目工（2023下•高三单元测试）在△ABC中，角C的对边分别为a,b,c,若sin（A+C）

（篝殳+型%）=迦=g则a+c的取值范围是（）

vbcfsmG3

A.（宇，⑹B.（y,V3]C.[乎,对D.■，司

、题目团（2021•河北唐山・统考三模）A4BC的内角A,的对边分别为a,b,c,角人的内角平分线交

•••

于点。，若a=l,g+^=2,则AD的取值范围是

bC------

题目31（2023上•四川宜宾•高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）ZL4BC中，若b=冲出=60°,则

△ABC周长最大值为.

题型9最值型：比值范围

谢I（2022上•广西桂林•高三校考阶段练习）在4ABe中，角AB,。所对应的边分别为a,b,c,设AABC的面

积为S,则的最大值为（）

4+4bc

A返「瓜

C•正D

-16B・芍-f

血2（2023上•江苏无锡•高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角4B,C的对边分别为

a,6,c,S为△ABC的面积，且a2=2S+（b—cR则空叫粤宴的取值范围为（）

sm±>sinC

A.噌,瑞）B.[2V2,^|）C.[272,1|）D.[272,+«）

【变式训练】

题目工^（2023上•贵州黔东南•高三统考）在锐角△AB。中，角的对边分别为a,b,c,且△A3。的面积

S=bc（l—cosA）,则《的取值范围为（）

be

入母+动B.c.[1,f）D,[>f）

题目。（2022•全国•高三专题练习）已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若4=25,则旨+

b

地的取值范围为

a------

题目J]（2022下•重庆•高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角△ABC中，角A、口、。的对边分别为a、b、

c,若a2=/+bc,则告的取值范围是

b------

题型10最值型：余弦定理齐次式

曲I（2022.全国•高三课时练习）锐角△48。中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,若a?+/=5c则cost7

的取值范围是（）

刷2（2020.全国•高三课时练习）锐角△48。中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若（^+廿=4c则cos。

的取值范围为（）

【变式训练】

［题目曰（2022.四川成都.二模（理））已知△AB。中，角ABC的对边分别为a,b,c.若C=1,4Q2cos2R+4M

sin2A=3b2—3,则tanA的最大值为（）

A.4B,4C.亨D.i#

4377

题目团（2022•全国•高三专题练习）已知△ABC中，角的对边分别为a,6,c.若4a2cos+4/sin2A

=3〃—3。2,则cosA的最小值为（）

题目区（2020・河南•校联考二模）在△ABC中，内角43,。所对的边分别是Q,b,c,且反7边上的高为

工^Q,则+'的最大值是.

4bc------

题型11最值型:正切

【解题攻略】

正切:

tana±tan£

1.tan((2±6)=

1+tanatan£

2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

的］（2023上•辽宁丹东•高三校联考阶段练习）在锐角三角形ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且

满足多+acosB=■，则tanB—tan4的取值范围是（)

2tanA•tanB

-(14)B•呼4)

的2（2023下•云南保山•高三校考）已知/XABC的三个内角分别为若sin2C=2sin2A-3sin2B,则

tanB的最大值为（）

A辰B店C§辰D2西

A，2口.3。2口3

【变式训练】

；题目①（2022.黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考二模）在锐角△48。中，角4B,C的对边分别为a,b,c,

△AB。的面积为S,若sinG4+C）=T^，则tanA+——J-4的取值范围为（）

&2-a23tan（B-A）

题目②（2023上•全国•高三专题练习）在锐角△ABC中，&2—/=儿,则角B的范围是，/五一

tan

」7+6sinA的取值范围为

tanA----------

豆目⑶（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且（^+为=c?,则tanB

的最大值为

题型12三角形角平分线型

【解题攻略】

角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：源=步

网（2022.贵州贵阳.高三开学考试（理））已知△ABC的内角AB,C对应的边分别是a,b,c,内角人的角平

分线交边于。点，且40=4.若（2b+c）cosA+acosC=0,则△4BC面积的最小值是（）

A.16B.16V3C.64D.6473

吼2（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,/4BC=120°,/ABC的

平分线交AC于点。，且BD=L则4a+c的最小值为（）

A.8B.9C.10D.7

【变式训练】

题目工（2022•安徽•巢湖市第一中学模拟预测（理））在A4BC中，角4。的对边分别为a,6,c,已知，（a

+6）011人一5由3）=。面11。+或118）,若角人的内角平分线入。的长为2,则46+。的最小值为（）

A.10B.12C.16D.18

题目区（2021•全国•高三专题练习）已知△ABC的内角。的对边分别为a,b,c,A=60°,b=3c,角A

的平分线交B。于点。，且=/，则cos/ADB的值为（）

A.TB.亨C.孚D.土学

7777

I题互区（2022.陕西西安.三模（理））在△4BC中，/B=120°,|48|=2，的角平分线4D的长为，则

\AC\=(

10

A.2B.3C.V6D.2V3

题型13三角形中线型

【解题攻略】

中线的处理方法

1.向量法:AD=y(AB+AC)QAU2=-J(AB2+2AB-AC+AC2)

