2024届上海市数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届上海市重点名校数学高一第二学期期末学业水平测试模

拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）

A.向左平行移动个单位B.向右平行移动个单位

C.向右平行移动个单位D.向左平行移动个单位

2.已知函数/（x+2）是连续的偶函数，且x>2时，/G）是单调函数，则满足

）的所有X之积为（）

A.4B.-4C.-39D.39

3.设等差数列%｝,

a++=12,则S等于（)

n289

A.120B.60C.54D.108

4.直线有x-y+3=0的倾斜角是（）

71兀2兀5K

A.一B.一C.—D.—

5,设集合4={1,2,6},8={2,4},C={X€RITKXK5},则

A.{2}B."2,4}C.{1,2,4,61

D.｛xeRI-1<x<5｝

6.设伍｝是公比为q（O<|0<l）的无穷等比数列，若｛a｝的前四项之和等于第五项起

n11n

以后所有项之和，则数列｛%,｝是（）

2n-l

1

A.公比为'的等比数列

B.公比为丑的等比数列

2

C.公比为立或一正的等比数列

22

11

D.公比为或一衣的等比数列

y>0,

7.已知点尸（尤，y）满足条件则Z=x—3y的最小值为（）

2x+y-9<0,

A.9B.-6C.-9D.6

8.在各项均为正数的等比数列%｝中，公比qe（0,l）,若a+。=5a-a=4

n3526

6=loga,数列｛b｝的前〃项和为s,则>+%+...取最大值时，”的值为

〃2〃nn\2II

（）

A.8B.9C.17D.8或9

9.已知圆c与直线无一y=o和直线x-y-4=0都相切，且圆心C在直线x+y=O上,

则圆C的方程是()

A.(x+l)2+(y-1)2=2B.(x-l)2+(y+1)2=2

C.(x+l)2+(y-l)2=4D.(x-l)2+(y+l”=4

x>\

10.已知a>0,x,y满足约束条件｛x+yW3，若z=2x+y的最小值为1,则a=

y>tz(x-3)

A.-B.C.1D.2

•»

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.在415。中，角A、B、C所对的边为。、b、c,若。=4,h=6,c=9,则

角C=.

x+3>0

12.已知变量x,>满足，x-y+4<0,则z=x+3y的最小值为.

2x+y-4<0

13.有五条线段，长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成

一个三角形的概率为.

14.函数/*）=arccosx（l<x<1）的值域是.

15.在等比数列｝中，。=2,。=4,则5=.

n124

16.正方形S和S内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设NA=a,若两正

I2

方形面积分别为s=441,S=440,则sin2a=______

12

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图，在平面直角坐标系X。），中，已知圆O：x2+），2=4,点Q（0,D,过点P（o,4）

的直线/与圆。交于不同的两点A，B（不在y轴上）.

（1）若直线/的斜率为3,求AB的长度；

⑵设直线Q4QB的斜率分别为勺,勺，求证：勺+勺为定值，并求出该定值；

（3）设的中点为M,是否存在直线/,使得若存在，求出直线/

的方程；若不存在，说明理由.

18.某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万

元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后

逐年递增万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的

和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的

和为，年平均费用为.

(1)求出函数g(x),的解析式;

(2)这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？

19.如图，在AABC中，4=45°,o是5c边上的一点，4)=5,AC=7,DC=3.

(1)求NA£>C的大小；

(2)求边AB的长.

20.已知椭圆C：(a>Z>>0)的两个焦点分别为储，Fr离心率为，过储

的直线/与椭圆C交于M,N两点，且AMNFz的周长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=«x+b与椭圆C分别交于A,8两点，且04,08,试问点。到直线

A3的距离是否为定值，证明你的结论.

21.已知正项等比数列｛。｝中，。=2,4=18,等差数列名｝中，6=2,且

“13nI

a+Q+Q=b+b+。+b

1231234,

(1)求数列｛a｝的通项公式。；

nn

(2)求数列名｝的前〃项和S.

nn

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、B

【解题分析】

把化简即得解.

【题目详解】

由题得y=sin(2x-j)=sin2&-》’

所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单

位，

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础

题.

2、D

【解题分析】

由y=f(x+2)为偶函数分析可得f(x)关于直线x=2对称，进而分析可得函数f(x)

1

在(2,+8)和(-00,2)上都是单调函数，据此可得若f(x)=f(1——则有

x+4

x=l-1,或4-x=l-।变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足

x+4x+4

1

f(x)-f(1---)的所有X之积，即可得答案.

x+4

【题目详解】

根据题意，函数y=f(x+2)为偶函数，则函数f(x)关于直线x=2对称,

又由当x>2时，函数y=f(x)是单调函数，则其在(-8,2)上也是单调函数,

111

若f(x)=f(1--------),则有x=l-'------7或4-x=l-'------,

x+4x+4x+4

1

当x=l———时，变形可得X2+3X-3=0,有2个根，且两根之积为-3,

x+4

1

当4-x=l------7时，变形可得X2+X-13=0,有2个根，且两根之积为-13,

x+4

1

则满足f(x)=f(1-——-)的所有x之积为(-3)x(-13)=39；

x+4

故选：D.

