甘肃省天水市2023-2024学年高二年级下册4月学段检测数学模拟试题（含答案）

甘肃省天水市2023-2024学年高二下学期4月学段检测数学

模拟试题

、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系。一孙z中，点G，一45）关于平面xOy对称的点为（）

A.（一3,4,-5）B（3,-4,-5）c_（3,4,-5）D（-3,-4,-5）

lim/&+2AxA/&-2Ax）

2.若函数V=在'=不处的导数等于“，则'％Ax的值为（）

A.aB.2aC.3aD.4a

3.若"Be在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则8C边上的中线的长是（）

A.6B.2C.百D.3

4.函数/（”）=/一3忖-1的图象大致为（

)

「1

D.

5.函数/G）-e比一e的单调递减区间为（

)

A,0，+°°）B.（°，+8）C.(-汨°)D.S)

6.如图1,现有一个底面直径为l°cm高为25cm的圆锥容器，以2cm的速度向该容器内注

入溶液，随着时间，（单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，

忽略容器的厚度，则当，=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

图1图2

V300^/300V150.V150.

—cm/s-------cm/zs-------cm/s-------cm/s

A.6兀B.5兀C.3兀D.2兀

ln471ln3

a=~T，b=—,c=——,

7.已知4e3,则见伍c大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

x]lwc2-x^wcy〉2

8.若对任意的西以2«°，加），且花＜工2,都有9-玉成立，则加的最大值为（）

]_

-2

A.eB.1C.eD.e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量7=（1/，-2）3=（1厂3,-3）,则下列结论正确的是（）

A.«+ft=（2,-2,-5）B5-^=（0,-2,1）

Ca-b=4D.同=6

10.定义在R上的可导函数/（X）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.-2是函数/（X）的极大值点，一1是函数/（X）的极小值点

B.0是函数/（X）的极小值点

C.函数/（X）的单调递增区间是（支+8）

D.函数,（X）的单调递减区间是（一2，-1）

/（x）=[叫户（。,6）,

11.已知函数6Txe[6,+司,存在〃（心3）个不同的正数占，01,2,…川，使得

/（占）_小2）_f（X,）

再无2X”,则下列说法正确的是（）

A.〃的最大值为5B.，的最大值为4

/（再）/（七）1

C.再的最大值为eD.玉的最大值为e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=（2，T）石=（2』，一4）,若&,则4=.

13.对R上可导的函数”x）,若满足/3+/'3>°,且/（T）=°,则e"G）>°的解集

是.

14.已知定义域为R的函数“X）,对/eR,若存在b>0,对任意的

zw-/（x0）<m）

xe（X0-5,Xo）Ua）,X0+5）,有x-x0恒成立，则称%为函数,⑴的“特异点”.函数

“、f-xe^,x<0

[x-2x,x>0在其定义域上的，，特异点，，个数是个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，已知平行六面体/8c0-4404中，底面ABCD是边长为1的正方形，

AAX=AD；AAXAB=AAXAD=120°

（1）求线段4c的长度;

⑵求异面直线A'D与A'c所成角的余弦值.

16.已知函数/(x)=lnx+ax“aeR),且/⑴=4.

(1)求。的值；

(2)设8⑴=/(X)-In…,求kg(x)过点(1,0)的切线方程.

f(x}=ax----(«+l)lnx(aeR)

17.已知函数.

⑴求证：当。=°时，曲线，=/(x)与直线)=T只有一个交点：

(2)若/(X)既存在极大值，又存在极小值，求实数。的取值范围.

18.二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利

用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4

万元，每生产x万件，需另投入流动成本“(X)万元.已知在年产量不足6万件时，

164

F,，丫)、一=3丫3-L4Y，在年产量不小于6万件时，F(,,_一Qy_|___x_____0Q.每件产品售价8元.通过市

场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润尸(X)(万元)关于年产量无(万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-年

固定成本-流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

19.若x=，"时，函数/(X)取得极大值或极小值，则称优为函数/(X)的极值点.已知函数

f(x)=luxH——--,g(x)=J~ax

x，其中。为正实数.

(1)若函数/(X)有极值点，求。的取值范围；

(2)当无2>%>°户2和占的几何平均数为‘马玉，算术平均数为2.

x2-xl

①判断与/和多的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；

②当。加时，证明./G)"g(x)

1.B

【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得.

【详解】设所求点的坐标为&人»

根据关于平面x°y对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数,

x=3

<y=-4

则有卜=-5,故该点为(3,-4,-5).

故选：B.

2.D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.

lim/6+2.)--2盘)=彳Hm/6+2©)-/6-2盘)

［详解］由已知得.旬Z2。4Ax

=4/'(%)=4。

故选：D.

3.C

【分析】利用中点坐标公式求出8C中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线

长.

【详解】由图可知：‘•'"(°，°l)，2(2,。,0),C(0,2,0),

由中点坐标公式可得3c的中点坐标为(11，°),

根据空间两点间距离公式得BC边上的中线的长为jF+F+(-If=V3.

