2024届广东省东莞市高三年级下册高考数学仿真模拟试卷（5月）含解析

2024届广东省东莞市高三下学期高考数学仿真模拟试卷

（5月）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.方程/--+丫-1=0的一个根是（）

A.-2iB.-1C.2D.-i

2WT

2.抛物线龙=即的焦点坐标是I2A则焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.2D.2

3.长方体力3。-48cA中，四边形为正方形，直线8。与直线4D所成角的正切

值为2,则直线用。与平面/BCD所成角的正切值为（）

2275

A.3B.5C.GD.5

4.某公司的员工中，有“％是行政人员，有35%是技术人员，有50%是研发人员，其中

60%的行政人员具有博士学历，40%的技术人员具有博士学历，80%的研发人员具有博士学

历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（）

2^24

A.5B.5C.9D.9

5.已知等差数列｛""｝的前"项和为S”，若5%-21=2,贝心/一2'=（）

126

A.4B.5C.5D.6

6.正三角形/8C所在的平面垂直于正三角形所在的平面，且B,C,。四点在半径

为右的球。的球面上，则CD的长为（）

A.5B.2亚c.4D.3也

7.把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1,4张写着2,1张写着3,把这

9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排

法的种数有（）

A.30B.27C.54D.45

M=max<467,6,.——>

8.已知正实数记〔Tab）,则M的最小值为（）

A.也B.2C.1D.^3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用/⑺表示从

开始，晶体管数量随时间，变化的函数，若/（0）=1000,则下面选项中，符合摩尔定律

公式的是（）

“、1…Iooo

/（。―1000+t

A.若，是以月为单位，则24

若/是以年为单位，则/⑺=1000x（历

B.

1g/⑺=3+5。

C.若，是以月为单位，则24

1g悖+1]

lg/（f）=3+^--二

D.若f是以年为单位，则2

10.08c的重心为点G,点。，尸是A/3C所在平面内两个不同的点，满足

OP=OA+OB+OC,则（）

A.3尸，G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.点尸在AM。的内部

/«=COS（0X+“0>0,S|<4=/（-x）,/W+/W=

11.己知函数I满足I2）0,且

pL,空］

在112'12J上单调递减，则（）

f-,0^1--

A.函数了=/（无）的图象关于点14J对称B.。可以等于4

C.。可以等于5D.。可以等于3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合--2,-1,0,1,2},集合8=国d<0},写出满足={0,1}的一个实数

a的值_____________.

13.已知函数必=如的图象与函数为=优（。>°且awl）的图象在公共点处有相同的切线，则

。=,切线方程为.

C：W+《=l（a>6>0）

14.己知椭圆«-b2的右焦点是尸，过点尸作直线/交椭圆于点N,B,过

点厂与直线/垂直的射线交椭圆于点尸，I5I,且三点4。,尸共线（其中。是坐标

原点），则椭圆的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

312

f（x）=ax——（3a+l）x+£R

15.已知函数2

⑴讨论函数“幻的单调性；

_2

（2）若函数〃x）的极小值为3,求实数。的取值集合.

16.已知四棱锥P_48CD中，底面48CD是矩形，AB=AP=2,BC=PC=6,

AB

(1)求证:平面P&C1平面ABCD.

(2)求二面角B-PA-D的余弦值.

17.一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：

当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移

动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该

点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次

棋子所在位置为该次的起点.

(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；

(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为-2的概率；

(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率.

,1

「22,I:y=mx-\——

18.已知双曲线°：、—V=1,直线加与双曲线C交于两个不同的点4,B,直线

1

y=­x

■机与直线/交于点P.

(1)求证：点尸是线段的中点；

(2)若点H8两点分别在双曲线两支上，求的面积的最小值(其中。是坐标原点).

19.已知数列."｝的各项是奇数，且“"是正整数〃的最大奇因数，

Sn=Q]+2++〃4+…+

(1)求。6，。2。的值；

⑵求5㈤㈤的值；

⑶求数列｛,"｝的通项公式.

1.D

【分析】因式分解后解方程可得.

【详解】原方程可化为（X-1）（/+1）=°,所以X=1或x=±i,

故选：D.

2.A

【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解.

a_1

【详解】由题意W一一5,。=-2,即抛物线标准方程为/=-2>,所以焦点到准线的距离为

2=1

2,

故选：A.

3.B

【分析】由异面直线所成的角求得长方体中棱的关系，再根据线面角定义计算.

