2024届上海市某中学十校联考最后数学试题含解析

2024学年上海市交大二附中十校联考最后数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列运算正确的是（）

A.a-3a=2aB.(ab2)0=ab2C.、反=+2、万D.6x07=9

2.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC

为等腰直角三角形，则这样的点C有（）

3.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:

成绩/相1.501.601.651.701.751.80

人数232341

则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）

A.1.65、1.70B.1.65、1.75C.1.70、1.75D.1.70、1.70

4.如图，E,B,F,C四点在一条直线上，EB=CF,ZA=ZD,再添一个条件仍不能证明△A5Cg△OE尸的是（）

C.ZE=ZABCD.AB//DE

5.如图，点。、E分别为AA5C的边45、AC上的中点，则AAOE的面积与四边形5CE。的面积的比为（）

BC

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：1

xx

7.设卬X2是方程通2"-1=0的两个实数根，则9上+」的值是（）

X]x2

A.-6B.-5C.-6或-5D,6或5

8.如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（）

A.着B.沉C.应D.冷

9.关于x的方程，=上无解，则k的值为（）

2xx+3

A.0或，B.-1C.-2D.-3

10.已知二次函数y^ax2+法+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（%,0）,且1<%<2,与V轴的正半轴的交点在（0,2）

的下方.下列结论：①4a—2Z?+c=0；©a-b+c<0i③2a+c>0；@2a-b+l>0.其中正确结论的个数是（）

个.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.在矩形ABCD中，AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A，，若点A，

到矩形较长两对边的距离之比为1：3,则AE的长为.

YI

12.计算-------的结果是

%-1%-1

13.有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么

根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是.

。小明A小林

14.1017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积

约为156700kmi,该数据用科学记数法表示为__________km1.

15.如图，正方形ABCD中，AB=2,将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到线段CE,线段BD绕点B顺时针旋转90。

得到线段BF,连接BF,则图中阴影部分的面积是.

16.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABC。，坝顶宽4）=6米，坝高是20米，背水坡的坡角为30。，迎水坡

CD的坡度为1：2,那么坝底的长度等于米（结果保留根号）

3

17.在.R3ABC中,NC=90。，若AB=4,sinA=-,则斜边AB边上的高CD的长为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有

两辆汽车经过这个十字路口.

⑴试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率.

⑵求至少有一辆汽车向左转的概率.

19.（5分）甲、乙、丙3名学生各自随机选择到4、82个书店购书.

（1）求甲、乙2名学生在不同书店购书的概率；

（2）求甲、乙、丙3名学生在同一书店购书的概率.

20.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。O,交BC于点D,连接AD.过点D作DEJ_AC,

垂足为点E.求证：DE是。。的切线；当。O半径为3,CE=2时，求BD长.

21.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数丫=一（%<0）的图象经过点A（T,〃），轴于点3,点C

x

与点A关于原点。对称，轴于点O,AA5O的面积为8.

（1）求机，n的值；

（2）若直线y=履+匕（时0）经过点C,且与X轴，y轴的交点分别为点E,F,当CF=2CE时，求点F的坐标.

22.（10分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.求

证：DF2=EF・BF.

23.（12分）如图，某游乐园有一个滑梯高度AB,高度AC为3米，倾斜角度为58。.为了改善滑梯AB的安全性能,

把倾斜角由58。减至30°,调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58*0.85,

cos58°=0.53,tan58°=1.60)

24.（14分）如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处.

⑴连接CF,求证：四边形AECF是菱形；

12

⑵若E为BC中点，BC=26,tanZB=y,求EF的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幕的性质分别化简得出答案.

【题目详解】

解：A、a-3a=-2a,故此选项错误；

B、（ab2）0=1,故此选项错误；

C、而=2点,故此选项错误；

D、6“后=9,正确.

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数塞的性质，正确把握相关性质是解题关键.

2、A

【解题分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰AABC其中的一条腰.

【题目详解】

如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形

结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

3、C

【解题分析】

根据中位数和众数的概念进行求解.