故选：C

4.C

【分析】根据题意，求得/(X)为偶函数，再利用导数求得函数,(X)的单调区间，结合选项,

即可求解.

【详解】由函数/6)=阴一3国-1的定义域为R,

Fx1111

^/(-%)=e-31-x|-1=e-3|x|-1=/(x)；所以函数为偶函数，

T

当xe(0,+oo)时，/(x)=e-3x-l>贝"'(x)=e*-3,

当x£（0,ln3）时/，（x）＜0.当XE（ln3,+8）时,/«（x）＞0

所以"x）在色侬）上单调递减，在（卜3,+oo）上单调递增.

故选：C.

5.A

【分析】直接求导，再令'解出不等式即可.

【详解】/'（x）=e-e，，令_f（x）＜0,解得x＞l,

所以/（x）的单调递减区间为&+00）,

故选：A.

6.C

【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出;再根据导数的运算得出

最后令》=兀即可求解.

【详解】设注入溶液的时间为，（单位：s）时，溶液的高为〃cm,

,,1150

因为3Tit1

,,11150V150

n=一力一了=----

所以当f=兀时，3\n3兀，

V150.

----cm/s

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为3兀

故选：C

7.D

【分析】构造函数'"）一丁，研究其在（3+°°）上的单调性即可得.

【详解】令x,则/（）/,

当x＞e时，/故，（x）在&+°°）上单调递减，

故/(e)</(3)</(4),即6>c>q

故选：D.

8.A

+工〉1nxi।2Inx2

【分析】将己知不等式变形为3/网%，令g")一"十"将问题转化为g(x)在

(0,加)上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得加的最大值.

xi\nx2-x^nx1

>2可得x^wc-x\wc>2(x-x^

【详解】由马-王22i2

lnx1叫22lnx21nxi2

z、---2------〉--------------2-1---->-------1----

由X],/且X|所以x2X1占％,即％%再再

/、_Inx2/、_I11r2

令gXx+x,则gXX+彳在相(°，加)上单调递增，

，/、1—lux2—1—Inx1

所以g")一/X2"X2，令一1一lnx=0,则

/x)>0g(x)=—+-(°，2]

当I斗时，g(町〉U,此时xx在Iej上单调递增;

当xe(e，+刃时，g，(x)<0,此时g("A7噎在le"叼上单调递减；

(0,/«)c|0,-|m^-

所以Ie人故e.

故选：A.

关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的

比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.

9.AC

【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为'=(1廿2)/=。,-3,-3),

则々+3=(2,-2,-5),故人正确；

力=(0,4,1),故B错误；

«.K=lxl+lx(-3)+(-2)x(-3)=4；故c正确;

同=J1+1+4=S故D错误;

故选：AC

10.BC

【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.

【详解】由题意可得，当时，

当x>0时，*

所以函数/（x）的单调递减区间是（一巩°）,单调递增区间是©+"）,

所以0是函数/（“）的极小值点，所以B,C正确，A,D错误.

故选：BC

11.BD

/（%）

【分析】作出/（“）的图象，利用丁的几何意义是过原点的直线依与"x）相交点的斜

率，结合图象进行求解即可.

/（X）

【详解】丁的几何意义为过点（°'°）的直线的斜率.如图所示,

/.3」孙14（0,6）,

易知直线尸履与正"Txe[6，+"）的图象最多只有4个交点,

故〃的最大值为4,故A错误，B正确.

/（再）

当直线歹=点与曲线>相切时，再取得最大值，

设切点为“（看』政°）,则该直线的斜率为看,

lnx0_1

所以X。龙。，解得/=e，得"（e,l）,

所以故C错误，D正确.

故选：BD.

加)

16x

12.-8

【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解.

【详解】已知向量1=(2，47)3=(2，1，一4),若,4,则鼠分=4+彳+4=0,解得力=-8

故答案为.一8

13.(T+°°)

【分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.

[详解]令g(x)=e"(x),g'(x)=e"[/(x)+/'(x)],而/(x)+/，(x)>0,

易知e，>0,故g'(x)=eT"x)+/'(x)]>0,则g。)在R上单调递增,

而g(T)=e-V(-l)=O,若e"(x)>0,则g(x)>g(-l),则xe(-l,+oo)

故(T+°°)

14.1

【分析】根据题意知"特异点''为''(X)的极大值点，所以通过分析/'(X)的极大值点个数即可

得解.

【详解】由题意知“特异点”为了‘(X)的极大值点,

-xex+1,x<0

因为5

2

X-2X,X>0；所以"°)=°,

当X<0时，/'(x)=-町+(-x)e-=一(x+l)e[

当x>0时，/'(X)=2X-2,

/W-/(O)-xe-1

lim—----=lim--------=-e

又XT(Tx—0x->。-x,

lim=lim*-2尤=同(x—2)=-2

Xf0+X—0XT。+XXfo+、

故/'(°)不存在.