【详解】长方体中，ADHBC,所以/8CG就是直线耳。与直线所成角，

tanZBCB,=毁=2BC=-BB,

因此2C,即2,

又由8片，平面ABCD知々QB是直线B.D与平面ABCD所成角，

,CiBB,BB.BB,275

tanZB.DB=—L=,'=,।----=」一

22

BDJCD+BC/71；5

731叫2+（5四）2

故选：B.

【分析】设事件N="选出的员工是行政人员"，3=“选出的员工是技术人员“，C=，，选出的

员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”，由全概率公式及条件概率公式分别求出

尸（切和尸（。8）,即可求解.

【详解】设事件/=”选出的员工是行政人员“，8="选出的员工是技术人员“，c=，，选出的

员工是研发人员“，。=”选出的员工具有博士学历”，

由题可知，P(/)=°15,P(B)=0.35,P(C)=0.5,0(。/)=0.6,P(D|B)=0.4?

尸(£>©=08

所以P(D)=P(D\A)P(A)+P(D\B)P⑵+P(D\C)P(C)

=0.15x0.6+0.35x0.4+0.5x0.8=0.63,

P(DB)P(DB))

P(03)=

P(B)0.35'P(。㈤=0.14

P(BD)0.142

P(B\D)=

所以P(D)063~9

故选：C.

5.B

【分析】根据等差数列通项公式和前“项和公式可解.

【详解】设等差数列｛""｝的公差为“,

则5%-2s$=5(〃]+4d)-2(5〃]+10<7)=-5%=2

2

u,——

所以5,

12

6a6—2s6=6(q+5d)—2(64+15d)=—6q=—6x

又5

故选：B

6.D

【分析】记的中点为尸，O8C和的重心分别为然后证明四边形

尸MON是正方形，再求其边长，即可得到CP=D尸=3,最后用勾股定理求解即可.

【详解】

如图，记NB的中点为尸，O8C和△/助的重心分别为”,N,则分别由。4=。=℃,

。/=。8=。£）可知0河垂直于平面48。，CW垂直于平面430.

从而由尸M和尸N分别在平面/8C和平面4BO内，知ONVPN_

而平面48c垂直于平面NBD,其交线为N5,在平面A8C内，PM1AB,故垂直于

平面/5。，再由尸N在平面43。内，知尸拉，RV.

PM=-CP=—AP=-DP=PN

所以四边形P"°N是矩形，而333,故四边形尸必加是正方形.

设正方形尸'ON的边长为。，则M0=a,CM=2MP=2a,同时，由已知条件得℃=石.

由勾股定理有的2+6/=。。2,故/+（2。）2=小上解得。=1.

最后，由于,_LPN,CP=3PM=3a=3,DP=3PN=3a=3,故

CD£cP、Dp2=g=3亚,D选项正确.

故选：D.

7.D

【分析】从写有数字3的卡片，开始考虑，分3所在的行要么由2个1,要么没有1,有5

种排法，由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.

【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数，

所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数，

首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片，

3所在的行要么有2个1,要么没有1,

当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法，

当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1,一行1个1,

于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法，

由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法.

故选：D

8.A

12aH—b

i、，17

M>2a+—bMN—j=M9>—-

【分析】由已知得出2，结合J仍得出Tab，根据基本不等式即可

求解.

M=max<4a,b,—^>M>4a,M>b,M>—^=

【详解】由14处）得,Zb,

M>2a-st--b

所以2MN4a+b,即2,

i2QH—b

M>-j=M1>―

因为<ab,所以sjab,

2a+—b>2.2ax—b=2y/ab2a=—b

因为2\2,当且仅当2时等号成立，

M2>—/22=2M=4a,M=b,M=—j=

所以labYab,M42,当且仅当Nab,即

a=^-,b=>/2

4时，等号成立，

故选：A.

,,八M>2a+—br—

【点睛】关键点睛：当。>b>0n，c>d>0时，有ac>bd；即2且lab,两式相

乘，进而得出最小值.

9.BC

【分析】对AC,计算〃24)J(48)J(72),满足"24)=2/(0)J(48)=2/(24),

“24")=1000x2",”N*,可确定，对CD,计算〃2)J(4),〃6),满足

/(2)=2/(0),/(4)=2/(2)；/(2n)=1000x2\„eN*,可确定.

