统计（八大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第01讲统计

目录

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考点要求考题统计考情分析

(1)会用简单随机抽样的方法从总体中抽取统计学是“大数据”技术的关键，在

样本，了解分层随机抽样.互联网时代具有强大的社会价值和经

2023年上海卷第14题，4分

(2)理解统计图表的含义.济价值，在高考中受重视程度越来越

2023年上海卷第9题，5分

(3)会用统计图表对总体进行估计，会求n大，未来在考试中的出题角度会更加

2023年/卷第9题，5分

个数据的第p百分位数.与实际生活紧密联系，背景新颖、形

2022年甲卷(文)第2题，5分

(4)能用数字特征估计总体集中趋势和总体式多样.

离散程度.

统计

知识点一、抽样

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1、抽样调查

(1)总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体.

(2)个体：构成总体的每一个元素叫做个体.

(3)样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样

本中个体的数目叫做样本容量.

2、简单随机抽样

(1)定义

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本(“WN),如果每次抽

取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫

做简单随机样本.

(2)两种常用的简单随机抽样方法

①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器

中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取〃次，就得到一个容量为〃的样本.

②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.这里仅介绍随机数表法.随

机数表由数字0,1,2,…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的.

注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置.

(3)抽签法与随机数法的适用情况

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量

很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.

(4)简单随机抽样的特征

①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平.

只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.

3、分层抽样

(1)定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的

个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.

(2)分层抽样问题类型及解题思路

①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.

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样本容量各层样本数量

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=黠蠢=薮卷募詈”

注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取“=”（1=1,2,，左）个个体

（其中i是层数，"是抽取的样本容量，M是第i层中个体的个数，N是总体容量）.

知识点二、用样本估计总体

1、频率分布直方图

（1）频率、频数、样本容量的计算方法

①频^言率X组距=频率.

频数频数

②.康善基=频率,莪=样本容量，样本容量X频率=频数•

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.

2、频率分布直方图中数字特征的计算

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为无，利用x左（右）侧矩形面积之

和等于0.5,即可求出尤.

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形

底边中点的横坐标之和，即有X=匕P1+X]P|++Xnpn,其中X,为每个小长方形底边的中点，。,为每个小

长方形的面积.

3、百分位数

（1）定义

一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至

少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组〃个数据的的第0百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=“xp%.

③若，不是整数而大于i的比邻整数则第p百分位数为第，项数据；若i是整数，则第p百分位数为

第i项与第i+1项数据的平均数.

（3）四分位数

我们之前学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有

第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位

数.

4、样本的数字特征

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(1)众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平.

②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平

均数)叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平.

③平均数："个样本数据下,马，…,％的平均数为：=♦+%…,反应一组数据的平均水平，公式

n

变形：^ixi=nx.

Z=1

5、标准差和方差

(1)定义

①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.假设样本数据是%…，为，

X表示这组数据的平均数，则标准差5=4[(石-幻2+(%2-幻2+…+(%〃-%)2].

②方差：方差就是标准差的平方，即52」[(石＜)2+原24)2+...+(%—届2].显然，在刻画样本数据

n

的分散程度上，方差与标准差是一样的.在解决实际问题时，多采用标准差.

(2)数据特征

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准差、方差越大，则数据的离散程度越

大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小.

(3)平均数、方差的性质

如果数据布孙……，斗的平均数为"方差为果,那么

①一组新数据X]+b,x2+b,……xn+8的平均数为x+万，方差是s?.

②一组新数据叫,但，，叱，的平均数为ax,方差是/s?.

③一组新数据“+b,ax2+b,...,axn+b的平均数为ax+6,方差是a2s?.

.提升•必考题型归纳

题型一：随机抽样、分层抽样

例L(2023•全国•高三专题练习)某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件

进行检验，对这500件产品进行编号001,002,500,从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，

每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为()

283931258395952472328995

721628843660107343667575

943661184479514096949592

601749514068751632414782

A.447B.366C.140D.118

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【答案】A

【解析】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得：366,010,118,447,...

故选：A.

例2.（2023•河南•校联考模拟预测）已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外

书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查.将46名学生按01,02,46

进行编号.现提供随机数表的第7行至第9行：

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个

样本编号是（）

A.07B.12C.39D.44

【答案】D

【解析】由题意可知得到的样本编号依次为12,06,01,16,19,10,07,44,39,38,则得到的第8个

样本编号是44.

