山东省平原县2024届中考数学全真模拟试卷含解析

山东省平原县2024年中考数学全真模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边

长之比是2：1,若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.0.2B.0.25C.0.4D.0.5

2.如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则N1的度数可能是（

3.如图，已知AABC中，ZC=90°,AC=BC=V2，将小ABC绕点A顺时针方向旋转60。到4的位置，连接CB,

则CB的长为（）

A.2-72C.后八

4.如图，在AA3C中，cosB=

A.—B.12C.14D.21

2

5.下列计算正确的是()

A.-a4b4-a2b=-a2bB.(a-b)2=a2-b2

C.a2*a3=a6D.-3a2+2a2=-a2

6.若（x-1）°=1成立，则x的取值范围是（）

A.x=-1B.x=lC.x#0D.xrl

7.如图，点A、B、C都在。O上，若NAOC=140。，则NB的度数是（)

A.70°B.80°C.110°D.140°

8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,分别以A,C为圆心，以大于』AC的长为半径作弧，两弧相交于

2

M,N两点，作直线MN交AD于点E,则△CDE的周长是（）

D.12

9.如图，△ABC是。。的内接三角形，AB=AC,N3C4=65。，作CD〃A3,并与。。相交于点。，连接30,贝JNO8C

的大小为（）

A.15°B.35°C.25°D.45°

10.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.748B.J/+y2c.-D.V03

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：x2-1=.

3

12.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直

4

线AB上的一个动点，则PM的最小值为.

13.如图，将一对直角三角形卡片的斜边AC重合摆放，直角顶点3,。在AC的两侧，连接3。，交AC于点O,取

AC,80的中点E,F,连接E尸.若A8=12,BC=5,且则Ef的长为.

2^+1

14.已知反比例函数丫=----的图像经过点（2,-1）,那么攵的值是

x

15.计算5个数据的方差时，得s2=g[（5-x）2+（8-x）2+（7-x）2+（4-%）2+（6-Q叽则最的值为.

16.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34。的斜坡，从A滑行至B,已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下

降了米.（参考数据：sin34-0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67）

17.（8分）如图，NA=NB=30。

（1）尺规作图：过点C作CD±AC交AB于点D；

（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：BC2=BD«AB.

18.（8分）矩形ABCD中，DE平分NADC交BC边于点E,P为DE上的一点（PEVPD）,PM1PD,PM交AD

边于点M.

(1)若点F是边CD上一点，满足PFLPN,且点N位于AD边上，如图1所示.

求证：①PN=PF；®DF+DN=V2DP；

(2)如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF±PN,此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示;

试问DF,DN,DP有怎样的数量关系，并加以证明.

19.(8分)在平面直角坐标系Mr中，函数y=3(x>0)的图象与直线/i：交于点A(3,a—2).

X

(1)求用方的值；

(2)直线y=-x+m与X轴交于点5,与直线人交于点C,若SAAKC*,求忆的取值范围.

20.(8分)先化简再求值：(a-生二丝)+史龙，其中a=l+虚，b=l-0.

aa

21.(8分)如图1,△ABC中，AB=AC=6,BC=4,点D、E分别在边AB、AC±,且AD=AE=L连接DE、CD,

点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN,MN.

(1)求证：APMN是等腰三角形；

(2)将4ADE绕点A逆时针旋转，

①如图2,当点D、E分别在边AC两侧时，求证：APMN是等腰三角形；

②当AADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长.

22.(10分)在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4的打印

纸等，这些矩形的长与宽之比都为后：1,我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图(1),在“完美矩形”45。

中，点尸为AB边上的定点，且AP^AD.求证：PD=AB.如图(2),若在“完美矩形"A3C。的边BC上有一

BF

动点E,当R的值是多少时，APDE的周长最小？如图(3),点。是边Ab上的定点，且BQ=BC.已知AD

=1,在(2)的条件下连接DE并延长交AB的延长线于点F,连接G为CF的中点，M.N分别为线段QF

和CD上的动点，且始终保持QM=CN,MN与DF相交于点H,请问GH的长度是定值吗？若是，请求出它的

值，若不是，请说明理由.

23.(12分)海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏

东60。方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45。方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有

没有触礁危险？请说明理由.

24.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的

破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形

截面的半径.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,则针孔扎到小正方形（阴影

部分）的概率是0.1.