J-(x+l)ex+1,x<0

[2x-2,x>0

又因为

易知：当x>0时，/'（X）单调递增，故不可能有“特异点”,

当尤<0时，设g(x)=/'(x),则g'(x)=-e、'M+[-(x+l)e"[=-(x+2)e、[

令g'（x）>。，贝口<一2；g'（x）<。，则-2<x<0；

所以/'（x）在（一-一2）上单调递增，在（一2，0）上单调递减，

故x=-2为/'（无）的极大值点，即为了CO的“特异点”.

综上所述，/（*）在其定义域内仅有一个“特异点”.

故1.

关键点点睛：本题解决的关键是理解“特异点”的意义，发现其为/'（X）的极大值点，从而得

解.

15.⑴⑹

7小

⑵30

【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用万三，AD=b,

表示出4°,再应用向量数量积的运算律求模长即可；

（2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求从“、再利用夹角公式求异面

直线4D与4c所成角的余弦值.

一一1一一1

----.一-►Jt———►—»CL'C-b'C-

【详解】（1）设AD=b,贝匠6=0,2,2,

vA^C=a+b-c固|40|=｛（"+6-c）=\a+b+c+2a-b-2a-c-2b-c=y/5

，人'J•

1-2---2r-

⑵由40=5-C,则b-2b-c+c=V3

=_

AXD-AyCc^a+b-c^=a-b-a-c-lb-C+b+c=—

7

2_7V15

M而

V3x^530

7小

故异面直线4。与4c所成角的余弦值为万联.

16.（1）1

⑵y=2x-2

【分析】（1）利用导数求解参数即可.

（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.

【详解】（1）定义域为xe（0，+°°）,x,

而/'（1）=1+3。，而已知/⑴=%可得1+30=4,

解得。=1,故。的值为1,

3

（2）g（x）=/（x）-lnx-x=x-x）设切点为（%,/3一/），设切线斜率为七

32

而g'（x）=3x?-1,故切线方程为y-（x0-x0）=（3x0-l）（x-%）,

将（1，°）代入方程中，可得°-（/37。）=（3%2-1）（17。），解得%=1（负根舍去）,

故切线方程为k2x-2,

17.（1）证明见解析；

（2）（0，l）u（l，+°°）,

【分析】（1）当。=°时，对/（X）求导，分析函数单调性，确定了（X）图象，可证明曲线

V=/（X）与直线V=T只有一个交点.

（2）将/（X）既存在极大值，又存在极小值，转换为了'（X）有两个变号零点问题，讨论零点

位置可得实数。的取值范围.

］1—X

［详解］（1）当口=0时，函数"x）__^Tnx,求导得：/f（X）-丁

令巩x）＞0,得0＜》＜1；令/'（x）＜0,得x＞l；

则函数"X）在（0,1）上递增,在（1，+8）上递减,

故/'（QaM/aX-l,

所以曲线V=/（x）与直线>=T只有一个交点.

f(x)=ax------+])lnx

(2)函数X的定义域为（°，+8）,

f(x)=a+\-Q+1ax2一(a+l)x+1

求导得工Xx2

设gOO-办2-(q+V)x+1=(ax-l)(x-1)

令g(x)=0,解得“「a,x2=l

因为/（X）既存在极大值，又存在极小值，即8（0在（°，+°°）有两个变号零点,

->0

a

Li

则，解得a>°且"1,

综上所述：。的取值范围为（01）口（1，+8）.

—-x，+4x-4,0<%<6

尸（X）=V

25-x--,x>6

18.(1)x

（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

【分析】（1）分0<x<6和X26讨论计算即可；

⑵当0<x<6时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大

小即可.

尸1,〃

(x)=8x-4-7+©=.-x3+4x-4

【详解】（1）由题意，当0。<6时,3

尸(无)=8x-4-19x+2-29二25--竺

当无26时,X

--X。+4x-4,0vx<6

尸(x)=<

25-x--,x>6

所以x

(2)当0<x<6时，尸'0)=-'2+4,令P(x)=0,解得％=2

当xe(O,2),p(x)>0,当xe(2,6),p(x)<0.

则P(x)在(0,2)上单调递增，在(2,6)上单调递减,

4

所以当。…6时，小一⑵不

P(x)=25-fx+—K25-2L—=9x=—

当x26时，Ix)Nx,当且仅当x,即x=8时取等号.

综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

19.(1)°4

(2)①答案见解析；②证明见解析

【分析】(1)求导之后构造函数，利用二次函数的性质，利用对称轴，判别式，特殊值讨论

即可；

2(x-Xj)

In迤>2

x2+玉

(2)①证明右边时先将不等式变形为再，令占,构造函数,

21n

求导，用导数分析单调性和极值即可证明；再将左边变形为,令

同样构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明.②恒成立问题，作差之后利用一问

的结论构造函数，求导，分析单调性，再求最大值小于零即可.

r(X)△-2=(无+4-.=o

【详解】(1)X(x+a)2Mx+a)2在(&+8)上有变号零点，

即g(x)=x2+(2a-2)x+/=0在(0,+功上有变号零点.

①若1-屋0,即。却时，只需g(°)="<°矛盾，

A=(2a—2)~—4/=4—8a>0a<—

②若即0<。<1时，只需