湖北省黄石市阳新县陶港中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（解析版）

湖北省阳新县陶港中学2024年春九年级5月份考试数学试题卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是的（）A.相反数 B.平方根 C.绝对值 D.算术平方根【答案】A【解析】【分析】和为0的两数为相反数，由此即可求解．解：∵，∴是的相反数，故选：A．【点睛】本题主要考查了相反数的概念：两个相反数它们符号相反，绝对值相同．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了幂的运算、整式除法、积的乘方，解题关键是熟练运用整式运算的法则进行准确计算．根据整式的运算法则进行计算，逐个判断即可．解：A、，故该选项错误，不符合题意；B、，故该选项正确，符合题意；C、，故该选项错误，不符合题意；D、，故该选项错误，不符合题意；故选：B．3.下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，故选：B．4.第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过万亿元．请将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．解：故选C．5.函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．解：由题意可得，，解得，∴自变量的取值范围在数轴上可表示为，故选：．6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，由，得到，，利用角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．解：如图：由题意得，，∵∴，，∵∴，∴，故选：C．7.在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，．解：是正五边形，，，，四边形为菱形，，，故A选项正确；，，故B选项正确；，，，故C选项正确；，，，，故D选项不正确，故选：D．8.如图，已知是⊙O的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用，连接，由圆周角定理得出根据垂径定理可得证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．解：连接，如图所示：∵是的直径，弦为等腰直角三角形，故选：A．9.在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理．解题的关键在于熟练掌握、两点间的距离公式为，完全平方式的最小值为0的性质．根据直角坐标系中两点间的距离公式，非负数的最小值，求解即可．∵点A坐标为，点坐标为，∴，∴有最小值是．故选：D．10.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；．其中正确的有（）A.①② B.②③ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴，与轴交点判断①；结合对称轴和系数的符号，判断②；特殊点判断③，对称性，根与系数的关系判断④．解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，∴，∴；故①正确；∵，∴；故②错误；∵，，∴，∴，∴；故③正确；∵的图象与轴交于两点，，，∴，∴；；故④正确；正确的是：①③④，故选C．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.若使代数式有意义，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．解：由题意得：解得：故答案为：．12.，，，四名选手参加赛跑，赛场共设四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．解：画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：由树状图可知，共有种等结果，其中，两位选手抽中相邻跑道的结果有种，∴，两位选手抽中相邻跑道的概率为，故答案为：．13.如果点、点在直线上，那么_______（填“>”、“<”）．【答案】>【解析】【分析】此题考查比较一次函数值的大小，将点、点代入，分别求出a，b，比较即可．将点、点代入，得，∴，故答案为：>．14.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为___________．【答案】9【解析】【分析】本题考查了九宫格知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．设九宫格中最中间的数为x，由于第3列中间数与第2行的最右边的数重合，建立方程，求得x，设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，由第1列与其中一条对角线的数之和相等得：，再由最后一列和另一条对角线的数之和相等得：，最后解方程组，然后再计算m值．解：设九宫格中最中间的数为x，∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，∴解得：．设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，则由题意得：，解得：，∴．故答案为：9．15.如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：【答案】【解析】【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．解：．17.如图，在中，点，点分别为，边的中点，过点作交的延长线于，连接．若，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．证明：∵点，点分别为，边的中点∴为的中位线∴又∴四边形平行四边形∴由得：而，∴∴∴．18.“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨；3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨．（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨？（2）根据实际情况，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．要求B型设备不多于A型设备的3倍，且购回的设备日处理能力不低于144吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买A、B设备的方案．【答案】（1）1台A型设备、1台B型设备日处理能力各12、16吨．（2）该景区购买方案共有2种，方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台；方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用：（1）设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购买A型设备m台，则购买B型设备为台，根据题意列出一元一次不等式组，进而求正整数解即可求解．【小问1】解：设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，由题意得：，解得，答：1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为12、16吨．【小问2】解：设购买A型设备为m台，则购买B型设备为台．由题意得：，解得，∴，∵m为正整数，∴或4，∴该景区购买方案共有2种，方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台；方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台．19.2022年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯．区政府为了解9月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94乙社区10人的积分在C组中的分数为：81，83，84，84两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示社区平均数中位数众数甲83b乙a84根据以上倌息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）根据以上数据，你认为______社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；（3）若9月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在组的一共有多少人？【答案】（1）（2）乙，理由见解析（3）378【解析】【分析】（1）找到甲社区中出现次数最多的数据，即可得到的值，根据乙社区的扇形统计图，确定两组的人数，找到乙组中第5和第6个数据，求出两个数据的平均值即可得到的值，利用组人数除以10，求出的值；（2）从中位数和众数的角度，进行分析即可；（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区组人数所占的百分比，将积相加即可得解．【小问1】解：甲社区中出现次数最多的数据为：，∴，乙社区组人数为：人，组人数为：人，∴乙社区的积分从小到大排列，第5和第6个数据分别为：，∴；乙社区组人数为：人，∴组人数所占百分比为：，∴；故答案为：；【小问2】解：乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好；理由如下：甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好；故答案为：乙；【小问3】解：甲社区积分在组的人数所占的比例为：，乙社区积分在组的人数所占的比例为：，人；答：估计该月甲、乙两个社区积分在组的一共有378人．【点睛】本题考查中位数，众数，以及利用样本估计总体数量．熟练掌握中位数和众数的确定方法，是解题的关键．20.如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点D，，垂足为点E，延长交于点F，连接．（1）求证：平分；（2）若的半径为4，，求的值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质及，得到，进而得到，由，推出，即可得到，即可证明结论；（2）由，证明，求出，再证明，求出，即可求解．【小问1】证明：连接．是的切线，．，．．，．．平分；【小问2】解：，∴的半径为，，解得．是的直径，是的切线，，即【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、圆周角定理和解直角三角形．掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想的应用．21.【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：R/Ω…1234n6…I/A…5m…（1）填写：，；【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）3，5；（2）①见解析，；②函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等；（3）【解析】【分析】本题考查反比例函数的应用：（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值；（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．解：（1）根据题意，，解得，故答案为：3，5；（2）①根据表格数据描点：，在平面直角坐标系中画出对应函数，的图象如下：②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，或函数有最大值，没有最小值等；（3）如图：由函数图象知，当时，函数的图象在函数在上方，所以，的解集为22.网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）．（1）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？【答案】（1）（2）当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质：（1）根据获利=（销售单价成本）日销售量，即可求解；（2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解；求出函数关系式是解题的关键．【小问1】解：根据题意可得，化简得：，答：日获利与销售单价之间的函数关系式为；【小问2】解：，∵，对称轴为，∴当时，由最大值为元，∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元．23.综合与实践．【问题发现】（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．【类比探究】（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或【解析】【分析】（1）证明，可得；（2）通过证明，可得；（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，；（2）解：，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，；（3）解：由（2）知：，，，，，，为的中点，，由（2）知，，，又是直角三角形，，，设，则，，，，，，，，或（不合题意，舍去），当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，，，，，，，，（不合题意，舍去）或，综上所述，的长为或．【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．（1）当时，直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图1，点D是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度：（3）如图