【题目详解】

解：将数据从小到大排列为：L50,150,1.60,1.60,160,1.65,1.65,1.1,1,1,1,1,1,75,1.75,1.75,1.75,1.80

众数为：1.75；

中位数为：1.1.

故选C.

【题目点拨】

本题考查1.中位数；2.众数，理解概念是解题关键.

4、A

【解题分析】

由EB=CF,可得出EF=BC,又有NA=ND,本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明

△ABC^ADEF,那么添加的条件与原来的条件可形成SSA,就不能证明△ABC丝4DEF了.

【题目详解】

VEB=CF,

/.EB+BF=CF+BF,即EF=BC,

又•.,NA=ND,

A、添加DE=AB与原条件满足SSA,不能证明AABCgZ\DEF,故A选项正确.

B、添力口DF〃AC,可得NDFE=NACB,根据AAS能证明△ABC四△DEF,故B选项错误.

C、添加NE=NABC,根据AAS能证明△ABC^^DEF,故C选项错误.

D、添力口AB〃DE,可得NE=NABC,根据AAS能证明△ABCgZkDEF,故D选项错误，

故选A.

【题目点拨】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、

SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边

的夹角.

5、B

【解题分析】

根据中位线定理得到DE〃BC,DE=-BC,从而判定△ADEsaABC,然后利用相似三角形的性质求解.

2

【题目详解】

解：•.•》、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，

ADE是小ABC的中位线，

1

/.DE/7BC,DE=-BC,

2

.,.△ADE^AABC,

.1△ADE的面积：△ABC的面积=（万）2=1：4,

.'.△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；

故选B.

【题目点拨】

本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质.

6、A

【解题分析】

观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论.

【题目详解】

根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形不是轴对称图形.

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合.

7、A

【解题分析】

试题解析：XI,X2是方程x2・2x-l=0的两个实数根，

.*.Xl+X2=2,X1*X2=-1

.%2再2+X2(再+%2)2—4+2

X[X2尤]尤2尤1%2-1

故选A.

8、A

【解题分析】

正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答

【题目详解】

这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对.

故选：A

【题目点拨】

本题主要考查了利用正方体及其表面展开图的特点解题，明确正方体的展开图的特征是解决此题的关键

9、A

【解题分析】

方程两边同乘2x(x+3),得

x+3=2kx,

(2k-l)x=3,

・・•方程无解，

...当整式方程无解时，2k-l=0,k=/,

2

当分式方程无解时，①x=0时，k无解，

②x=-3时，k=0,

・・・k=0或4时，方程无解，

2

故选A.

10、B

【解题分析】

分析：根据已知画出图象，把》=-2代入得：4a-2ft+c=0,把x=T代入得：y=a-b+c>0根据石二一<一2,不等式

9a

的两边都乘以〃(。<0)得：c>-2a9由4Q-28+c=0得2a-b———,而0vcv2,得到—1<——<0即可求出2a-5+1>0.

详解：根据二次函数尸。/+必+。的图象与“轴交于点(-2,0)、(Xi,0),且kriv2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，

画出图象为：如图

把x=-2代入得：4a-2b+c=0,/.①正确；

把x=T代入得：尸a-5+c>0,如图A点，，②错误；

V(-2,0)>(孙0),且l<xi,

，取符合条件l<xi<2的任何一个孙-2・xiV-2,

...由一元二次方程根与系数的关系知X1•羽=工<-2,

a

；・不等式的两边都乘以a(〃v0)得：c>—2af

/.2a+c>0f・,•③正确；

④由4。-25+c=0得2。—Z?=——,

2

而0<c<2,•*.—1<——<0

1<2«-ft<0

:.2。一8+1>0,

工④正确.

所以①③④三项正确.

故选B.

点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与1轴的交点,

属于常考题型.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、巫或芭I

75

【解题分析】

EFA'FA'p1i

由ZBAG=ZAEF,ZBGA=ZEFA1，得AE4T〜AA'BG,所以•再以①诉=［和②E=Z两种情

A'GBGAOr3Ar3

况分类讨论即可得出答案.