【详解】选项A,”24)=2000=2/(0),/(48)=30002/(24)(A不符合;

选项B,/⑵=2000=2/(0),44)=4000=2/(2),/(2«)=1000x2"；„eN*,符合；

lgfQ)=3+丝t3+想,1_

选项C,24,则/(。=1024=iooox2汽/(24)=2xl000；

/(48)=4000=2/(24),/(24«)=1000x2"；„eN*；符合，

lgQZ+1)31

电/⑺=3+)y(/)=iooox(4/+i)2

选项D,22

/(2)=2xl000=/(0)；〃4)=1000x7272/(2),不符合.

故选：BC.

10.AC

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP^OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GCf

因为点G为"BC的重心,

所以田+砺+岳=0,所以。尸=3OG,

所以。，尸,G三点共线，故A正确，B错误；

^+^+~^=AO+OP+Bd+OP+cd+OP

=（Ad+BO+Cd）+3OP

因为OP=04+05+OC,

所以（同+诙+））+3而=-丽+3万=2丽，gp2OP=AP+BP+CPf故C正确；

因为。P=3OG,

所以点尸的位置随着点°位置的变化而变化，故点尸不一定在的内部，故D错误；

故选：AC.

11.ABD

x=_工f—,0^1

【分析】根据题意，可得函数了二/立）的图象关于"--a对称，关于点（4,j对称，由三角

=+四

函数的对称性性质可得从而判断选项A、B；再根据函数的单调性，可求出。的值,

从而判定选项C、D.

_71

所以函数＞=/（*）的图象关于'对称,

717171571A71

--＜一＜一＜-J0

又126312,且16

即函数＞=/（、）的图象关于点对称,故A正确;

71

_~—CO+(P=k,Tl,k,GZ

根据函数＞=/（x）的图象关于、=一.对称,得4W''

71兀77r

对称，_CD(D-.......FK2QTI,2wZ

根据函数了=〃x）的图象关于点j。4*2

兀(k2-k./、

夕=彳+---2-----,0=1+2(&-砧

可得,

\(p\<—cp=±—

由于2,所以4,故B正确;

兀715Kcon兀71Scon71

当(WD=—4时，由—12<X<1—2,得——12+—4<〃/¥+—4<-1--2-----+—4,

根据函数〉=/a)在

am兀…

-----F—>2/CJI

；124

50)71兀…924

-------F—〈兀+2左兀24k-3<a)<-+—k

可得I124,即55

9

左=0,0<)

a<—又0=1+2佬-左），所以0=1,

又0>°,所以5,

°_兀兀5兀am.兀7iScoTt兀

,夕=一:—<^<—------<COX——<------------

当4时，由1212,得1244124,

根据函数》=/a)在

密-52E

5(071712

兀+2/C7124

~n----424k+3<a)<3+—k

可得4即5

又0>°,所以％=°，°=3,故c错误，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据函数尸〃x）的图象关于"F寸称，得一7"O=4兀油段

（色。］71_71,,

根据函数”“X）的图象关于点14'J对称，5+心兀，2K从而

12.1（答案不唯一）

［分析］由已知得出{0，1}15,设|>）=__彳_巴结合图象列出不等式组求解即可.

【详解】因为“口8={0,1},所以{0,1}底巴

设〃x）=x2-x-a,则"x）<°的整数解为04，

y

-1\O\1/2

则/(0)<0,/(l)<0,/(—1)NO且42)之0,解得052,

故答案为：1.

13e2eA：-2y[ey+e=0

【分析】设公共点为即可得到*=总，再由导数的几何意义得到

1-1

__2—Q

2°,从而求出修,即可求出切点坐标，从而求出。，再求出切线方程.

'\_

卜0=总11

【详解】设公共点为(%/。)&>°),则[％=*,即*=忑，所以

I1.

lna=----Inx

所以2Xq0,

,1--,1-1

由M=5：%'=a，lna,所以,建。=于°；"」=*山一

1_11-111

_X2=Q"。]nQ_%02—XQ•InXQ

又在公共点处有相同的切线，所以2°，即22%,所以lnx0=l,则

%=e,%=e2,

1111।1

lna=----lnx0=—Ine=—

贝U2x02e2e

1i_1

]-y—g2_e2(%—e)I-

则。=”，所以切线方程为,一2，,即x-2jey+e=0.

