函数的表示法（七大考点）

函数的表示法1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；图象的作用,并正确画出函数的图象；3.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.一、函数的表示法函数的表示法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．二、分段函数1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．（3）分段函数的图象要分段来画．考点01函数的表示方法1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（

）．123230

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据图可知，继而根据表格可知.【详解】由图可知，，由表格可知，故选：B.2．已知函数，如下表所示：则不等式的解集为（

）x011x0111A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的性质，首先确定的范围，然后在求解的范围即可.【详解】因为，根据表格，解得，根据下表格，当，解得：或，故选：D.3．已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【详解】由表可知，，所以故选：D．4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）xy2345A．[2，5] B．{2，3，4，5}C．(0，20] D．N＋【答案】B【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可.【详解】由题中列表表示的函数可知函数的值域为.故选：B.5．下列函数中，对任意，不满足的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合各选项的解析式计算、判断是否与相同即可.【详解】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：，则，，所以，故D错误；故选：D6．（多选）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（

）A．乙的速度为米/分钟B．分钟后甲的速度为米/分钟C．乙比甲晚分钟到达地D．，两地之间的路程为米【答案】ABD【分析】根据图象可知，前5分钟为乙比甲多走的距离，即可计算出乙的速度为米/分钟，可得A正确；利用第5到25分钟的距离差可得，甲的原速度为250米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，即B正确；由图象可看出86分钟后甲乙两人距离越来越小，即可知第86分钟时甲到达地，利用时间差可得乙比甲晚到分钟，即C错误；根据甲行驶的总距离即可计算出，两地之间的路程为米，即D正确.【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知乙的速度为米/分钟，故选项A正确；设甲的原速度为，由图可知，解得米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；根据图像当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，，两地之间的路程为米，故选项D正确；故选：ABD7．函数的图象如图所示，则其解析式为．【答案】【分析】分，与三种情况，求出解析式，得到答案.【详解】当时，设，又图象过点，故，∴；当时，；当时，.综上，.故答案为：考点02待定系数法求解析式8．二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】设出二次函数解析式，代入点，求出解析式，判断出正确答案.【详解】由题意得，设二次函数解析式为，将代入解析式，可得，故二次函数的解析式为，故可以为，其他均不合要求.故选：B9．若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.【详解】设，，∵，则，又∵，令，则，∴，即，，令，则，，即，，∴，，.故选：D.10．一次函数满足，且，则的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可．【详解】由题意，设.∵，即，可得：.又∵即∴，∴的解析式为．故选：A．11．已已知是一次函数，且，求.【答案】或【分析】利用待定系数法求解．【详解】设，则，，或，或．故答案为：或.12．已知函数是一次函数且，则函数的解析式为．【答案】【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，进而求得正确答案.【详解】设，由得，即，所以，解得，所以．故答案为：13．（1）已知一次函数满足，求的解析式．（2）已知二次函数满足，，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）利用一次函数的形式和待定系数法求函数的解析式；（2）利用二次函数的形式待定系数法求函数的解析式；【详解】设，则，于是有解得或所以或．（2）设，由题意得解得故．14．已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式.【答案】【分析】设，由可求得；由可构造方程组求得，由此可得.【详解】由题意可设：，由得：；由得：，整理可得：，，解得：，.考点03换元法求解析式15．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法直接求解即可.【详解】令，，则，，所以，所以的解析式为：故选：B.16．已知函数，则的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用配凑法求出解析式即可.【详解】依题意，函数，所以的解析式是.故选：B17．已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据换元法求函数解析式.【详解】令，可得.所以，因此的解析式为.故选：D.18．已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：D.19．若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法求解析式即可.【详解】令，则，∴，∴.故选：B.20．（多选）已知，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】运用换元法求得的解析式，再通过赋值可求得、的值即可判断各选项.【详解】令，则，所以，即：，所以，.故选：BD.21．已知，则.【答案】【分析】令，得到，进而求得函数的解析式.【详解】令，则且，所以，所以函数的解析式为.故答案为：考点04方程组法求解析式22．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解.【详解】因为①，所以②，由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D.23．设定义在上的函数满足，则.【答案】【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.【详解】因为定义在上的函数满足，将换成可得：，将其代入上式可得：，所以，故答案为：.24．已知函数，，且满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件得出关于和的方程组，进而可求得的值.【详解】由于函数满足，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，建立关于和的方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.25．已知满足，则解析式为．【答案】【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.【详解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案为：26．已知定义在上的函数满足，则的值为.【答案】【分析】利用方程思想得到，从而用加减消元得到，求出.【详解】由①，得②，②×4＋①得，解得，故.故答案为：27．若函数，满足，且，则．【答案】【解析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用代入求出.【详解】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.故答案为：【点睛】求函数解析式常用方法：（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（3）方程法：已知关于与与的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．28．已知，求函数的解析式．【答案】【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.【详解】①，以替换，得②，得：，所以.考点05分段函数求值或值域29．已知函数则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.【详解】∵∴.故选：A.30．设函数则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解析式进行迭代可得，然后可得答案.【详解】由解析式可得，所以．故选：B．31．设，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】先求得，再代入计算即可得答案.【详解】解：因为，所以.故选：C.32．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数值域为.故选：B33．设函数则.【答案】1【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.【详解】当时，，则.故答案为：134．已知函数.若，求实数等于；函数在区间上值域.【答案】或【分析】根据分段函数解析式分类讨论分别求出的值，画出在区间的图象，即可得到函数在区间上的值域.【详解】因为且，当时，，解得或（舍）；当时，，解得，由上知：或.函数在区间图象如下图所示：，，，由图象可知函数在区间的值域为.故答案为：或，；35．给定函数.(1)在同一直角坐标系中画出函数的图像；(2)表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.【答案】(1)图象见解析(2)，【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可；（2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值.【详解】（1）对于，过作一条直线即可得到的图象，对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，（2）由，得或，结合图象，可得的解析式为，结合图象可知，当时，.考点06分段函数求参数或自变量36．已知函数，若，则（

