第43讲含参数的不等式的问题

新课标高中一轮总复习第六单元不等式及不等式选讲第43讲含参数的不等式的问题掌握利用分类讨论思想解有关分段函数型不等式、含参讨论型不等式的方法.1.若log2a2<0，则a的取值范围是()DA.(,+∞)B.(1,+∞)C.(,1)D.(0,)由log2a2<0=log2a1可知0<2a<1,即0<a<,故选D.2.已知方程-x=ax+1有一负根，则实数a的取值范围是()AA.a>-1B.a=1C.a≥1D.a≤1因为-x=ax+1,所以(a+1)x=-1,显然a≠－1，所以x=,又因为方程有一负根,所以<0,所以a>-1.3.若对x∈(-∞,-1］,不等式(m2-m)2x-()x<1恒成立，则实数m的取值范围是()AA.(-2,3)B.(-3,3)C.(-2,2)D.(-3,4)由已知得m2-m<.设t=()x,由于x∈(-∞,-1］，则t≥2.于是,有=t2+t=(t+)2-≥６,便得m2-m<6,解得-2<m<3.4.若关于x的不等式(k2-2k+)x<(k2-2k+)1-x的解集是(,+∞),则实数k的取值范围是

.(1-,1+)关于x的不等式(k2-2k+)x<(k2-2k+)1-x的解集是(,+∞),即x>,而x>时，x>1-x,所以0<k2-2k+<1,所以1-<k<1+.解含参数的不等式时，一般都需要对参数进行分类讨论，但对分类标准的把握是一个难点又是一个重点，当参数在不等式的某些特殊的位置时，其分类标准有一定规律，如：(1)一元不等式的一次项系数含有关于参数a的代数式f(a)时，需对①

.进行讨论;f(a)>0,f(a)=0,f(a)<0(2)一元二次不等式的二次项系数含有关于参数a的代数式f(a)时，需对②

.进行讨论,而当f(a)≠0，又需对判别式Δ,分③

来讨论，在写出不等式的解集时有时需要通过比较④

来分类，最后确定出分类标准；(3)若对数或指数的底数中含有参数a,需对a分⑤

来讨论.f(a)=0与f(a)≠0Δ>0,Δ=0,Δ<0二次函数对应方程的根a>1或0<a<1题型一含参数的一元二次不等式的求解例1解关于x的不等式(m+1)x2-4x+1≤0（m∈R）.当m+1=0时，它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1≠0时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：(1)当m<-1时,Δ=4(3-m)>0，图象开口向下,与x轴有两个不同交点,不等式的解集取两边；(2)当-1<m<3时，Δ=4(3-m)>0，图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间；(3)当m=3时，Δ＝4（3-m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x2-4x+1=0的根;(4)当m>3时,Δ=4(3-m)<0,图象开口向上,图象全部在x轴的上方,不等式的解集为.当m=-1时,原不等式的解集为{x|x≥};当m≠-1时,(m+1)x2-4x+1=0的判别式Δ=4(3-m),则当m<-1时,原不等式的解集为{x|x≥或x≤};当-1<m<3时，原不等式的解集为{x|≤x≤};当m=3时，原不等式的解集为{x|x=};当m>3时，原不等式的解集为.(1)解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论.(2)利用函数图象必须明确：①图象开口方向；②判别式确定解的存在范围；③两根大小.(3)二次项的取值（如取零、取正值、取负值）对不等式实际解的影响.题型二解含参数的指数不等式和对数不等式例2(1)解关于x的不等式ax2<a2x+3；(2)解关于x的不等式loga(x2+1)<loga(x+1).(1)当0<a<1时，原不等式等价于x2>2x+3，即x2-2x-3>0，解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).当a>1时，原不等式等价于x2<2x+3，即x2-2x-3<0，解集为(-1,3).x2-1>0

x+1>0

x2-1<x+1，解得1<x<2，解集为(1,2).

x2-1>0

x+1>0

x2-1>x+1，解得x>2，解集为(2,+∞).(2)a>1时，原不等式等价于当0<a<1时,原不等式等价于若对数或指数的底数中含有参数a,需对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,解对数不等式时，应注意同解变形.题型三恒成立问题与参变量允许范围例3已知函数f(x)=在区间［-1,1］上是增函数.（1）求实数a的取值范围A；（2）设x1、x2是关于x的方程f(x)=的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈［-1,1］，不等式mx2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，求实数m的取值范围.(1)f′(x)=，因为f(x)在区间［-1,1］上是增函数，所以当x∈［-1,1］时，f′(x)≥0恒成立,所以4+2ax-2x2≥0，即x2-ax-2≤0恒成立.设φ(x)=x2-ax-2，x∈[-1,1]，

φ(1)=-a-1≤0

φ(-1)=a-1≤0.

所以A=［-1,1］.只需，所以-1≤a≤1.(2)由f(x)=,得=，即x2-ax-2=0.由题设x1、x2是方程x2-ax-2=0的两根，x1+x2=ax1x2=-2,从而|x1-x2|==.因为a∈[-1,1],所以≤3,即|x1-x2|max=3.所以对任意a∈A及t∈［-1,1］不等式成立,只需m2+tm-2≥0恒成立.所以设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).t∈[-1，1].

g(1)=m2+m-2≥0g(-1)=m2-m-2≥0故m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).只需,解得m≥2或m≤-2.在给定区间内不等式有解，与在该区间上不等式恒成立是不同的两类问题，不能混淆.一般的，两者都可以采用数形结合，用解不等式（组）来解，但有时会很繁杂，本题用分离变量的思想方法来解，简单明了，也更容易区别两类问题的不同，即：x∈[a,b]时，m<f(x)有解，只需m<f(x)max；x∈[a,b]时，m>f(x)恒成立，只需m>f(x)max.

x2-x-2>02x2+(5+2k)x+5k<0的解集中所含整数只有-2,求k的取值范围.若不等式组由x2-x-2>0解得x<-1或x>2.由2x2+(5+2k)x+5k<0,得(2x+5)(x+k)<0(*)因为-2是原不等式组的解，则k<2，故（*）-<x<-k，

x<-1x>2-<x<k-<x<-k.又k<2，则-k>-2.而原不等式的解集中只含整数-2，所以-k≤3，即k≥-3，故k的取值范围是[-3,2).所以原不等式组或当一个不等式中含有字母参数，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解:首先是对不等式的类型(即是哪一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响.我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论.在含参数的不等式中求参数的取值范围，是高考命题的一个趋势.用函数观点，结合系数分类法，降元化归为二次区间上恒成立问题，或选择主元，构造函数，形助数构建不等式，这些都是多参数问题求解的思维方法.学例1

(2009·山东卷)在R上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为()BA.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)依题设，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1)<0.解得-2<x<1，故选B.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.学例1

(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4