【题目详解】

解：设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,

因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,

则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是4=0.25；

4

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

rr?

件A的概率P（A）=—.

n

2、A

【解题分析】

连接正方形的对角线，然后依据正方形的性质进行判断即可.

【题目详解】

解：如图所示：

•.•四边形为正方形，

,,.Zl=45°.

VZKZ1.

.\Z1<45°.

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查的是正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

3、C

【解题分析】

延长BC，交AB，于D,根据等边三角形的性质可得BDLAB，，利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性

质和等腰直角三角形的性质求出BD、CD,然后根据BC^BD-CD计算即可得解.

【题目详解】

解：延长BC咬AB，于D,连接BB，，如图，

在RtAACB，中，ABf=V2ACf=2,

垂直平分ABr,

1

.,.C'D=-AB=1,

2

VBD为等边三角形△ABB，的高,

.-.BD=^1AB,=J3，

2

.*.BC，=BDCD=G-1.

故本题选择c.

【题目点拨】

熟练掌握勾股定理以及由旋转60。得到△ABB，是等边三角形是解本题的关键.

4、A

【解题分析】

根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长，即可得出三角形的面积.

【题目详解】

解：过点A作ADLBC,

BD

3

「△ABC中，cosB=—,sinC=—,AC=5,

25

,3旦也

2AB

AZB=45°,

3ADAD

；sinC=—=——=——

5AC5

.\AD=3,

.•.CD=752_32=4,

；.BD=3,

_1121

则△ABC的面积是：一xADxBC=—x3x(3+4)=一.

222

故选：A.

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD±BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.

5、D

【解题分析】

根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【题目详解】

-a4b+ab=-a2,故选项A错误，

(a-bV=a2-2ab+b2,故选项B错误，

J-a3=a5,故选项C错误，

-3a+2a=-a,故选项D正确,

故选：D.

【题目点拨】

考查整式的除法，完全平方公式，同底数塞相乘以及合并同类项，比较基础，难度不大.

6、D

【解题分析】

试题解析：由题意可知：x-1^0,

x丹

故选D.

7、C

【解题分析】

分析：作AC对的圆周角NAPC，如图，利用圆内接四边形的性质得到NP=40。，然后根据圆周角定理求NAOC的度

数.

详解：作AC对的圆周角NAPC,如图,

11

,:NP=-ZAOC=-xl40°=70°

22

VZP+ZB=180o,

/.ZB=180°-70°=110°,

故选：C.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

8、B

【解题分析】

四边形ABCD是平行四边形，

.\AD=BC=4,CD=AB=6,

•••由作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，

/.AE=CE,

:.AE+DE=CE+DE=AD,

AACDE的周长=CE+DE+CD=AD+CD=4+6=L

故选B.

9、A

【解题分析】

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得NA=50。，再根据平行线的性质可得NACD=NA=50。，由圆周角定

理可行ND=NA=50。，再根据三角形内角和定理即可求得NDBC的度数.

【题目详解】

VAB=AC,

；.NABC=NACB=65°,

:.ZA=180°-ZABC-ZACB=50°,

VDC//AB,

.,.ZACD=ZA=50°,

又,.,ND=NA=50。，

/.ZDBC=180°-ZD-ZBCD=180°-50°-(65°+50°)=15°,

故选A.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.

10、B

【解题分析】

根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可.

【题目详解】

A、^/48=473＞不符合题意；

B、J/+y2是最简二次根式,符合题意；

,不符合题意；

D、屈=叵,不符合题意；

10

故选B.

【题目点拨】

本题考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得

尽方的因数或因式.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、(x+1)(x-1).

【解题分析】

试题解析：x2-1=(x+1)(x-1).

考点：因式分解-运用公式法.

28

12、—

5

【解题分析】

认真审题，根据垂线段最短得出PM±AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM^AABO,

即可求出本题的答案

【题目详解】

解：如图，过点P作PM_LAB,贝!|：NPMB=90。,

当PMLAB时，PM最短,

3

因为直线与x轴、y轴分别交于点A'B,

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtAAOB中，AO=4,BO=3,AB=^32+42

VZBMP=ZAOB=90°,ZB=ZB,PB=OP+OB=7,

.,.△PBM^AABO,

.PBPM

••—9

ABAO

所以可得：PM=y.

13、述.

