2024年高考押题预测卷-数学（天津卷2）（全解全析）

2024年高考押题预测卷02【天津卷】

数学•全解全析

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合。={尤eN|x<5},A={1,2,4},B={0,3,4),则A(”)=()

A.{2,4}B.{2,5}C.{1,2}D.{0,2,4)

【答案】C

【解析】U={XCN|X45}={0,1,2,3,4,5},.•◎3={1,2,5},@3)={1,2},故选C.

2.设xeR,则是“炉―2x-3<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由于不等式Y-2x-3<0的解集为{x|-l<x<3},则l<x<2可推出反之不成立,

所以"l<x<2”是一2工-3<0”的充分而不必要条件.故选：A.

sinx

3.函数=的部分图像大致为（）

|x|+l

【答案】C

°sinxj.,、sin（-x）sinx..、

【解析】因为定义域为R所以"-苫户造丁一工一了⑴

|x|+1\-x\+1|x|+l

所以/⑺为奇函数，且/'（0）=0,排除AB；当xe（O,兀）时，sinx>0,即/（x）>0,排除D故选：C.

4.政府为了了解疫情当下老百姓对防控物资方面的月花费情况，抽取了一个容量为”的样本，其频率分布

直方图如图所示，其中支出在［4。,50）的有54人，则”的值为（）

频率

A.100B.150C.90D.900

【答案】B

【解析】因为支出在［40,50)内的有54人，所以由频率分布直方图得：n=—^—=\5Q,故选B

1).036x10

5.已知°=病，b=log37,c=ln27,则b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【角军析】因为2==3,匕=logs7<logs9=2,c=In27>Ine3=3,所以b<〃<c,故

选B.

6.^log74=«,log73=Z?,则log4936=()

11711,

A.—u—bB.—b+aC.—a+bD.-b—a

2222

【答案】C

23a

【解析】log4936=log7,6=log76=log72+log73=^log74+log7=C.

22

7.已知双曲线=-3=1(°>0)>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一

ab

条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,1),则双曲线的方程为()

兀2、,2J、,2JJ、,2

A.-----

36

【答案】C

由题意得：4=2,解得P=4,所以曲线的方程为X-y2=i,故选：c

【解析】

a2

8.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观

取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的

实心模型，已知模型内层底面直径为6cm,外层底面直径为8cm,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直

径为10cm的球面上.此模型的体积为（）

A.38^cm3

【答案】C

【解析】内层圆柱的底面半径弓=3cm,外层圆柱底面半径马=4cm,

内外层的底面圆周都在一个直径为10cm的球上，球的半径4=5cm,

如图，以内层圆柱为例，

•••内层圆柱的底面圆周在球面上，

球心。与内层圆柱的底面圆心。1的连线垂直于底面圆，

22

则OO|±AOt,：.oox=QAO2-AO：=弁-r：=75-3=4cm,

根据球的对称性可得，内层圆柱的高为％=2x4=8cm,

同理可得，外层圆柱的高为色=2律彳=6cm,

故此模型的体积为：万矿饱+町一饱）=96万+18乃=114万（cm”故选：C.

9.关于函数/（x）=sinN+binx|有下述四个结论：

①是偶函数

②“X)在区间单调递增

③/■(%)的最大值为2

④“X)在[-7T,句有4个零点

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

【答案】D

【解析】因/'(-x)=sin|T+Mn(-x)|=sin|x|+kinx|=〃x),则为偶函数,①正确;

当]＜尤＜乃时，〃尤)=2sinx,它在区间号㈤单调递减，②错误；

当0时，当x£[2左肛2Z"十%)(左eN*)时，f(x)=2sinx,当xE[2%乃+匹+27rx左£N*)时，%)=0,

则当x=2时+]Z：€N*)时，/(%)max=2,又是偶函数，所以〃x)的最大值为2,③正确；

当0W万时，/(x)=2sinx,它有两个零点：0,万，当一万＜x＜0时，/(x)=-2sinx,它有一个零点:

一万，

所以函数〃x)在[-万，句有3个零点：-万，0,万，④错误,

所以所有正确结论的编号是①③.

故选：D

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知i是虚数单位，计算：岩=___________.

2-31

47.

【答案】------1-----1

1313

l+2i_(l+2i)(2+3i)_2+3i+4i+6i?_4J_.

【解析】

2-3i-(2-3i)(2+3i)-13~~V3日

11.的展开式共有8项，则常数项为.

7

【答案】&

【解析】

依题意得：〃+1=8,/.〃=7；

设，一方）”的展开式的通项为&，则T川=G.（-景,

由21-----=0得丁=6,

2

「.（XJ夫）〃的展开式中的常数项为7；=C；.（-g）6=:.