故选：D.

例3.（2023-全国•高三专题练习）现要完成下列2项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；

②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学

校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.

较为合理的抽样方法是（）

A.①抽签法，②分层随机抽样B.①随机数法，②分层随机抽样

C.①随机数法，②抽签法D.①抽签法，②随机数法

【答案】A

【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样.

故选：A.

变式1.（2023•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）在二战期间，技术先进的德国坦克使

德军占据了战场主动权，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义，盟军请统计学家参与

情报的收集和分析工作.在缴获的德军坦克上发现每辆坦克都有独一无二的发动机序列号，前6位表示生

产的年月，最后4位是按生产顺序开始的连续编号.统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本

估计总体的方法推断德军每月生产的坦克数.假设德军某月生产的坦克总数为M缴获的该月生产的〃辆坦

克编号从小到大为毛，巧，L,相，缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，缴获坦克的编号不，巧,

L,尤“，相当于从［1,N］中随机抽取的，个整数，这〃个数将区间［0,N］分成5+1）个小区间（如图）.可以

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用前“个区间的平均长度%估计所有（〃+1）个区间的平均长度占，进而得到N的估计.如果缴获的坦克

编号为：35,67,90,127,185,245,287.则可以估计德军每月生产的坦克数为（）

QX1%2,••XnNX

A.288B.308C.328D.348

【答案】c

【解析】等=］N，解得N=328.可以估计德军每月生产的坦克数大约是328.

故选：C.

变式2.（2023•江苏•高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）为了庆祝中国共产党第二十次全国代表

大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126

人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（）

A.36B.42C.50D.54

【答案】D

【解析】根据分层抽样的方法，抽样比为......-......=—，

1002+1002+1503167

高三年级被抽取的人数为1503=54人.

故选：D.

变式3.（2023•北京•高三强基计划）某校共2017名学生，其中每名学生至少要选A,B两门课中的一门，

也有些学生选了两门课.已知选A的人数占全校人数的百分比在70%到75%之间，选2的人数占全校人数

的百分比在40%到45%之间.则下列结论中正确的是（）

A.同时选A,B的可能有200人B.同时选A,2的可能有300人

C.同时选A,B的可能有400人D.同时选A,B的可能有500人

【答案】BC

【解析】根据题意，同时选4,8的人数在10%到20%之间，换算成人数为202到403之间，

因此符合题意的选项有B,C.

故选：BC.

变式4.（2023•河南•襄城高中校联考三模）现有300名老年人，500名中年人，400名青年人，从中按比

例用分层随机抽样的方法抽取“人，若抽取的老年人与青年人共21名，则〃的值为（）

A.15B.30C.32D.36

【答案】D

21

【解析】由题可知n益=芸，解得〃=36.

IN/UU/UU

故选：D.

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【解题方法总结】

不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

题型二：统计图表

例4.（多选题）（2023•河北石家庄•高三校联考期中）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的

比重，它在一定程度上可以用来反映人民生活水平.恩格尔系数的一般规律：收入越低的家庭，恩格尔系

数就越大；收入越高的家庭，恩格尔系数就越小.国际上一般认为，当恩格尔系数大于0.6时，居民生活处

于贫困状态;在0.5-0.6之间，居民生活水平处于温饱状态;在040.5之间，居民生活水平达到小康;在0.3-0.4

之间，居民生活水平处于富裕状态；当小于0.3时，居民生活达到富有.下面是某地区2022年两个统计图，

它们分别为城乡居民恩格尔系数统计图和城乡居民家庭人均可支配收入统计图，请你依据统计图进行分析

判断，下列结论错误的是（）

城乡居民恩格尔系数（％）

口城镇居民口农村居民

图1

城乡居民家庭人均可支配收人（元）

140000

120000

8326284793

100000

7735279^328103A.

80000

60000

40082407884175042202____.

40000

43878

20000

20172018201920202021

农村居民城镇居民

图2

A.农村居民自2017年到2021年，居民生活均达到富有

B.近五年城乡居民家庭人均可支配收入差异最大的年份是2020年

C.城乡居民恩格尔系数差异最小的年份是2019年

D.2022年该地区城镇居民和农村居民的生活水平已经全部处于富有状态

【答案】ABD

【解析】对于A项，由图1可知2021年农村居民的恩格尔系数为0.316,居民生活水平处于富裕状态，故

A项错误；

对于B项,根据图2计算出的2017至2021年近五年城乡居民家庭人均可支配收入差分别为37270元,38344

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元，39285元，40360元，40915元，

差异最大的年份是2021年，故B项错误；

对于C项，根据图1计算出的2017至2021年近五年城乡居民恩格尔系数差（％）分别为5.6,4.3,3.9,

4.3,5.5,

差异最小的年份是2019年，故C项正确；

对于D项，根据给出的数据不足以判断是否正确，故D项错误.

故选：ABD.

例5.（多选题）（2023•河北唐山•迁西县第一中学校考二模）2022年的夏季，全国多地迎来罕见极端高

温天气.某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图

表，则根据图表，下列判断正确的是（）

〜--最高气温最低气温

1叫，V，5%彳4410111’21’31’4151’61’71’81’9204期

A.七月份前20天最低气温的中位数低于25℃

B.七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差

C.七月份前20天最高气温的平均数高于40℃

D.七月份前10天（1—10H）最高气温的方差大于最低气温的方差

【答案】BD

【解析】七月份前20天中，最低气温低于25℃的天数不超过9天，故中位数不可能低于25℃,故A错误；

最高气温的最大值大于40℃,最小值低于35℃,而最低气温的最大值小于30℃,最小值接近25℃,

故最高气温的极差大于最低气温的极差，故B正确；

最高气温超过40℃的天数不超过5天，且最大值不超过45℃,故平均数不可能高于40℃,故C错误；

前10天中，最低气温的分布更集中，故最高气温的方差大于最低气温的方差，故D正确.

故选：BD

例6.（多选题）（2023•山西忻州•高三校联考开学考试）航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少

年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类

船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学

生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽

取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三

年级学生有32人，则下列说法正确的是（）

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A.该校高一学生人数是2000

B.样本中高二学生人数是28

C.样本中高三学生人数比高一学生人数多12

D.该校学生总人数是8000

【答案】BC

【解析】由图可知高三年级学生人数占总人数的40%,抽取的样本中高三年级学生有32人，

则抽取的学生总人数为高327=80,

40%

则样本中高一学生人数为80x（1-40%-35%）=20,样本中高二学生人数为80x35%=28,

从而样本中高三学生人数比高一学生人数多32-20=12.

因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80,但抽取的比例不知道，

所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，

所以AD错误，BC正确，

故选：BC.

变式5.（多选题）（2023•湖南株洲•高三校考阶段练习）某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单

位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）

注：同比增长率=（今年月销售额一去年同期月销售额）+去年同期月销售额xlOO%.

B.2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8

C.2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D.2022年5月的月销售额为10万元

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【答案】ACD

【解析】对于A,2023年1月至6月的月销售额的最大值是14,最小值是6,极差为8,故A正确；

对于B,六个数从小到大排列为6,7,8,11,12,14,因为6x60%=3.6,所以2023年1月至6月的月销售额的

第60百分位数为第四个数11,故B错误；

对于C,2023年1月至6月的月销售额的中位数为因一=9.5,故C正确；

]1_T

对于D,设2022年5月的月销售额为x万元，则----x100%=10%,解得x=10,故D正确.

故选：ACD.

变式6.（多选题）（2023•广东梅州•统考三模）某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了

产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的

各产业利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（）

A.调整后传媒的利润增量小于杂志

B.调整后房地产的利润有所下降

C.调整后试卷的利润增加不到一倍

D.调整后图书的利润增长了一倍以上

【答案】ABC

【解析】设调整前的各产业利润的总和为。，则调整后的各产业利润的总和为2a.

对于选项A,调整前传媒的利润为Qla,杂志的利润为0.05a,

调整后传媒的利润为0.24。,杂志的利润为0.16a,

则调整后传媒的利润增量为0.14a,杂志的利润增量为O.Ua,故选项A不正确；

对于选项B,调整前房地产的利润为0.45〃，调整后房地产的利润为0.5a,故选项B不正确；

对于选项C,调整前试卷的利润为0.15a,调整后试卷的利润为0.46a,且2投＞3,故选项C不正确；

对于选项D,调整前图书的利润为0.25a,调整后图书的利润为0.64a,且竺学＞2,故选项D正确.