【题目点拨】

本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题.

3、C

【解题分析】

题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质解决。

【题目详解】

，八c(a+a)9=,

a+a—a+a—12,S---J----u一=54,选C.

281992

【题目点拨】

题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质，〃+〃=P+4=2r

a+«=a+a=2a解决。也可将等式全部化为a,d的表达式，整体代换计算出§

mnpqr19

4、B

【解题分析】

兀

先求斜率上=道,即倾斜角的正切值tan。=r，易得

【题目详解】

兀

y=^3x+3,可知k=p,即tanO=&,

故选B

【题目点拨】

一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率

等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目.

5、B

【解题分析】

（Au8）cC=｛l,246｝c[-15]=｛1,2,4｝，选B.

【考点】集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借

助数轴或韦恩图进行处理.

6、B

【解题分析】

根据题意可得S=2S带入等比数列前〃和即可解决。

n4

【题目详解】

根据题意，若M｝的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，

n

则S=2s

n4

又由｛a｝是公比为g（o<“|<i）的无穷等比数列，则」」=211（二三,变形可得

"\-q\-q

如则。=±今,

数列｛a｝为｛。｝的奇数项组成的数列，则数列｛%｝为公比为小=走的等比数

2n-ln2/J-I12

列；

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查了利用等比数列前"项和计算公比，属于基础题。

7、B

【解题分析】

试题分析：满足约束条件的点P(x,y)的可行域，如图所示

由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.

考点：线性规划问题.

8、D

【解题分析】

利用等比数列的性质求出。3、%的值，可求出4和夕的值，利用等比数列的通项公式

可求出。，由此得出心，并求出数列的前〃项和ssS

｛0｝S然后求出宁+?+…+/

ssS

利用二次函数的性质求出当亍+才+・・・+/取最大值时对应的〃值・

【题目详解】

a+a=5

35a=4

由题意可知。3>4，由等比数列的性质可得<aa=aa=4,解得，3

2635a=1'

a>a5

i35

aq2=4Q=16

i1（iV-i

所以他Q4=l,解得.1,a=aq，i=16x1_I25-M,

0<q<1

/.b=loga=5一〃，

n2n

“（4+5-〃）

则数列M｝为等差数列，9n-n2

22

：.-SH-=-9---n-,

n2

(9n

SSSn4+~]n(il-n)1(17V289,

12n244V2J16

sss

因此，当〃=8或9时，Y-+-^+…+―«■取最大值，故选：D.

12n

【题目点拨】

本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前〃项和的最值，

在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.

9、B

【解题分析】

设出圆的方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可

【题目详解】

•..圆心在直线尤+>=0上，.•.可设圆心为(。，一。)，设所求圆的方程为

+(y+a>=厂2,

ci—(—a)a—(一〃)一4.

则由题意，一不一=—~=—=厂解得4=10=亦

7乙7乙

...所求圆的方程为(X—l)+(y+l)=2.选B

【题目点拨】

直线与圆的问题绝大多数都是转化为圆心到直线的距离公式进行求解

10,B

【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域如图所示:

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，z取得最小值，而点A的坐标为(1,-2a),

所以

2-2a=1,解得故选B.

【考点定位】

本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式

出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

29

11,TC-arccos——.

48

【解题分析】

利用余弦定理求出cosC的值，结合角C的取值范围得出角C的值.

【题目详解】

。2+/?2—C242+62-9229

由余弦定理得cosC=__一

lab2x4x648

2929

••0<C<7i,:.C=TI-arccos一，故答案为兀一arccos一.

,48n木力48

【题目点拨】

本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余

弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

12、0

【解题分析】

画出可行域，分析目标函数得丁=一当^=一；彳在y轴上截距最小时，即可

求出Z的最小值.

【题目详解】

作出可行域如图：

联立ky+4=0得卜1

一o1Z

化目标函数z=x+3y为y———）

由图可知，当直线y=过点A（-3,l）时，在y轴上的截距最小，

z有最小值为0,故填0.

【题目点拨】

本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.

3

13'W

【解题分析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事

件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率.

【题目详解】

所有的基本事件有：（2,3,5）、（2,3,7）、（2,3,9）、（2,5,7）、（2,5,9）、（2,7,9）、

（3,5,7）、（3,5,9）、（3,7,9）、（5,7,9）,共10个，

其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：（3,5,7）、（3,7,9）、

（5,7,9）,共3个，

3

由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为而，

3

故答案为—.

【题目点拨】

本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有:

枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题.

c71

14、（0,-）

【解题分析】

根据反余弦函数的性质，可得函数/（x）=arccosx在（；』）单调递减函数，代入即可

求解.

【题目详解】

由题意，函数/（x）=arccosx的性质，可得函数/（x）=ar80sx在（；,1）单调递减函

数，

17T1

又由arccos1=0,arccos-=y,所以函数/（x）=arccosx在（2,1）的值域为（o,g）.

7T

故答案为：(0,().

【题目点拨】

本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15、30

【解题分析】

根据等比数列中a=2,a=4,得到公比外再写出巴和a,从而得到S

12344

【题目详解】

因为M｝为等比数列，。=2,a=4,

nI2

ac

所以q=才=2,

1

所以%q=8,与=^^二胎，

所以S-a+a+a+a=30

41234

故答案为：30.

【题目点拨】

本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题.

1

16'10

【解题分析】

首先根据在正方形S]和S2内，S]=441,52=440,分别求出两个正方形的边长，然后

分别表示出A尸、FC.AM、的长度，最后根据AF+FC=AM+MC,列出关于a的

三角函数等式，求出sin2a的值即可.

【题目详解】

因为S]=441,$2=440,

所以户O=JW=21,MQ=MN=y/44Q,

FD21

因为AC=AF+FC=-——+21=------+21,

landtand

MQJ440/------

AC=AM+MC=------+MNco§a=--------4->7440cosa,

sinasina

21J440____

所以：----+21=-........+。y40cosa,

tanasina

整理，可得：>/440(sinacosa+1)=21(sina+cosa),

两边平方，可得110sin22a-sin2a-1=0,

11

解得sin2a=m•或sin2a=-yy(舍去)，

1

故sin2a=—.

1

故答案为：—.

【题目点拨】

本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题,

解答此题的关键是分别表示出的长度，最后根据AF+FC=AM+MC,

列出关于a的三角函数等式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17,(1)士缉；(2)见解析；(3)见解析

【解题分析】

(1)求出圆心O到直线/的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可

算出弦长。(2)设直线/的方程为y=h+4,联立圆的方程

通过韦达定理化简｛+勺即可。⑶设点“鱼0，%)，根据MO=^MQ，得

2MO1=3MQ2,表示出％,丁的关系，再联立直线和圆的方程得到％,>与k

0000

的关系，代入可解出k,最后再通过有两个交点A>0判断即可求出k值。

【题目详解】

(1)由直线/的斜率为3,可得直线/的方程为y=3x+4

1414

所以圆心。到直线/的距离为一=F

71+32*0

(2)直线/的方程为>=区+4,

代入圆O：x2+y2=4可得方程G+公)x2+8入+12=0(*)

设((则12

Ax,y),6x,y),x+xX-X=-----------

।।22I21+左2I21+女2

y-1y-1kx+3kx+311)

k+k-^-1■2—+—2--------=-4——I---------+—2--=---2---左+3—十—

12XXXXXX.

2I2'127

()§乂Tk

=2k+3)+[=2k+-1尸=2k+(—2k)=0

xx12

12-——

1+女2

所以勺+勺为定值，定值为0

(3)设点/%,%),由NO=2^M2，可得：2MO2=3MQ2,即

2(x2+y2)=31X2+(y-11]

,化得：与+%-6）,。+3=°

-4k

X-------------

01+左2

由（*）及直线/的方程可得：4，代入上式可得:

y=-------

〔01+公

-4k¥(4、

-6------+3=0可化为：3人一2左2—5=0

1+k?)+三

求得：k2=—=>k=±2L_

33

又由（*）△=（8Q2-4-（1+&2）.12>0解得：左2>3

,5,

所以女2=至不符合题意，所以不存在符合条件的直线/.

【题目点拨】

此题考查圆锥曲线，一般采用设而不求通过韦达定理表示，将需要求解的量用斜率k

表示，起到消元的作用，计算相对复杂，属于较难题目。

18、（1）g（i）=0.1x2+0.1x,；（2）时，年平均费用最

小，最小值为3万元.

【解题分析】

试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费

用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为

公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年

使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以即可得到年平均费用

根据基本不等式即可求出平均费用的最小值.

试题解析：(1)根据题意可知，汽车使用X年的维修费用的和为,而第一年的维

修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项,

为公差的等差数列，根据等差数列的前项和公式可得：

因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为

所以年平均费用为

(2)因为

所以当且仅当即时，年平均费用最小，最小值为3万元.

考点：本题考查了等差数列的前项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考

查了学生解决实际应用题的能力.

19、(1)120

【解题分析】

AD2+C£>2-AC2

(1)在AACD中，由余弦定理cosZADC=运算即可;

2AD-CD

AB_AD

(2)在AABD中，由正弦定理运算即可.

sinNADBsinB

【题目详解】

解：（1）在AACD中，AD=5,AC=7,DC=3,

AD-+CD--AC-25+9-491

由余弦定理可得cosNAOC=

2AD-CD253工'

又440CeG,180）,

即ZADC=120；

（2）由（1）得NAD3=60,

在AABD中，AD=5,/B=45°,

AB_5

AB_AD

由正弦定理可得:近一£

sinZADBsinB

即=

2

【题目点拨】

本题考查了