12.直线/：x-y-m=0被圆C：/+/-4x+6y-3=0截得的弦长为4&,则机的值为.

【答案】1或9

【解析】尤2+y2-4x+6y-3=。=>（x-2）2+（y+3）2=16,

圆心C（2,-3）,半径厂=4,

|2+3-wi||5-/M|

圆心C到直线/的距离d=

应一0

贝U2J77=*=4e，即16-七且=8,解得加=9或1.

13.某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供.当一个机组发生故障时，另一机

组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率4为已知每个机组发生故障的概率均为自1，且相互

独立，则机组发生故障的概率是.如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是

1972

【答案】——/0.19

10095

【解析】设供电能满足城市需求为事件4机组发生故障为事件5,

1919418所以尸（加2）=9^72

贝|JP（5）=C；x——x——+X—X—X—=--------,

10101010512595,

14.如图，A,B是。C上两点，若弦AB的长度为2,则A8.AC=,若向量AB在向量AC上的投影向

3

量为5AC,则A5与AC的夹角为

,兀

【答案】230/—

6

uunuum|UUHiuumi|UUil|1lULUi1|UUl|2

【解析】(1)AB-AC=\AB\AC|cos/CAB=|AB|x-|AB|=-|AB|=2

uuuuuuuum

AB-ACAC3吧iuuaiQiuumiQiuumi

(2)由题意，岗岗二”,故|<05/63=2,4,^cosZC4B=-|AC|,又AB-AC=2,

IuuuIIuiuniIUUMI3।uuni।.uuin।o/Qa°HA

故,3卜,0卜05/048=2,即2・卜。卜]卜。卜2,解得卜利=学，故cos/CA3=(x^=苧，所以

ZC4B=30

y

15.已知函数八x)=:匚，若关于x的方程[/(x)F+4(x)+a_l=0,有且仅有三个不同的实数解，则实数。

Inx

的取值范围是.

【答案】(-8』-e)

Y1nx—1

【解析】因为〃X)=户，贝lj/(x)=7^\r，

Inx(Inx)

当0<x<l或l<x<e时，/f(x)<0,

当x>e时，>0,

所以〃x)在(0,1)和(1,e)上单调递减，在(e,y)上单调递增,

且当尤-0时，/'(无)-0,/(e)=e,

故/(X)的大致图像如图所示：

关于x的方程[/(x)]2+4⑺+a-1=0等价于"(x)+1]/(元)+a-1]=0,

即/(元)=-1或/。)=1一4,

由图可得，方程/(%)=-1有且仅有一解，则/(无)=1-。有两解，

所以1—a>e,解得a<l-'e.

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分14分)在，ABC的内角A,2,C所对边的长分别是a,6,c,已知a=4,c=2&,cosA=-，^.

⑴求A的值;

(2)求sinC的值；

⑶求cosQa+m的值.

【解】(1)因为a=4,c=2后,cosA=-正，故由余弦定理cosA=匕士匚巴

42bc

可得一孝=”虚16,即。+4乂6—2)=0,解得b=T(舍)或6=2.

(2)因为Ae(0,1),故sinA>0,则sinA=《1-cos?A=，

42A/2r-

由正弦定理，■yn’T；,则而=碇，解得sinC=YL

sinAsinC--4

4

(3)因为cos[2A+1]=；cos2A-^^sin2A=g(2cos2A-1)-A/3sinAcosA

XsinA=^^-,cosA=-^-,

44

吟11A岳(A/21-3

故cos|2AH——=------V3x---x-----=--------

I3j824I4)8

17.(本小题满分15分)如图所示，在三棱柱ABb-DCE中，侧面A3C。和ADE尸都是边长为2的正方形,

平面ABCD上平面ADEF,点、G、M分别是线段AD,BF的中点.

⑴求证：AM〃平面3EG；

(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

【解】(1)由四边形ADEF是正方形，则AF_LAD,又面ABCD1面ADEF,面ABCDc面ADEF=AD,

AFu面ADEF,

所以AF_L面ABCD,而ABu面ABC。，则AFJ.AB,又AB_LAD,

所以AF、AB.AD两两垂直.

建立以A为原点，以AB,A2A尸的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),£(0,2,2),"0,0,2),G(0,l,0),M(l,0,l),

所以BE=(-2,2,2),3G=(-2,1,0),

,,、，一—\n-BE——2x+2y+2z—0

设〃=(x,y,z)为面BEG的法向重，贝!]〈-，令Az=l,可得〃=,

[n-BG=-2x+y=0

又AM=(l,0,l),则407=0，所以AM_L〃，又AMcZ平面BEG,

所以40〃平面BEG.