【题目详解】

因为翻折，所以A'B=AB=4,ZBAE=90°,过A作AF，AD,交AD于F,交BC于G,根据题意,

BC//AD,:.AFLBC.

若A'点在矩形ABCD的内部时，如图

贝！IGF=AB=4,

由ZEAB=90°可知ZEA'F+NBA'G=90°.

又ZEAF+ZAEF=90°.

:.ZBAG=ZAEF.

又NBG4'=NEE4'.

AEA'E〜AA'BG.

AEAN〜AA'BG.

EFA'F

A'GBG

2A'F1

若-----=一

A'G3

则4G=3,AE=1.

BG=YIAB2-AG2=A/42-32=A/7-

EF1

则亍=万

:.EF=-^

7

.■.AE=AF-EF=BG-EF=^-3^-=4^-

iAG1

若----=-

A'F3

则AG=1,AE=3.

5G=JA®-AG?="2—12=岳・

EF3

则T=至.

“3.

5

AE=AF—EF=BG—EF=^—^=^^~

55

故答案士互或生叵.

75

【题目点拨】

本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键

错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于

点A，A倒矩形较长两对边的距离之比为1:3,需要分A，M:A，N=1:3,A，M:A，N=1:3和A，M:A，N=3:1,A，M:A，N=3:1这

两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长.

12、1

【解题分析】

分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果.

Y1y—1

详解：原式=—、——7=J=L

x—1x—1X—1

故答案为：1.

点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.

13、小林

【解题分析】

观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手.

故答案是：小林.

14、1.267X102

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值是易错点，由于126700有6位，所以

可以确定n=6-1=2.

【题目详解】

解：126700=1.267x102.

故答案为1.267x102.

【题目点拨】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

15、6-jt

【解题分析】

过F作FM_L.BE于M,则NFME=NFMB=90。，

•.•四边形ABCD是正方形，AB=2,

.\ZDCB=90°,DC=BC=AB=2,ZDCB=45°,

由勾股定理得：BD=20,

•••将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到线段CE,线段BD绕点B顺时针旋转90。得到线段BF,

；.NDCE=90。，BF=BD=2及，ZFBE=90o-45°=45°,

；.BM=FM=2,ME=2,

,阴影部分的面积S—SBCD+sBFE+S扇形DCES扇形。8尸〃环工43处上一"*111=6几

22360360

故答案为：6-71.

点睛：本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是

解此题的关键.

16、（46+20逝）

【解题分析】

过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF,得到两个直角三角形和一个矩形，分别解RtAABE、RtADCF求

得线段回、CF的长，然后与所相加即可求得的长.

【题目详解】

如图，作DF1BC,垂足分别为点E,F,则四边形ADEE是矩形.

由题意得，M=A£>=6米，A£=£>尸=20米，?B30°，斜坡CD的坡度为1：2,

在RtAABE中，•：?B30°，

二BE=也AE=20百米.

在RtADCF中，V斜坡CD的坡度为1：2,

•DF1

••——9

CF2

CF=2DF=40米，

二BC=BE+EF+FC=2073+6+40=46+20^/3（米）.

二坝底BC的长度等于（46+20百）米.

故答案为（46+20百）.

【题目点拨】

此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡

度与坡角的定义.

48

17、——

25

【解题分析】

BC3

如图，•・•在RSABC中，ZC=90o,AB=4,sinA=——二一,

AB5

〈CD是AB边上的高,

..16348

・・CD=AC,sinA=—x———.

5525

故答案为：—.

B

三、解答题(共7小题，满分69分)

45

18、⑴丁⑵§.

【解题分析】

(1)可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式

计算可得；

(2)根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案.

【题目详解】

⑴画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

，这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，

4

所以两辆汽车都不直行的概率为§；

(2)由⑴中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等

/.P(至少有一辆汽车向左转)=|.

【题目点拨】

此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解.

19、(1)P=-;(2)P=-.

24

【解题分析】

试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事

件的概率.