故答案为：e汽x-2^y+e=0

14.3##3

【分析】先证明四边形/尸尸尸是矩形，然后利用已知条件求出A/B'B三边的比例，再利用椭

圆的定义求出S和M与a的关系式，最后利用+叫、\F,F^=4c2即得离心率.

【详解】设椭圆的左焦点为广.由于40，P三点共线，故由椭圆的对称性知依4引°尸I,而

\OF\=\OF'\,故四边形/尸尸尸是平行四边形.

又因为EP1E4,,故四边形/FPF是矩形.

\AF'\\PF5

由于四边形ZFPP是矩形，故MH\AB12,

阿1=>4+IX=府呵+1时=小物

从而可设WU勺朋=叫阿［=13仆此时

30k=\AF'\+\AB\+师［=\AF'\+\AF\+忸尸I+\BF'\=2a+2a=4a

k=-aIT4F1-5k=—a\AF\=2a-\AFr\=2a--a=—a

这得到15,所以।3,111133

2

2

fa|=(2c)2—a2=4c2c_5

MT+〃|2=M得到1，即9

最后由,故7一3

从而椭圆的禺心率3

V5

故答案为：3

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究A”尸3的三边,

从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算.

15.(1)答案见解析

,171、

e{——,—

(2)a3312’

【分析】(1)对函数求导，根据。的不同范围，分别求出函数的单调性;

(2)结合(1),由。的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可.

［详解］(I)/'00=3"2-(3a+l)x+l=(3ax-l)(x-l),

①当a=0时，令/''(x)=-(x-1)=0,x=］,

当xe(-e,l)时，“X)单调递增，

当xe(l,+oo)时，f'(x)<0；/(x)单调递减;

②当4<0时，令/'0)=(3办-1)0-1)=0,解得x=l或3a<,

/1、

X£(—00,1)

当3a和。，+8)时，/V)<0；/(x)单调递减；

当3a时，/(x)>0,/(x)单调递增；

③当。>0时,令八X)=(3OA1)(X-1)=0,解得X=1或*=而>°,

1,1

—<1a>—

i)当九时，即3时，

当X，，3a和(1，+8)时，f\x)>0；/(x)单调递增；

当3a时，/(x)<0,/(x)单调递减；

1,1

—>10n<。—

ii)当3。时，即3时，

J+8)

当—e,l)和后，+叼时,f(x)>09/(%)单调递增;

“1、

x£(1，—)、八

当3a时，/«<0,"%)单调递减；

111

---1CL——

iii)当3。时，即3时，r(x)>0；/㈤在R上单调递增；

J_)1

综上所述，当a<°时，“X)在j3a和(1,+对单调递减，/(x)在(亮/)单调递增;

当〃=0时，/(x)在(一叫1)单调递增，/⑴在(L+00)单调递减;

当3时，/(X)在R上单调递增；

111

a>—(—00,——)(1n

当3时，/㈤在3a和(1,+刈单调递增，/⑴在'a'1单调递减；

A111

U<a<一(—+oo))

当3时，/(X)在(-8,1)和%'时单调递增；/⑴在I'五，单调递减.

1

a=一

(2)①当3时，/⑴在R上单调递增，无极值；

，1、1

(—00------)(

②当时，/(X)在3a和(1,+8)单调递减，/(X)在％/1单调递增；

ft-)

所以"X)的极小值为3/,

/(—)=a(—)3--(3a+1)(—)2+—

故3a3a23a3a3

(--12)(-!-+3)=011

a=­a

化简得,aa解得3或12(舍去);

a＞一（—8,—）、（—，1）

③当3时，“X）在3a和工+⑹单调递增，"X）在3a单调递减,

所以"X）的极小值为了⑴，

12_7

/(l)=a--(3a+l)+l=--解得“一符合题意;

故23,

④当。＜3时，/a）在（-001）和（京"00）时单调递增；/⑴在"五）单调递减,

/（—）

所以"X）得极小值为3a,

/（J-）=-1（3a+1）（X）2+±=_Za=—a=~-

故3a3a23a3a3,解得12或3（舍去）.