(2)由(1)知：DM=(1,-2,1)且〃=(-1,-2,1)为面5EG的法向量，

I.In.DM27

因此cos〈”,DM〉=行~।=-,即直线与平面3£G所成角的正弦值为;.

11\n\\DM\33

(3)由平面ABCD的一个法向量=(0,0,2)且w=(-1,-2,1)为面BEG的法向量,

因此k°s〈w,A间=/产=恪，即平面3EG与平面ABCD夹角的余弦值为巫.

11\n\\AF\66

18.(本小题满分15分)已知数列｛4｝的前〃项和S“=3"-1,其中“cN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足4=1,bri=3bn_l+an(n>2),求数列出｝的前〃项和(；

⑶若存在〃eN*,使得%成立，求实数2的最小值.

【解】(1)当〃=1时，4=S]=2,

当〃22时，S〃=3〃一l,Si=3〃T—1,

两式相减并化简得%=2-3"T(W>2),

当”=1时，上式也符合,

所以%=2-3"一］

(2)数列｛2｝满足4=1,>=3b,"an=302丁'(n*,

贝也=纣+2,4一结=4”N2),

/、《3〃33〃3,一13、

所以数列［条:是首项为*=;,公差为1的等差数列,

所以

所以优=：〃守一3,1,

设数列｛&｝满足的=小3",且前”项和为〃"，

=1-3'+2-32+..+/i-3",3M„=1-32+2.33+..+M-3"+1,

两式相减得-2M"=3i+3?++3"-小3向=3(13")_〃.3"+1=(12〃>3'用一3

1-32

所以此=(2"1>3向+3=汩.3%3.

"444

设数列｛4｝满足dn=3"一，则｛4｝的前〃项和Nn=*=

所以7；=|吃_乂=］竽.3%£|-1.3"-J=(l).3"+1.

(3)依题意，存在“eN*,使得a“W〃(〃+l”成立,

23"〃(〃+1以公而可,则只需求而可的最小直

233__________

(〃+1)(〃+2)+

=4.3"T------------>o

九（及+l）（〃+2）'

2.2

当〃=1或〃=2时，一（一3”T不取得最小值为三二L

仆+1）1x2

所以4的最小值为1.

19.（本小题满分15分）已知椭圆C:，+^=l（a>6>0）,其离心率为与，若%鸟分别为C的左、右

焦点，x轴上方一点尸在椭圆C上，且满足|尸石+尸工|=26.

（1）求C的方程及点P的坐标；

（2）过点尸的直线/交C于另一点。（点0在第三象限），点M与点。关于x轴对称，直线交x轴于

点、N,若VPQN的面积是QMN的面积的2倍，求直线/的方程.

【解】（1）因为尸耳，「工，所以P/「PE=O,且|W『+|尸四2=闺月『.

又|尸片+依；|=2石，所以PF；。+2PK・+尸％。=12,

即/7f+/7f=12，即忸月『+|尸弱『=|月外「=4,2=12,所以c=有，

又曷心率6=£=1,所以a=J^,c2=a2—b2所以b=

a2

所以椭圆方程为1+?=：!.

63

22

PFt+PF2=12,5i--,\PFl\+\PF^=2a=246,

阀卜阀卜丹,尸点的坐标为（0,@.

（2）依题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为了=日+6，

y=kx+6广

由fV2消去y整理（2/+1）/+4&辰=。，解得x=0或尤=2^,

163

君-2辰、

所以。点坐标为

2好+1

2辰2_£

从而M点坐标为

2F+17

所以直线PM的方程为y=+

则N点的坐标为卜2限,0),

因为VPQN的面积是，QMN的面积的2倍，点。在第三象限,

所以SyjpQMSyQMN，

即於督=工、卜26左)，解得左=在(舍负)，

2左+122

所以满足条件的直线/的方程为y=^x+石，

即:46x-2y+2j3=0.

20.(本小题满分16分)已知函数/(x)=<zx-'-(«+l)lnx,aeR

(1)若a=-2,求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)若。21,且〃力>1在区间~,e上恒成立，求。的取值范围；

(3)若判断函数ga)=x［〃x)+a+l］的零点的个数.

【解】(1)若。=—2,贝U/(x)=-2x-L+lnx,/(1)=-3

X

所以广(无)=必+?(1),所以广⑴=0,所以切线方程为广一3

(2)依题意，在区间~,e±f(x)>1.

emin

因为「⑺=贮-"l)X+l=3-吁-1),al

令八元)=0得，X=1或尤=L

a

若a..e,则由/'(尤)>0得，l<%,e；由/(尤)<。得，-„x<l.

e

所以“xL="l)=aT>l，满足条件；

若l<a<e,则由r(幻>0得，±3或1-；由—(x)<0得,-<x<l.

eaa

“(X)加=机讥“