）A． B．0 C．或0 D．【答案】A【分析】对进行分类讨论，直接计算可求解.【详解】时，，则，进一步分类讨论，时，即时，，整理得，根据条件得；时，即时，，得，不符题意；时，，，进一步分类讨论，时，即时，与不符；时，即，所以时，有，得，与题意不符；故选：A37．已知函数，若，实数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，所以，解得.故选：C38．已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C． D．2或3【答案】B【分析】由题意分类讨论，，解方程可求解a.【详解】当时，则，解得：或（舍去）当时，则，解得：（舍去）综上所述：故选：B.39．设定义域为R的函数，且，则x的值所组成的集合为.【答案】【分析】首先换元，令求出的范围，从而对进行分类讨论求方程的根即可.【详解】令，当时，有单调递增，所以此时，当时，有，当时，有单调递增，所以此时，综上所述，将方程转化成，由以上分析可知当且仅当，或时，，即当且仅当或，由以上分析可知：当时，有，此时方程无解，当时，有，此时存在使得恒有解，即此时的解集为，当时，有，所以，又，所以.综上所述：满足题意的x的值所组成的集合为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是换元，令求出的范围，从而分类讨论即可顺利求解.40．设，若，则x的值为．【答案】【分析】根据分段函数的定义域，分求解.【详解】若，则无解；若，则，所以x＝.若，则无解．综上：.故答案为：41．已知函数，且.(1)求；(2)若，求实数的值.【答案】(1)2(2).【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，然后从内到外计算；（2）分，分别求解，注意检验.【详解】（1），由于，故，解得故，所以.（2）当时，，解得，舍去；当时，，解得或1，其中不符合题意，舍去；综上所述，.42．已知(1)求(2)若，求实数的值【答案】(1)(2)或【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可;(2)分情况讨论,代入求解,再验证后得出实数的值【详解】（1）（2）若，则，由得，解得若，则，由得，解得或，由于，综上或考点07解分段函数不等式43．已知，满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.【详解】若，则，故，由可得，当，则，故，由可得，当时，则不符合要求，综上可知：的取值范围为故答案为：44．已知函数则使成立的的值组成的集合为.【答案】【分析】分段函数分段解一元二次不等式即可得解集.【详解】由题意可得或由解得；由解得.综上所述，使成立的的值组成的集合为.故答案为：.45．设函数,若，则的取值范围是.【答案】【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.【详解】（i）当，即时，，，由得，即，因为，所以恒成立，所以；（ii）当，即时，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）当，即时，，，由得，即，所以，综上所述：的取值范围是.故答案为：46．函数，若关于的不等式的解集.【答案】【分析】原不等式等价于或，分别解出对应不等式即可得出结果.【详解】由题意得原不等式等价于或，解得或，即关于的不等式的解集为：故答案为：47．已知函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a的值是；若，则实数a的取值范围是．【答案】－2或5【分析】由分段函数函数值求解参数及分类讨论解不等式即可；【详解】若f（a）＝4，则或解得或.若，则或解得或，∴a的取值范围是．故答案为：－2或5；48．已知函数．(1)求，，的值；(2)若，求m的值；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，，；(2)或；(3)．【分析】（1）将分别代入求解即可；（2）分、分别求解即可；（3）分、分别求解即可.【详解】（1）解：因为函数，所以，，；（2）解：当时，，解得或（舍去）；当时，，解得．所以m的值为或；（3）解：当时，，解得，即；当时，，解得．所以n的取值范围为.49．已知函数(1)求,,的值;(2)若,求实数的值;(3)若,求实数的取值范围.【答案】(1);;(2)或(3)【分析】（1）根据的范围,分别将代入对应解析式即可求解;（2）对参数进行分类讨论,解方程求解即可;（3）对参数进行分类讨论,解不等式求解即可.【详解】（1）由题可得,,因为,所以.（2）①当时,,解得,不合题意,舍去;②当时,,即,解得或,因为,,所以;③当时,,解得,符合题意.综合①②③知,当时,或.（3）由,得或或,解得或或,故所求的取值范围是.基础过关练1．某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由题可知前三年年产量的增长速度越来越快，即的值逐渐增大，后三年年产量保持不变，即的值不变.【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的速度越来越快．又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大．故选：A．2．已知函数，如下表所示：x011x0111则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格求解即可.【详解】由题意，当时，，当时，，当时，，故不等式的解集为．故选：D3．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用换元法，把原式变形即可求解.【详解】令，则则有，所以函数的解析式为：.故选：D.4．下列四个函数：①；②；③；④．其中定义域与值域相同的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.【详解】①的定义域和值域均为R,②,定义域为，∴值域为，定义域与值域相同；③的定义域为R，值域为，定义域与值域不相同；④的定义域为R，当时，；当时，，则函数值域为R,故函数定义域与值域相同，所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．故选：C．5．（多选）设，定义符号函数，则下列各式不正确的是（）A．