4

【解题分析】

先求出BE的值，作DM_LAB,DN_LBC延长线，先证明△ADM丝Z\CDN(AAS),得出AM=CN,DM=DN,再根

717

据正方形的性质得BM=BN,设AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,求出x=一,BN=一，根据BD为正方形

22

17117_________7

的对角线可得出BD=5后，BF=5BD=T&,EF=dBE?-BF?=「

【题目详解】

,:ZABC=ZADC,

.••A,B,C,D四点共圆,

AAC为直径，

为AC的中点，

，E为此圆圆心，

；F为弦BD中点，

.\EF_LBD,

1AC=J7AB2+BC2=

连接BE,.\BE=-

2

作DM_LAB,DN_LBC延长线，ZBAD=ZBCN,

在44口乂和仆CDN中，

AD=DN

<ZBAD=ZNCD,

/AMD=ZCND

/.△ADM^ACDN(AAS),

AAM=CN,DM=DN,

,:ZDMB=ZDNC=ZABC=90°,

二四边形BNDM为矩形，

又；DM=DN,

矩形BNDM为正方形，

；.BM=BN,

设AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,

717

12-x=5+x,x=—,BN=—,

22

VBD为正方形BNDM的对角线，

L17L117L

；.BD=0BN=5BF=yBD=yyj2,

1727

：.EF=y/BE--BF=1V2.

~4

7

故答案为7

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质与全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与全等三角形的性质与应用.

,3

14、k=

2

【解题分析】

2^+1

将点的坐标代入，可以得到-1=-^,然后解方程，便可以得到k的值.

2

【题目详解】

•.•反比例函数y=----的图象经过点（2,-1）,

x

2Z+1

：.-1=-------

2

.3

..k=——；

2

一.、3

故答案为k=--.

2

【题目点拨】

本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答

15、1

【解题分析】

根据平均数的定义计算即可.

【题目详解】

-5+8+7+4+6,

解:x=------------=6

5

故答案为L

【题目点拨】

本题主要考查平均数的求法，掌握平均数的公式是解题的关键.

16、1.

【解题分析】

试题解析：在RtAABC中，sin34°=——

AB

AAC=ABxsin34°=500x0.56=l米.

故答案为1.

三、解答题(共8题，共72分)

17、见解析

【解题分析】

(1)利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；

(2)根据圆周角定理，由NACD=90。，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到NDCB=NA=30。，推出

△CDB-AACB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【题目详解】

(1)如图所示，CD即为所求；

(2)VCD±AC,

NACD=90°

VNA=NB=30。，

:.ZACB=120°

:.ZDCB=ZA=30°,

,-,ZB=ZB,

.,.△CDB^AACB,

.BCAB

••=9

BDBC

.*.BC2=BD»AB.

【题目点拨】

考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质和作图：在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图

拆解成基本作图，逐步操作.

18、(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)DN-DF=y/2DP,证明见解析.

【解题分析】

(1)①利用矩形的性质，结合已知条件可证△PMNg则可证得结论；

②由勾股定理可求得利用①可求得尸，则可证得结论；

(2)过点尸作尸跖交AO边于点Mi,则可证得APMiN也APOF,则可证得跖N=。尸，同(1)②的方法

可证得结论.

【题目详解】

解：(1)①；四边形A5CZ)是矩形，.•.NAOC=90。.

又VDE平分ZADC,；.NADE=NEDC=45。；

'：PM±PD,ZDMP=45°,

:.DP=MP.

'：PM±PD,尸尸_LPN,

:.NMPN+NNPD=NNPD+NDPF=9Q。,：.ZMPN=ZDPF.

ZPMN=ZPDF

在APMN和4PDF中，<PM=PD,

NMPN=ZDPF

：.APMN^/\PDF(ASA),

：.PN=PF,MN=DF；

②DP=MP,：.DMP=DP2+MP2^2DP2,：.DM=yf2DP.

•又,.•£>M=ZW+MN,且由①可得MN=£)/，:.DM=DN+DF,:.DF+DN=®DP；

(2)DN-DF=yf2DP.理由如下：

过点尸作尸跖，尸。，尸Mi交AO边于点Mi,如图，

.四边形ABC。是矩形，AZADC^90°.

又•.,OE平分NAOC,AZADE=ZEDC=45°；

'：PMi±PD,ZDMiP=45°,：.DP=MiP,

：.ZPDF=ZPMiN=135°,同(1)可知NMiPN=NZ>PF.