0.25a

故选：ABC.

变式7.（多选题）（2023•福建福州•福州三中校考模拟预测）某调查机构对我国若干大型科技公司进行调

查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布

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雷达图，则下列说法中一定正确的是（）

90后从事芯片、软件芯片、软件行业

行业岗位的分布从业者年龄分布

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%

B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%

C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

【答案】ABD

【解析】A选项，从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例为55%,超过50%

A正确;

B选项，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后，人数比例为55%x（37%+13%）=27.5%,超过总人

数的25%,B正确；

C选项，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%x37%=20.35%,

芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%,但不知道从事技术岗位的比例，故无法确定两者人数的

多少，C错误；

D选项，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%xl4%=7.7%,“80前”占总人数的5%,

故D正确.

故选：ABD

变式8.（多选题）（2023•河北•统考模拟预测）某地环保部门公布了该地A8两个景区2016年至2022

年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的散点图，则由该图得出的下列结

论中正确的是（）

,天数

320

300•313-301

280▲293280A283*293

260“A262A266A262

A

740•254*254255

^Z!\j

217.203

2UU!>•

。2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年年份

•景区A▲景区B

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A.景区A这7年的空气质量优良天数的中位数为254

B.景区8这7年的空气质量优良天数的第80百分位数为280

C.这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大

D.这7年景区A的空气质量优良天数的平均数比景区B的空气质量优良天数的平均数大

【答案】AC

【解析】由图可得：景区A这7年的空气质量优良天数排序得：203,217,254,254,293,301,313；

景区2这7年的空气质量优良天数排序得：255,262,262,266,280,283,293；

对于选项A：景区A这7年的空气质量优良天数的中位数为254,故A正确；

对于选项B：因为7xQ8=5.6,则第80百分位数为第6个数，为283,故B错误；

对于选项C：由图可知:景区A的空气质量优良天数的数据波动比景区B的空气质量优良天数的数据波动大,

所以景区A的空气质量优良天数的标准差比景区8的空气质量优良天数的标准差大，故C正确；

203+217+254+254+293+301+3131835

对于选项D：景区A的空气质量优良天数的平均值超=

255+262+262+266+280+283+2931901

景区B的空气质量优良天数的平均值无乙=

所以这7年景区A的空气质量优良天数的平均数比景区3的空气质量优良天数的平均数小，故D错误；

故选：AC.

【解题方法总结】

统计图表的主要应用

扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；

折线图：描述数据随时间的变化趋势；

条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.

题型三：频率分布直方图

例7.（2023•四川成都•高三成都校考阶段练习）某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况,

在全区高二学生中随机抽取了1。00名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分

布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为.

频率

砺

Ov5060708090100分数

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【答案】80.5

【解析】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1,

可得（0.005+0+0.02x2+0.04）x10=1,解得“=0。15,

由频率分布直方图可知，这1000名学生平均成绩的估计值为

55x0.05+65x0.15+75x0.2+85x0.4+95x0.2=80.5^.

故答案为：80.5.

例8.（2023•云南•统考二模）某大学有男生2000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校

100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg）分成以下六组：［54,58）、［58,62）、［62,66）、［66,70）、

［70,74）、［74,78］,绘制成如下的频率分布直方图：

祷懦

D.09..................1—

D.07............r—

D.04............1-----------

0.02------「卜------I

D.01........，・・・・<-「

（）54586266707478（kg）

该校体重（单位：kg）在区间［70,78］上的男生大约有人.

【答案】240

【解析】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：kg）在区间［70,78］上的男生的人数为

2000x（0.02+0.01）x4=240.

故答案为：240.

例9.（2023•全国•高三专题练习）2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二

十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，某校由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，

先对其得分情况进行了统计，按照［50,60）、［60,70）.........［90,100］分成5组，并绘制了如图所示的频率分

布直方图，则图中了=.

【答案】0.020

第14页共43页

【解析】由频率分布直方图的性质可得(0.005+x+0.035+0.030+0.010)xl0=l,

x=0.020,

故答案为：0.020

变式9.(2023•上海浦东新•高三上海市建平中学校考开学考试)从某小学所有学生中随机抽取100名学

生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图),其中样本数据分组[100,110),[110,120),

[120,130),[130,140),[140,150),若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150)三组内的学生中，用分层

抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高在口30,140)内的学生中抽取的人数应为.

【解析】依题意(0.005+0.010+a+0.030+0.035)xl0=l,解得。=0.020,

所以[120,130),[130,140),[140,150)三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,

09

所以从身高在[130,140)内的学生中抽取的人数应为1=4人.

故答案为：4

变式10.(2023•上海普陀•高三曹杨二中校考阶段练习)某校调查了200名学生每周的自习时间(单位：

小时)，制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小

【解析】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:

l-(0.02+0.10)x2.5=0.7,

第15页共43页

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：200x0.7=140,

故答案为：140.

变式11.（2023•内蒙古呼伦贝尔•高三海拉尔第一中学校考阶段练习）某蔬菜批发市场销售某种蔬菜.在

一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜在

过去的100个销售周期内的市场需求量所得频率分布直方图如下：

（1）求图中a的值并求100个销售周期的平均市场需求量；

（2）若经销商在下一个销售周期购入190吨该蔬菜，设了为销售周期所得利润（单位：元），x为该销售周期

的市场需求量（单位：吨），求X，，的函数关系式，并估计销售的利润不少于86000元的概率.

【解析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1得：10x（«+0.024+0.028+0.022+0.012+0.004）=1,

解得a=0.010,

由图知100个销售周期的平均市场需求量为10x0.010x155+10x0.024x165

+10x0.028x175+10x0.022x185+10x0.012x195+10x0.004x205=176.4；

（2）由题意，当兀之190时，y=500x190=95000,

当xvl90时，j；=500x-（190-x）-（-100）=600x-19000,

「95000,xN190

所以丁=〈,xeN,

[600x-19000,x<190

设销售的利润不少于86000元的事件为A,当％N190时，y=95000>86000,

当xvl90时，y=600x-19000>86000,所以175Wx<190,贝1x2175,

所以P（A）=P（尤2175）=；xl0x0.028+10x0.022+10x0.012+10x0.004=0.52.

【解题方法总结】

（1）利用频率分布直方图求频率、频数；

（2）利用频率分布直方图估计总体.

（3）频率分布直方图的纵坐标是-，而不是频率.

题型四：百分位数

例10.（2023•上海•高三专题练习）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低

到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的第80百分位数是.

第16页共43页

【答案】90.5

【解析】因为15x8O%=12,

故这15人成绩的第80百分位数为1―=90.5,

故答案为：90.5

例11.（2023•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）某校为了了解高三年级学生的身体素质状

况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体

能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在

[90,100]这一组中的纵坐标为。，则该次体能测试成绩的80%分位数约为分.

频率

组距

0.035

a

0.020

0.014

OS..004

.0002405060708090100分数

【答案】92

【解析】由频率分布直方图知0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075,

由10x（0.075+4）=1得：a=0.025.

因为0.02+0.04+0.14+0.2+0.35=0.75,

所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[90,100]内，设其为x,

贝U由（x—90）x0.025=0.05,解得x=92.

故答案为：92.

例12.（2023•安徽•校联考二模）国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩、喜迎二十大”为主题的青少年学

生演讲比赛，其中10人比赛的成绩从低到高依次为：85,86,88,88,89,90,92,93,94,98（单位:

分），则这10人成绩的第75百分位数是.

【答案】93

【解析】因为10x75%=7.5,根据第P百位数的含义知，应该选取第8个数作为第75百分位数，所以这10

人成绩的第75百分位数是93.

故答案为：93.

变式12.（2023•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第四中学校校考期末）已知一组数据：24,30,40,44,48,

52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为.

【答案】36

第17页共43页

【解析】因为6x30%=1.8,故这组数据的第30百分位数为30,

因为6x50%=3,所以第50百分位数为丝1岁=42,

所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为史|丝=36,

故答案为：36.