B．

C． D．

【答案】ABC【分析】根据符号函数的定义，化简各选项中右边，验证与左边是否相等.【详解】对于选项A，右边，而左边为x，显然不正确；对于选项B，右边，而左边为x，显然不正确；对于选项C，右边即为而左边，显然不正确；对于选项D，右边，而左边，显然正确．故选：ABC6．（多选）已知函数，若，则实数a的值为（

）A． B． C．2 D．8【答案】AC【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.【详解】函数，而，当时，，解得，满足条件，即有，当时，，解得，显然不满足条件，则有，所以实数a的值为或2.故选：AC7．已知，则.【答案】【分析】利用换元法求解即可【详解】令，则，所以，即，故答案为：8．设a，，记，则函数的最大值．【答案】1【分析】联立方程组求得交点坐标，作出两函数的图象，结合图象，得到函数的解析式，即可求解.【详解】根据题意，联立方程组，解得，即两函数的交点坐标为，则两函数和图图象，如图所示，因为，所以的最大值为.故答案为：.9．已知函数，若值域为，则实数c的范围是.【答案】【分析】由分段函数的解析式进行分析，画出函数图像，由图像分析得出结论.【详解】当x＝2时，，，∵值域为，∴当时，由，得，此时，由，得，解得x＝2或x＝－1，作出图像：有图像可得：要满足题意则：综上，，即实数c的取值范围是.故答案为：10．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是．【答案】【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合.【详解】解：由题意在中，当时，，当时，解得：当时，，当时，解得：综上，∴满足的实数的取值集合是故答案为：.11．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；（2）已知，求的解析式.（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.【答案】（1）；（2）．（3）【分析】（1）利用待定系数法即可得到解析式；（2）利用配凑法或换元法即可得到解析式；（3）利用方程组法即可得到解析式.【详解】（1）令，因为，所以，则．由题意可知：，得，所以．所以.（2）法一：配凑法根据．可以得到．法二：换元法令，则，．.（3）因为①，所以②，由①②得：，解得：.12．已知函数.(1)求的值；(2)若，求实数的值.(3)若，求的取值范围.【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）根据函数的解析式求解即可；（2）分类讨论，解方程即得；（3）分类讨论，解不等式组即得.【详解】（1）由题可得，，（2）①当时，，解得，不符合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；（3）当时，所以；当时，所以或；当时；不成立；所以此时解集为空集综上所述，当时，的取值范围为：能力提升练1．观察下表：x12351351423则（

）A． B． C．3 D．5【答案】D【解析】根据表格求出，，再求出即可得解.【详解】由题中表格得，，∴，故选：D.【点睛】此题考查函数概念辨析，根据表格形式表示的函数关系求函数值.2．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当时，，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.3．