.171,

故实数3312；,

16.（1）证明见解析;

2A/70

⑵35

【分析】（1）作WNC于H,连接8",证明由余弦定理求得尸5,证得

PH1BH,从而可得平面NBC。，从而可得证面面垂直；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

「cosZPCB=-

【详解】⑴因为/8=/P=2,BC=PC=V^,3,

22

PB=yjPC+BC-2PC-BCcosZPCB=A（2+2-2x72x72x1二

V33

作于H,连接

由已知=4B,CP=CB,AC=AC得/\PAC三^BAC,

因此△尸）。绕力。旋转后点尸可与点6重合，因此由叨，4。得PH=BH,

由已知=",所以4尸+Cp2=NC2,从而/p,cp,

BH=PH=2=Wi

所以屈3,仄而有BH'+PH=PB）所以PHLBH,

又BHC]AC=H,平面48CZ）,所以PH_L平面48CD,

又因为PHu平面尸/C,所以平面尸NCL平面/BCD；

（2）过万作于M,作HN工BC于N,

CH=^PC2-PH2=（2--=—

由（1）得v33,

由//2V_L3C,AB1BC^HN//AB,所以ACHNSCAB,

四="HN=^^=r=2HMW

所以ABC4,所以CAJ63,同理3,

y/24

因此打到边CD的距离为3,H到边/。的距离为3,

以D/为x轴，°C为y轴，过。与直线产目平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

V|42>/3

（，，-

则，（五,0,0）,2（夜,2,0）,D（0,0,0）tT3T

方二（后,0,0）,荔=（0,2,0）,AP=（~~，3，^

设平面PAD的一个法向量是加=a,均），

\-732及42A/3八

m-AP=------再+一必-----4=0

3331m=（0,-^-,1）

m-DA=也X[=0,取句得一

则=123

设平面PN8的一个法向量是"=（超，%/2）,

方力一干一1+可…

63=（四,0,述）

取％3得一

则m-AB=2歹2=013J

一一m-n0+0+—2770

cosm,n=~LT

同同35

2770

由图知二面角8-是钝二面角，所以其余弦值为一^^

17.⑴分布列见解析，E（X）=0

⑵9

4

（3）9

【分析】（1）由题目分析即可得出分布列，再用数学期望公式计算即可；

（2）分析出所有满足投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的所有情况，即可求出概率；

（3）先求出投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数且棋子的坐标为正的概率及掷两次点数

和为奇数的概率，根据条件概率公式计算即可.

【详解】（1）设X为投掷骰子一次棋子的坐标，由题可知万=-4,-2,0,1,2,3,且概率都相同

为不,

分布列如下：

X-4-20123

]_1111j_

P

666666

£（X）=-X（-4-2+1+2+3）=0

6.

（2）投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的情况有：

①第一次坐标为-4（点数为5）,第二次向右2个单位（点数为4）；

②第一次坐标为-2（点数为3）,第二次不动（点数为1）；

③第一次坐标为0（点数为1）,第二次向左2个单位（点数为3）；

④第一次坐标为2（点数为4）,第二次向左4个单位（点数为5）；

P=—x4=一

故投掷骰子两次，棋子的坐标为-2的概率为369.

（3）设事件/="掷两次点数和为奇数”，3="投掷股子两次棋子的坐标为正”,

由题可知，362,

投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数，且棋子的坐标为正的点数情况有：

P（AB）=-x8=-

6和1,6和3,4和1,1和2,共8种情况，故369,

2

尸⑷/）=还=?=3

P（A）19

则在所掷两次点数和为奇数的条件下，棋子的坐标为正的概率2

18.（1）证明见详解

⑵2石

1

y——X

【分析】（1）联立方程组双曲线与直线利用韦达定理求中点坐标，再求直线加与直

线/交于点P,即可证明；

（2）根据弦长公式和三角形面积公式，结合函数性质求最值.

【详解】⑴设"（％，%）产（无2，%）,

1

y=mx-\—

mz71

22_]（1-m-2x-----z--l=O

联立X7=1,消去V得l尸m

由于直线/与双曲线C交于两个不同的点，所以1-

/1、4（l-m4+m2）

A=4+4（l—加2]—+1=△——------^>0

'）m

-A-i

22

0<m<]+&mw1,2m

…=5X\X2=

得2,且1-m2

玉+x]乂+%11

2=mx--------H——=

l-m2,21-mm

于是

1]

1—m2（1—m2

即线段的中点为卜I））

11

11x=；~T，蚱

y=mx-\——y=—x,1-m

联立机与m得

C\

1_______]

P

[一加2（1—初2）冽

即点因此点尸是线段的中点.

（2）若点45两点分别在双曲线两支上,

所以

IAB\=J1+冽2,-X2|=Jl+-2+4)2_4中2=J1+冽2\\—^-7j-4•—―—―

、