2.双余弦定理法(补角法)：

如图设80=。。，

在/\ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2XADXBDXcos/ADB,①

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC'2-2xADxDCxcos/ADC,②

因为/AMB+乙4儿。=兀,所以0^乙4。8+85乙4。。=0

所以①+②式即可

3.延伸补形法:如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等

题］在4ABC中，内角ABC的对边分别为a,b,c,6—V3asinA=bcos2A,a=1,且AC边上的中线=

哈则”()

A.3B.V7C.1或2D.2或3

血］2在△ABC中，分别是AC,AB的中点，且3AB=247,若要〈力恒成立，则力的最小值为()

A.43B.j7C.1D.44

484

【变式训练】

题目曰在△ABC中，角45,C的对边分别为a,6,°,已知。=22,点。是48的中点,若。。=&—6,则

△43。面积的最大值为（）

A.V3B.3C.2V3D.12

题目区在△ABC中，若3sinC=2sinB,点分别是的中点，则等的取值范围为（）

C.T

［题目回（2022•河南嘟州四中高三阶段练习（理））在等腰△ABC中，48=47,若AC边上的中线的长

为3,则△ABC的面积的最大值是（）

A.6B.12C.18D.24

题型14三角形重心型

攻略】

中线的处理方法

ADXC）而‘I"，2而.充.不）

1.向量法：2o八

2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理

B'

题1在钝角4ABC中，a,b,c分别是4ABC的内角所对的边，点G是A4BC的重心，若AG_LBG,

则cosC的取值范围是（）

怎

A.I。注3

3

B.C.1-D.5

吼2（2024秋・福建福州•高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G为三角形ABC的重心，且

|豆彳+屈|=|或一屈当/C取最大值时，cosC=（）

432

A.5B.'C.5D.5

【变式训练】

题目［T）（2023•全国•高三专题练习）在锐角△ABC中，a,b,c分别是△A3。的内角A、B、。所对的边，点G

是△ABC的重心，若AGLBG,则cos。的取值范围是（）

I4

:冷)D.l'

A.B.C.

题目团（2020春・天津.高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知△ABC中,

.ABXBC2,A(=4G为△ABC的重心，则G(

67672626

A.18B.^18C.9D.9

题目回（2023•全国•高三专题练习）锐角AABC中，a,Ac为角A、B、。所对的边，点G为△48。的重心，若

AGLBG,则cos。的取值范围为（）

B.'i，T>C.'I,2)

A弓J

题型15三角形外接圆

【解题攻略】

三角形所在的外接圆的处理方法：

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角

形斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

abc

2.正弦定理:=2R,其中五为外接圆半径

sinAsinBsinC

而11（2023秋・辽宁沈阳•高三沈阳市第一二O中学校考开学考试）在△48。中,ABI,AC=2,

M,尸是△ABC的外接圆上的一点，若AP=mAB^nAC«+«的最大值是（）

A.1B.2C.2D.6

画2（2023•全国•高三专题练习）已知锐角△ABC满足图-1、、，/（'60°且。为△48。的外接圆圆心,

若a.〃成而，则2Z〃的取值范围为（）

A.（-乙。B.I"，）c.1々2）口.（22）

【变式训练】

题目7（2022春•上海闵行•高三上海市校考）若O是△AB。外接圆圆心，人、6、。是△A3。的

任丽+巴£而=加而

内角，若寸"sinfl，则实数«的值为（）

A.1B.即4c.D.3/

题目区（2023•全国•高三专题练习）设为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），

/户="44+4（；）（hR）cosZA4C=^

'八’.若$,则八（）

A.14B.14C.7D.7

题目⑶（2022春・北京•高三校考期末）已知三角形械外接圆（）的半径为1（°为圆心），且

2OA+AB♦AC0,8=同，则CA•BC等于（）

15Vl515叵

A.4B.2C.4D.2

题目工（2021•安徽安庆・统考二模）在△ABC中，a卜c分别是上Z,上B,C的对边.若h:出

且/+v'&c=l+ac，则ZA的大小是（）

Xx2xSx

A.6B.3C.3D.6

蜃自口在ABC中，bcos.4gfi，则三角形的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

题目回在.应.中，。一8/4.83「，则此三角形的解的情况是（）

A.有两解B.有一解C.无解D.有无数个解

题目⑷（2023春・广东东莞•高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a,b,c分别为内

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