变式13.（2023•全国•高三专题练习）为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长

（单位：分钟），分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差

为3,贝ijx=（）

A.58或64B.59或64C.58D.59

【答案】A

【解析】将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79.

若x<57,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,他们的差为4,不符合条件；

若％279,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,它们的差为18,不符合条件；

若57Vx<79,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x）,贝张-61|=3,

解得x=58或x=64

故选：A

【解题方法总结】

计算一组〃个数据的的第p百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=wxp%.

③若，不是整数而大于，的比邻整数j,则第p百分位数为第，项数据；若i是整数，则第p百分位数为

第i项与第i+1项数据的平均数.

题型五：样本的数字特征

例13.（多选题）（2023•广东惠州•高三统考阶段练习）有一组样本数据：王,三,,飞，其平均数为2,由

这组样本数据得到新样本数据：%,鼻,2,那么这两组样本数据一定有相同的（）

A.平均数B.中位数C.方差D.极差

【答案】AD

【解析】对A,由题意得尤i+%++-^8=2x8=16,

则新的平均数5=占+*2+9+/+2=等=2,故A与原本相同；

对B,举例一组数据：1,1,1,124,2.6,3,4.满足平均数为2,原中位数为上1+尸24=1.7,

增加一个数据2后中位数变成了凌=1.5,故B错误；

第18页共43页

对c,举例一组数据为1,2,2,222,2,3,其方差为。-2）+6x（2-2）+（32）=,

84

增加一个数据2后根据A中结论知平均数不变，则方差变为。―2『+7x（2―2y+（3_2）2=2,故c错误;

99

对D,根据平均数的概念知（不人”公（阴厘，当所有数据均相等时，取等；则增加一个数据2,极差不变，

故D正确.

故选：AD.

例14.（多选题）（2023•吉林•高一榆树市实验高级中学校校联考期末）已知数据1：为，巧，L,xn,

数据2：2^-1,2%-1,L,2%-1,则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（）

A.平均数B.极差C.中位数D.标准差

【答案】AC

【解析】设数据1：4，巧，L,X”的均值为标准差为S,中位数为乙极差为Rn/ax-X.

则数据2：2玉-1,2X2-1,L,2xn-l,的均值为2；-1,故A错误，

数据2：2%-1,2X2-1,L,2xn-l,的标准差为无=2s，故B正确；

数据2：2七一1,2々-1,L,2xn-l,的中位数为2f-l,故C错误；

极差为（2%T）=2（%-%,）=2R,故D正确；

故选：AC.

例15.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测）“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！

创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利

用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确

的为（）

甲、乙志愿者宣传次数的频数分布折线图

A.甲的众数小于乙的众数B.乙的极差小于甲的极差

C.甲的方差大于乙的方差D.乙的平均数大于甲的平均数

【答案】D

【解析】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4,5,6,3,4,3,3,

第19页共43页

乙志愿者的宣传次数分别为：5,4,4,5,4,3,3,

甲的平均数为1x(4+5+6+3+4+3+3)=4,

乙的平均数为：X(5+4+4+5+4+3+3)=4,故D错误，

甲的众数为3,乙的众数为4,故甲的众数小于乙的众数，故A正确；

甲的极差为3,乙的极差为2,则乙的极差小于甲的极差，故B正确；

1Q

甲的方差为,X[2X(4_4)2+(5-4)2+(6-4)2+3X(3_4)2]=,,

i4

乙的方差为：；x[2x(5-4)2+3X(4-4)2+2X(3-4>]=:，

77

故甲的方差大于乙的方差，故C正确.

故选：D.

变式14.(2023•河南•襄城高中校联考三模)某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连

续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级.下列能断定该班为优秀班级的是()

A.某班连续5周量化打分的平均数为83,中位数为81

B.某班连续5周量化打分的平均数为83,方差大于。

C.某班连续5周量化打分的中位数为81,众数为83

D.某班连续5周量化打分的平均数为83,方差为1

【答案】D

【解析】若连续5周的量化打分数据为88,87,81,80,79,满足A,B的条件，但第5周的打分低于80分，故A,

B错误；

若连续5周的量化打分数据为83,83,81,80,79,满足C的条件，但第5周的打分低于80分，C错误；

根据方差公式S2=([(X]

因为方差为1，