试题解析：(1)甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有:

7TJS

从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，

41

所以甲乙两名学生在不同书店购书的概率P(甲、乙2名学生在不同书店购书)=—=—；

82

(2)甲、乙、丙三名学生AB两个书店购书的所有可能结果有：

从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，

所以甲乙丙到同一书店购书的概率P(甲、乙、丙3名学生在同一书店购书)=2=」.

84

点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20、(1)证明见解析；(2)BD=2V3.

【解题分析】

(1)连接OD,AB为。0的直径得NADB=90。，由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,贝!J

OD为△ABC的中位线，所以OD〃AC,而DELAC,则ODLDE,然后根据切线的判定方法即可得到结论；

(2)由NB=NC,ZCED=ZBDA=90°,得出ADECs/\ADB,得出—=—,从而求得BD«CD=AB«CE,由BD=CD,

BDAB

即可求得BD2=AB・CE,然后代入数据即可得到结果.

【题目详解】

(1)证明：连接OD,如图，

c

；AB为。。的直径，

.\ZADB=90°,

AADIBC,

VAB=AC,

；.AD平分BC,即DB=DC,

VOA=OB,

AOD为4ABC的中位线，

AODZ/AC,

VDE±AC,

AODlDE,

；.DE是。。的切线；

(2)VZB=ZC,ZCED=ZBDA=90°,

.,.△DEC^AADB,

.CECD

••—9

BDAB

.\BD«CD=AB«CE,

；BD=CD,

/.BD2=AB»CE,

；(DO半径为3,CE=2,

**•BD—J6x22y/3•

【题目点拨】

本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了等腰三角形的性质、三角形

相似的判定和性质.

21、(1)m=8,n=-2;(2)点F的坐标为4(0,6),7^(0,-2)

【解题分析】

分析：⑴利用三角形的面积公式构建方程求出n,再利用待定系数法求出m的的值即可;(2)分两种情形分别求解如①

图，当k<0时，设直线y=kx+b与x轴，y轴的交点分别为.②图中，当k>0时，设直线y=kx+b与x轴，y轴的

交点分别为点七2，工・

详解：⑴如图②

,/点A的坐标为A（-4,〃），点C与点A关于原点。对称，

:.点C的坐标为。（4,-〃）.

轴于点B,CZ＞，x轴于点。，

AB,。两点的坐标分别为8（-4,0）,D（4,0）.

=

△ABD的面积为8,S至D=_ABxBD=—x（—九）x8—4-n,

*••—4〃—8.

解得n=-2.•••函数y=2（x＜0）的图象经过点4（-4,9,

X

:.m=-An=8.

（2）由（1）得点C的坐标为C（4,2）.

①如图，当左＜0时，设直线y=Ax+b与x轴,

y轴的交点分别为点片,耳.

由C£)J_x轴于点。可得C£)〃。耳.

△&CDs〉4F]O.

.DCEg

VCR=2CE],

DC1

，西二§,

:.OFX=3DC=6.

...点《的坐标为耳（0,6）.

②如图，当女＞0时，设直线,=区+人与x轴，y轴的交点分别为

VCF2=2CE2,

：.E?为线段C区的中点，E2C^E2F2.

：.OF】=DC=2.

二点工的坐标为每（0,-2）.

综上所述，点F的坐标为耳（0,6）,7^（0,-2）.

点睛：本题考查了反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积公式等知识，解题的关键是会用方程的思想思

考问题，会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

22、见解析

【解题分析】

证明AFDE^AFBD即可解决问题.

【题目详解】

解：•••四边形ABCD是正方形，

/.BC=CD,且NBCE=NDCE,

又「CE是公共边，

/.△BEC^ADEC,

/.ZBEC=ZDEC.

,/CE=CD,

/.ZDEC=ZEDC.

VZBEC=ZDEC,ZBEC=ZAEF,

，ZEDC=ZAEF.

■:ZAEF+ZFED=ZEDC+ZECD,

ZFED=ZECD.

•••四边形ABCD是正方形，

,\ZECD=-ZBCD=45°,ZADB=-ZADC=45°,

22

/.ZECD=ZADB.

；.NFED=NADB.

又••