NPM[N=/PDF

在小PMiN和APDF中(PMi=PD,

NM\PN=NDPF

：./\PMiN^/\PDF(ASA),：.MiN=DF,

由勾股定理可得：DM^^DP2+MIP2=2DP2,：.DMiy[2DP.

'：DMi^DN-MiN,MiN=DF,：.DM^DN-DF,

：.DN-DF=y/2DP.

【题目点拨】

本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.在

每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用.本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中.

19、(1)a=3,b=-2;(2)/n>8m<—2

【解题分析】

⑴把A点坐标代入反比例解析式确定出a的值，确定出A坐标，代入一次函数解析式求出b的值；⑵分别求出直线

h与x轴交于点D,再求出直线12与x轴交于点B,从而得出直线12与直线h交于点C坐标，分两种情况进行讨论：

①当SAABC=SABCD+SAABD=6时，利用三角形的面积求出m的值，②当SAABC=SABCD_SAABD=6时，利用三角形的面

积求出m的值，从而得出m的取值范围.

【题目详解】

(1)••,点A在丫=与图象上

X

/.6Z—2=—

3

••

：.A(3,1)

•・•点A在y=x+b图象上

；・1=3+8

:・b=-2

二解析式y=x-2

(2)设直线y=x—2与x轴的交点为。

：.D(2,0)

①当点C在点A的上方如图(1)

•・•直线y=—%与x轴交点为B

:・B(m,0)(m>3)

•・•直线y=—x+帆与直线y=x—2相交于点C

.[y=^-2

・・<

y=-x+m

m+2

x=

2

解得：＜

m-2

y二

2

m+2m-2

：.C

22

■:SAABC=SABCD~SAABD>6

1zc\根-21/,

—x(m-2)x—(m-2)xl>6

:.m>8

■:ABC=SABCD+SAABD>6

1小\i1\2—m,

:.—(2-m)xl+—(2-m)x--->6

:.m<—2

综上所述，m>8或帆g—2

【题目点拨】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本

题的关键.

20、原式=巴心=0

a+b

【解题分析】

括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.

【题目详解】

/-lab+b1a

原式=

a

a

a(〃+/?)(〃-/?)

_a-b

-f

a+b

当a=l+y/2，b=l-0时，

原式J+fT+f=0.

1+V2+1-V2

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)①见解析；②2加+1.

3

【解题分析】

(1)利用三角形的中位线得出PM=5CE,PN=；BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论PM=PN；

(2)①先证明△ABD之4ACE,得BD=CE,同理根据三角形中位线定理可得结论；

②如图4,连接AM,计算AN和DE、EM的长，如图3,证明△ABD义ACAE,得BD=CE,根据勾股定理计算CM

的长，可得结论

【题目详解】

(1)如图1,•.•点N,P是BC,CD的中点，

APN/7BD,PN=-BD,

2

•・•点P,M是CD,DE的中点，

APM//CE,PM=—CE,

2

VAB=AC,AD=AE,

ABD=CE,

APM=PN,

•••△PMN是等腰三角形；

(2)①如图2,VZDAE=ZBAC,

AZBAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

/.△ABD^AACE,

・・,点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，

APN=^-BD,PM=—CE,

22

APM=PN,

•••△PMN是等腰三角形；

②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次•点D、E、C在一条直线上时，如图3,

VZBAC=ZDAE,

AZBAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

.•.△ABD^ACAE,

ABD=CE,

如图4,连接AM,

图4

是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC,

；.A、M、N共线，且AN_LBC,

由勾股定理得：AN=762-22=4V2*

VAD=AE=1,AB=AC=6,

.AD_AE=1

•而下一石,ZDAE=ZBAC,

/.△ADE^AAEC,

.MADDE

••市石荻，

.AM1DE

,•砺'丁？’

.\AM=^S,DE=—,

33

.*.EM=—,

3____________

如图3,RtAACM中，CM=(AC2dMy32T噜)2=^1,

BD=CE=CM+EM=.

3

【题目点拨】

此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性

质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=‘CE,PN='BD,解（2）①的关键是判断出△ABD丝4ACE,

22

解（2）②的关键是判断出AADE^AAEC

22、（1）证明见解析（2）二史（3）72

2

【解题分析】

(1)根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB,根据AP=AD,利用勾股定理表示出PD,即可得证；

(2)如图，作点P关于BC的对称点F,连接DP咬BC于点E,此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC